4.5 Контрольні запитання

1. Дайте означення поняття нечіткості.

2. Дайте означення лінгвістичної змінної.

3. Що таке базова шкала лінгвістичної змінної?

4. Які існують підходи щодо визначення функції належності довільної нечіткої множини?

5. Дайте означення основних операцій над нечіткими множинами.

6. Що таке номінальна та субнормальна нечітка множина?

7. Які операції над нечіткими відношеннями Ви знаєте?

8. Які етапи потрібні для виконання логічного виводу?

9. Дайте опис основних алгоритмів нечіткого логічного виводу.

10. Які методи дефазифікації Ви знаєте?

5 Поняття математичної моделі. Приклади математичних моделей систем

5.1 Етапи математичного моделювання

Математична модель – наближений опис якого-небудь класу явищ зовнішнього світу виражений за допомогою математичної символіки. Процес математичного моделювання, тобто вивчення явища за допомогою математичної моделі можна розділити на чотири етапи.

Перший етап – формулювання законів, що зв'язують основні об'єкти моделі. Цей етап вимагає широкого знання фактів, що відносяться до досліджуваних явищ, і глибокого проникнення в їхні взаємозв'язки. Ця стадія завершується записом у математичних термінах сформульованих якісних уявлень про зв'язки між об'єктами моделі. Наприклад, закон Кулона – це узагальнення дослідних даних, він моделює взаємодію заряджених тіл, що розглядаються як точкові заряди. Він був сформульований Кулоном на підставі прямих вимірів сили взаємодії між зарядженими тілами, розміри яких багато менше відстані між ними. Точність досліджень була недостатньою, для того щоб визначити однозначно за яким законом зменшується з відстанню сила взаємодії. Однак, з огляду на аналогію із силою тяжіння, Кулон припустив, що сила взаємодії двох зарядів і , розташованих на відстані , прямо пропорційна величині зарядів і обернено пропорційна квадратові відстані між ними

.

Наступним етапом узагальнення експериментальних і теоретичних результатів теорії електромагнітних явищ було створення Максвеллом узагальненої моделі електромагнітних процесів. Загалом, у рамках цієї моделі установлюється взаємозв'язок між електричними і магнітними полями, а також між полями і їхніми джерелами – струмами та зарядами. Для того щоб побудувати модель якогось конкретного процесу необхідно перетворити ці рівняння так, щоб вони відбивали тільки властивості явища або процесу, що моделюються.

Другий етап – дослідження математичних задач, до яких приводять математичні моделі. Основним питанням тут є рішення прямої задачі, тобто одержання в результаті аналізу моделі вихідних даних (теоретичних наслідків) для подальшого їхнього зіставлення з результатами спостережень досліджуваних явищ. На цьому етапі важливу роль набуває математичний апарат для аналізу математичних моделей, і обчислювальна техніка – могутній засіб одержання кількісної вихідної інформації, як результату рішення складних математичних задач.

Для аналізу електричних кіл використовуються закони Кірхгофа:

• алгебраїчна сума струмів у вузлі дорівнює нулю ;

• алгебраїчна сума падінь напруги на елементах замкнутого контуру дорівнює алгебраїчній сумі електрорушійних сил .

Початковими даними для аналізу електричного кола є сторонні ЭРС , опори гілок і структура кола, а вихідні дані – струми і падіння напруг. Рішення рівнянь Кірхгофа – це пряма задача, тому що в результаті одержують вихідні дані – струми і падіння напруг.

Досить часто математичні задачі, що виникають на основі математичних моделей різних явищ, мають однакову структуру. Це дає підставу розглядати такі типові математичні задачі, як самостійний об'єкт, абстрагуючись від досліджуваних явищ.

Повернемося до рівнянь Кірхгофа. Перша важлива властивість цих рівнянь – це їхня лінійність. Таким чином, дослідження ланцюгів постійного струму зводиться до розв’язку системи лінійних рівнянь. Оскільки досить велика кількість моделей описується за допомогою систем лінійних рівнянь, необхідно розробити ефективні методи їхнього аналізу, що само по собі є самостійною задачею. З урахуванням практичної важливості дослідження систем лінійних рівнянь у математиці сформувався відособлений науковий напрямок – лінійна алгебра.

