3.3. Законы распределения, используемые в статистических расчетах

Как уже указывалось выше, при решении многих задач (статистическое оценивание, проверка гипотез, дисперсионный анализ, регрессионный анализ и др.) в качестве некоторых стандартов используется ряд теоретических законов распределения. Прежде всего, к ним относятся распределения Пирсона ², Стьюдента и Фишера.

Распределение ² . Пусть имеется n независимых случайных величин Х₁,Х₂,...,Х_n, каждая из которых распределена по нормальному закону с нулевым средним значением и единичной дисперсией. Тогда распределением ² (хи-квадрат) с  степенями свободы называется распределение суммы квадратов независимых случайных величин ² = Х²₁+Х²₂+,…,+Х²_n, распределенных по стандартному нормальному закону.

При этом число степеней свободы – это количество значений, функционально не связанных между собой, или, другими словами, число независимых параметров.

Если, например, мы имеем ряд наблюдений из четырех членов (4 + 6 + 8 + 3), то последний член является зависимой величиной. Действительно, сумма первых трех членов равна 18. Сумма же всего ряда равна 21. Поэтому на четвертый член остается величина 3, ибо никакая другая величина не даст нам требуемую сумму. Таким образом, для статистического ряда число степеней свободы всегда равно ν = n – 1.

Плотность вероятности распределения χ² имеет вид:

, (3.18)

где Г(ν/2) – гамма-функция Эйлера, определяемая как . Таким образом, распределение χ² зависит лишь от одного параметра  числа степеней свободы, который определяется как ν = k – 1 – l, где l – число параметров распределения. Поскольку l =1, то ν = k – 2.

Значения распределения χ² затабулированы для различных степеней свободы и уровней значимости (Приложение 2).

На графике плотности вероятности распределения χ² для различных степеней свободы (рис. 3.7) видно, что оно резко несимметрично при малом числе ν. Однако с возрастанием ν плотность вероятности f(х) становится все более симметричной и похожей на кривую нормального распределения, что вытекает из центральной предельной теоремы. Практически при ν=13–15 случайная величина χ² уже подчиняется нормальному закону.

Распределение Стьюдента. Пусть Z и V — независимые случайные величины, причем величина Z является нормально распределенной с параметрами M(Z )=0, D(Z) =1, a V — распределенной по закону χ² с ν степенями свободы. Тогда случайная величина имеет распределение, которое называется распределением Стьюдента с ν степенями свободы. Плотность вероятности величины t выражается следующей формулой:

. (3.19)

Из графика плотности вероятности f(х) видно, что она симметрична относительно начала координат (рис. 3.8). По мере увеличения числа степеней свободы t-распределение приближается к нормальному закону, причем скорость этого приближения выше, чем у распределения χ².

Значения t-распределения затабулированы для различных степеней свободы и уровней значимости (Приложение 3). В таблице приведены значения t-статистики для двухстороннего и одностороннего критерия значимости.

Распределение Фишера. Пусть мы имеем две случайные величины, дисперсии которых известны, причем D₁>D₂. Тогда дисперсионное отношение F=D₁/D₂ имеет распределение, называемое распределением Фишера или иногда распределением Фишера-Снедекора. Плотность вероятности этого распределения выражается следующей формулой:

, (3.20)

где ν₁ и ν₂ – числа степеней свободы первой и второй выборки, причем ν₁= n₁–1, ν₂= n₂–2.

Как следует из формулы (3.20), распределение Фишера (F-распределение) не зависит от дисперсий входных выборок, а зависит лишь от числа степеней свободы. График плотности вероятности f(х) приведен на рис. 3.9.

Для F-распределения составлены таблицы значений для различных степеней свободы и уровня значимости =0,05 (Приложение 4).

Заметим, что эти таблицы даны для двухстороннего критерия значимости, т.е. когда проверяется, например, условие D₁=D₂. В том случае, если необходимо проверить, например, неравенство дисперсий по двум выборкам, т.е. D₁>D₂ или D₁<D₂ D₁=D₂, то используется односторонний критерий.