6. Движение тел с изменяющейся массой

При описании движения тел, масса которых изменяется в процессе движения (например, из движущейся цистерны вытекает вода), нельзя применить второй закон Ньютона в привычной (интегральной) форме, поскольку он справедлив только для тел, масса которых остается неизменной. Ниже приведен пример решения задачи, в которой уравнение движения записывается на основании второго закона Ньютона в дифференциальной форме, так как масса движущейся ракеты быстро убывает вследствие работы двигателей (в более общем случае уравнением движения таких тел является уравнение Мещерского).

Задача 12. При выводе на орбиту космического корабля «Буран» массой 100 т было сожжено 2000 т топлива. Найти скорость взлетающей ракеты через 3 мин после старта, полагая, что 1) первые несколько минут корабль взлетает вертикально вверх; 2) 90 % топлива было израсходовано двигателями первой ступени ракеты-носителя «Энергия» за 6 мин их работы; 3) расход топлива и сила тяги двигателей за это время оставались постоянными; 4) сила тяги двигателей в полтора раза превышает стартовый вес ракеты.

Дано:	СИ	Решение.

При работе ракетных двигателей вследствие быстрого сгорания топлива изменяются масса взлетающей ракеты и сила тяжести, действующая на ракету со стороны Земли. Уравнением движения ракеты будет являться основной закон динамики материальной точки (частицы) в дифференциальной форме:

.

Выберем ось Ox вертикально вверх и возьмем проекции векторов на эту ось, получим:

.

Поскольку расход топлива постоянен, то масса ракеты линейно уменьшается с течением времени по закону:

.

Подставляя формулу в уравнение , получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем обе части полученного уравнения:

.

Вычислим интегралы и по формуле Ньютона-Лейбница получим:

.

Поскольку за время работы двигателей первой ступени сгорает топлива, то расход топлива найдем по формуле:

.

Модуль импульса взлетающей ракеты, очевидно, определяется формулой:

.

Подставляя формулы и в выражение и учитывая, что , после элементарных преобразований получим:

Ответ: ракета достигнет скорости

Библиографический список

1. Трофимова Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. М., 1997. 542 с.

2. Детлаф А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. М., 2000. 718 с.

3. Савельев И. В. Курс общей физики / И. В. Савельев. М., 1989. Т. 1. 352 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Проекция вектора на ось При работе с векторами удобно придерживаться следующих обозначений: – вектор (в учебниках обозначается жирной буквой без стрелочки);

a, – модуль вектора (длина вектора, числовое значение вектора);

– проекция вектора на ось Ох (компонента вектора);

– составляющая вектора по оси Ох.

Рис. П.1.1

Проекцией вектора на ось Ох называется алгебраическая величина, определяемая выражением: , где a – модуль вектора; α – угол между вектором и осью (рис. П.1.1). Составляющая вектора нап-равлена вдоль оси Ох в ту же сторону, что и вектор , а проекции вектора и его составляющей на эту ось равны (см. рис. П.1.1).

Пример. Пусть в некоторый момент времени угол между вектором ско-рости тела и осью Ох равен 30^о, а длина вектора скорости равна 2,8 м/с. Найти проекции вектора скорости на координатные оси Ох и Оу.

Рис. П.1.2

Дано: v = 2,8 м/с, α1 = 30о vx, vy – ? Решение. vx = v cos α1; vx = 2,8 cos 30о = 2,4 (м/с); vy = v cos α2; vy = 2,8 cos (90о + 30о) = – 1,4 (м/с).