Третій етап – з'ясування того, як співвідноситься прийнята (гіпотетична) модель з реальним процесом або явищем, тобто з'ясування питання про те, чи узгоджуються результати спостережень з теоретичними наслідками моделі. Тотожний збіг теоретичних наслідків з результатами спостережень – це виняткова ситуація. Як правило, відповідність між ними вважається прийнятною, якщо вони збігаються в межах точності вимірювань властивостей, що спостерігаються, або, що те ж саме, відхилення теоретичних результатів від експериментальних даних не повинно перевищувати точність вимірювань. Якщо модель була цілком визначена – усі параметри її були задані, то встановлення відхилень теоретичних результатів від експериментальних даних дає рішення прямої задачі з наступною оцінкою відхилень. У випадку, коли відхилення виходять за межі точності спостережень, то модель не може бути прийнята.

Зіставлення експериментальних даних і теоретичних результатів для оцінки математичних моделей дозволяє робити висновок не тільки про істинність самої моделі, але і про правильність положень, що лежать в основі (гіпотетичної) моделі.

Часто при побудові моделі деякі її вихідні параметри залишаються невизначеними. Задачі, у яких визначаються характеристики моделі (параметричні, функціональні) таким чином, щоб вхідна інформація була співпадала в межах точності вимірювань з результатами спостережень досліджуваних явищ, називаються оберненими задачами. У якості ілюстрації такої оберненої задачі розглянемо діагностичну систему.

З точки зору загальної теорії систем аналіз процесів у електричних ланцюгах може здійснюватись з використанням певних відношень в залежності від того на якому рівні досліджується електричний ланцюг як складна система.

Перший етап аналізу – це побудова принципової схеми електричного ланцюга. Найбільш доцільним у цьому випадку є подання електричного ланцюга у вигляді орієнтованого графу. При цьому використовуються два відношення: суміжності та інцидентності. Ці відношення задаються у матричній формі. У матриці суміжності елементи дорівнюють кількості дуг, що з’єднують вершини та , або , якщо вершини та не суміжні. У матриці інцидентності графа елемент , якщо дуга інцидентна та заходить у вершину , або , якщо дуга виходить з вершини. Якщо не інцидентна , то . Стосовно графу електричного ланцюга дуги – це струми у гілках ланцюга, а для того щоб врахувати елементи електричного ланцюга дугам графа приписують певну вагу, наприклад, опір гілки .

Розглянемо пасивний лінійний електричний ланцюг, що має одну ЕРС. Цей ланцюг можна зобразити у виді графу.

Побудуємо для цього графу матриці суміжностей та інциденцій

,

Кожна з дуг цього графа має наступну вагу: , , ,…, .

На другому етапі досліджуються електричні процесу у ланцюгу. Дослідження електричних кіл постійного та змінного струму здійснюється з використанням двох відношень еквівалентності, що мають назву – закони Кірхгофа. Згідно з першим законом Кірхгофа алгебраїчна сума струмів у вузлах електричного кола дорівнює нулю

.

Другий закон встановлює, що сума падінь напруги у замкнутому колі дорівнює алгебраїчній сумі ЕРС

,

або для лінійного пасивного електричного кола

.

Виходячи з двох відношень для аналізу розподілу струмів у гілках електричного ланцюга побудуємо систему лінійних рівнянь

Для першого закону Кірхгофа побудуємо рівняння скориставшись матрицею інциденцій

Інші отримаємо з другого закону Кірхгофа для замкнутих контурів. У графі замкнуті контури називають циклами. Під циклом розуміють замкнутий шлях у графі. Щоб система мала лише один розв’язок необхідно виділити три незалежних цикли, нехай це будуть цикли , та . Враховуючи при цьому напрямок обходу циклів та напрями струмів у дугах, отримаємо ще три рівняння

.

Однією з важливих для практики застосування теорії електричних кіл є задача діагностики складних електричних ланцюгів. Розробка різного виду діагностичних систем – це один з напрямків, який дуже інтенсивно розвивається, що зумовлено виключно необхідністю оцінки працездатності таких складних об’єктів як системи електроенергетики, телекомунікаційні системи тощо.

