- •Высшего профессионального образования
- •Линейная алгебра
- •Г. Набережные Челны
- •1.Цель и задачи дисциплины, её место в учебном процессе.
- •2. Содержание и структура дисциплины.
- •Раздел I. Линейная алгебра.
- •Тема 1. Определители.
- •Тема 2. Матрицы.
- •Тема 3. Системы линейных уравнений.
- •Тема 4. Системы векторов. N-мерное векторное пространство. Евклидово пространство.
- •Раздел III. Аналитическая геометрия
- •Тема 8. Прямые линии и плоскости.
- •Тема 9. Кривые и поверхности второго порядка.
- •Раздел IV. Системы линейных неравенств. Линейные задачи оптимизации.
- •Тема 10. Системы линейных неравенств.
- •Тема 11. Линейные задачи оптимизации.
- •3. Рекомендуемая литература. Основная литература:
- •Дополнительная литература:
- •4. Образец решения типовых задач.
- •3А) Находим матрицу , обратную к , методом присоединённой матрицы, по формуле: , где:
- •5. Краткие теоретические сведения.
- •Тема 1. Определители.
- •Тема 2. Матрицы.
- •Тема 3. Системы линейных уравнений. Модель Леонтьева.
- •Тема 4. Системы векторов. N-мерное векторное пространство. Евклидово пространство.
- •Тема 5. Линейные операторы. Собственные числа и векторы.
- •Тема 6. Квадратичные формы.
- •Тема 7. Векторная алгебра.
- •Тема 8. Прямые линии и плоскости.
- •Тема 9. Кривые второго порядка.
- •Тема 10. Системы линейных неравенств.
- •Тема 11. Линейные задачи оптимизации.
Тема 8. Прямые линии и плоскости.
Нормальным вектором прямой , называется всякий ненулевой вектор перпендикулярный данной прямой. Направляющим вектором прямой , называется всякий ненулевой вектор параллельный данной прямой.
Прямая на плоскости в системе координат может быть задана уравнением одного из следующих видов:
1) - общее уравнение прямой, где - нормальный вектор прямой;
2) - уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно данному вектору ;
3) - уравнение прямой, проходящей через точку параллельно данному вектору (каноническое уравнение);
4) - уравнение прямой, проходящей через две данные точки , ;
5) - уравнения прямой с угловым коэффициентом , где - точка через которую прямая проходит; () – угол, который прямая составляет с осью ; - длина отрезка (со знаком ), отсекаемого прямой на оси (знак «», если отрезок отсекается на положительной части оси и «», если на отрицательной).
6) - уравнение прямой в отрезках, где и - длины отрезков (со знаком ), отсекаемых прямой на координатных осях и (знак «», если отрезок отсекается на положительной части оси и «», если на отрицательной).
Расстояние от точки до прямой , заданной общим уравнением на плоскости, находится по формуле:
.
Угол , () между прямыми и , заданными общими уравнениями или уравнениями с угловым коэффициентом, находится по одной из следующих формул:
; .
, если или .
,если или
Координаты точки пересечения прямых и находятся как решение системы линейных уравнений: или .
Нормальным вектором плоскости , называется всякий ненулевой вектор перпендикулярный данной плоскости.
Плоскость в системе координат может быть задана уравнением одного из следующих видов:
1) - общее уравнение плоскости, где - нормальный вектор плоскости;
2) - уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно данному вектору ;
3) - уравнение плоскости, проходящей через три точки , и ;
4) - уравнение плоскости в отрезках, где , и - дины отрезков (со знаком ), отсекаемых плоскостью на координатных осях , и (знак «», если отрезок отсекается на положительной части оси и «», если на отрицательной).
Расстояние от точки до плоскости , заданной общим уравнением, находится по формуле:
.
Угол , () между плоскостями и , заданными общими уравнениями, находится по формуле:
.
, если
, если .
Прямая в пространстве в системе координат может быть задана уравнением одного из следующих видов:
1) - общее уравнение прямой, как линии пересечения двух плоскостей, где и - нормальные векторы плоскостей и ;
2) - уравнение прямой, проходящей через точку параллельно данному вектору (каноническое уравнение);
3) - уравнение прямой, проходящей через две данные точки , ;
4) - уравнение прямой, проходящей через точку параллельно данному вектору , (параметрическое уравнение);
Угол , () между прямыми и в пространстве, заданными каноническими уравнениями находится по формуле:
.
, если .
, если .
Координаты точки пересечения прямой , заданной параметрическим уравнением и плоскости , заданной общим уравнением, находятся как решение системы линейных уравнений: .
Угол , () между прямой , заданной каноническим уравнением и плоскостью , заданной общим уравнением находится по формуле: .
, если .
, если .