3.2. Законы распределения, используемые в гидрометеорологии

Логарифмически нормальное распределение. Вообще говоря, на практике довольно часто встречается такая ситуация, когда случайная величина X сама не является нормально распределенной, однако путем несложного её функционального преобразования можно получить случайную величину Y = (X), распределенную по нормальному закону. При этом наибольшее распространение получило логарифмическое преобразование вида Y = log _aX , которое допустимо лишь при X>0.

Случайная величина X считается распределенной логарифмически нормально, если нормальному закону распределения подчиняется её логарифм Y = log_aX . В соответствии с этим плотность вероятности выражается формулой:

f(y) = , (3.6)

где m_y = M[log_aX] - математическое ожидание, _y² = D[log_aX] - дисперсия, а - основание логарифма, причем наиболее часто принимается а = е, т.е. Y = lnX.

Выполнив несложные преобразования, можно от формулы (3.6) перейти к плотности распределения исходной случайной величины, которая будет иметь следующий вид:

f(x)=f(y)=, (3.7)

где m_y=M[lnX], _y²=D[lnX].

График плотности вероятности данного распределения приведен на рис. 3.4. Как следует из формулы (3.7) и рис. 3.4, логарифмически нормальное распределение характеризуется положительной асимметрией, возрастающей с увеличением _y. Естественно, чем меньше _y, тем ближе друг к другу значения моды, медианы и математического ожидания и тем ближе кривая распределения к нормальному закону. Оно свойственно таким случайным величинам, формирование которых происходит в результате умножения большого числа влияющих на них независимых равнозначных факторов.

Между параметрами нормального и логарифмически нормального распределений существуют следующие соотношения:

m_x = exp(m_y + 0,5_y²),

σ_x = m_x[exp(σ_y² – 1)]^1/2,

или

m_y = ln[m_x /(1 + C_x²)^1/2],

σ_y = [ln(1 + C_x²)]^1/2,

где C_x – коэффициент вариации величины X .

Мода логарифмически нормального распределения функционально связана с математическим ожиданием и коэффициентом вариации

Mo = m_x/(1+C_x²)^3/2.

С увеличением коэффициента вариации различия между Mo и m_x возрастают.

Распределение Вейбулла. Непрерывная случайная величина X считается распределенной по закону Вейбулла, если её плотность вероятности определяется следующей формулой

(3.8)

где m и c - параметры распределения, которые могут принимать только положительные значения.

Кривая распределения Вейбулла имеет различный вид в зависимости от значения параметра m. В связи с этим параметр m является характеристикой формы, а параметр c - характеристикой масштаба. При m > 1 распределение Вейбулла одномодально.

Интегральная функция распределения данного закона выражается формулой

(3.9)

Заметим, что некоторые виды распределений являются частными случаями распределения Вейбулла. Так, например, при m=1 получим показательное распределение, плотность вероятности которого определяется как

(3.10)

а функция распределения показательного (экспоненциального) закона имеет вид:

(3.11)

График плотности вероятности показательного распределения приводится на рис. 3.5. Важным свойством показательного закона является то, что математическое ожидание и стандартное отклонение равны и функционально связаны с параметром c, т.е. m_x = _x =1/c.

Кроме того, для показательного распределения характерно и то, что его коэффициенты вариации, асимметрии и эксцесса не зависят от параметра c и имеют следующие значения: С_v = 1, As = 2, Ex = 9.

Другим частным случаем распределения Вейбулла является распределение Релея, которое может быть получено, если принять с = 1/2_x² и m = 2 , т.е.

(3.12)

где _x - единственный определяемый параметр. График плотности вероятности данного распределения при различных значениях  представлен на рис. 3.6. Нетрудно видеть, что кривая распределения, особенно при малых значениях _x, является резко асимметричной.

Интегральная функция распределения закона Релея выражается формулой

(3.13)

При этом основные числовые характеристики имеют вид

m_x = , D_x = (2)_x², As  0,63, Ex 0,3.

Следовательно, кривая распределения Релея имеет большую положительную асимметрию и является более плосковершинной по сравнению с кривой нормального закона.

Равномерное распределение. Непрерывная случайная величина X распределена равномерно, если плотность вероятности во всем интервале её возможных значений постоянна, а за его пределами равна нулю. В соответствии с этим плотность вероятности в интервале [a,b] может быть представлена в виде:

(3.14)

а функция распределения записана как

(3.15)

Итак, равномерное распределение определяется двумя параметрами: a и b. При этом основные числовые характеристики равномерного закона могут быть выражены следующим образом

m_x = (a + b)/2, D_x = (b  a)²/12 , As = 0, Ex = 1,2.

Биномиальное распределение. Дискретная случайная величина X с возможными исходами x = m = 0, 1, 2,...,n имеет биномиальное распределение, если вероятность того, что X = m определяется формулой:

p(X=m) = P_m,n=. (3.16)

При этом функция биномиального распределения выражается следующим образом:

(3.17)

Биномиальное распределение определяется двумя параметрами: p и n, причем основные числовые характеристики связаны с этими параметрами как

m_x = np, D_x = npq, A_s =, E_x = (1 – 6pq)/npq.

Отсюда следует, что с увеличением n коэффициенты асимметрии и эксцесса стремятся к нулю. При n  и np  биномиальное распределение становится асимптотически нормальным. На практике биномиальное распределение считают асимптотически нормальным уже при npq  9.