Діагностичну систему, що може використовуватись для оцінки працездатності електротехнічних пристроїв розробляють з урахуванням того, о відомі їх склад та структура, а саме: принципова схема та характеристики елементів. На практиці це виконується для всіх складних електротехнічних пристроїв. В загальних рисах побудова діагностичної системи полягає в розробці такої процедури, яка на підставі обраної сукупності діагностичних вимірювані дозволяє зробити висновок відносно або працездатності електротехнічного пристрою, або відповідності його параметрів запроектованим.

Розглянемо особливості розробки діагностичної системи для оцінки працездатності лінійних пасивних електричних ланцюгів. У цьому випадку необхідно встановити відповідність значень електричних опорів гілок передбаченим проектом. Просте вимірювання всіх опорів не прийнятне, з одного боку – за рахунок того що такі вимірювання можуть зайняти у складних системах дуже багато часу, а з іншого боку – у готовому пристрої їх просто не можливо виконати. Для розробки діагностичної системи скористаємось законом Ома для ділянки кола.

Згідно з ним падіння напруги на ділянці дорівнює алгебраїчній сумі падіння напруги на опорі та джерел ЕРС

Розділимо обидві частини цієї рівності на та запишемо її у наступній формі

.

Величина обернена опору гілки називається провідністю . Тоді це рівняння можна переписати у вигляді

.

Якщо тепер скористатись першим законом Кірхгофа, то отримаємо систему рівнянь виду

Це і є метод вузлових потенціалів або напруг. Коефіцієнти при – це провідності, при чому – це сума провідностей гілок, що приєднані до вузла , а – взята з протилежним знаком сума провідностей гілок, що з’єднують вузли та .

Використання цього методу дає можливість виконати діагностичні вимірювання вузлових напруг у готовому пристрої, скоротити кількість таких вимірювань та встановити значення провідностей гілок електричного кола. Подамо електричний ланцюг у вигляді багатополюсника (рис. 5.1). Вимірювання вузлових напруг будемо здійснювати наступним способом. Оберемо один з вузлів багатополюсника у якості базового (на рис. 5.1 він має індекс нуль). До базового вузла багатополюсника підключимо одну з клем джерела струму, струм якого можна регулювати (див. рис. 5.1).

Рисунок 5.1 – Багатополюсник

Другу клему джерела струму підключимо до першого вузла. За допомогою вольтметру, що підключений до багатополюсника, як показано на рис 5.1, виміряємо вузлові напруги у всіх вузлах починаючи з першого. Якщо умовно вважати що потенціал вузла дорівнює нулю то вузлові напруги – це вузлові потенціали. При цьому зв'язок між провідностями гілок, що з’єднують вузли багатополюсника та результатами вимірювань описується системою рівнянь

Підключимо джерело струму до другого вузла та знову виміряємо вузлові напруги. У результаті отримаємо систему рівнянь

Виконавши вимірювань та об’єднавши отримані системи рівнянь будемо мати

Якщо вибрати силу струму джерела в 1 А, то тоді добуток матриці провідностей на матрицю вузлових потенціалів буде дорівнювати одиничній матриці, це означає що у цьому випадку матриця є оберненою по відношення до матриці , тобто .

Отже використовуючи результати вимірювань можна обчислити обернену матрицю вузлових потенціалів та отримати значення вузлових провідності виготовленого електричного ланцюга. Порівнявши значення цих вузлових провідностей з їх проектними значеннями можна встановити чи відповідають параметри ланцюга обраним при його розробці значенням. Якщо деякі значення вузлових провідностей не співпадають, то можна встановити у яких гілках ланцюга номінали опорів не відповідають проектним.

Четвертий етап – наступний аналіз моделі в зв'язку з накопиченням даних про досліджувані явища та удосконалення або створення нової моделі. У процесі розвитку науки і техніки, виникає необхідність досліджувати все більш складні явища, при цьому може виникнути ситуація коли теоретичні результати, отримані з використанням існуючої математичної моделі не відповідають експериментальним даним, тоді модель уточнюється так щоб забезпечити відповідність між теоретичними та експериментальними результатами. У випадку коли теоретичні результати суперечать експериментальним даним, то це є свідченням обмеженості моделі. У такому випадку розробляється нова математична модель.