4.3 Нечіткі відношення
Нечіткі відношення мають фундаментальне значення в аналізі нечітких систем. Методи нечітких відношень широко використовуються в теорії нечітких автоматів, при моделюванні складних систем при розробці автоматизованих систем прийняття рішень тощо. Простим прикладом нечіткого відношення, що дуже часто зустрічається є нечіткі відношення: набагато більше, набагато менше та приблизно дорівнює.
Як і у випадку «чітких» множин нечітке відношення визначається як підмножина прямого (декартового) добутку нечітких множин
з функцією належності
.
Таке
відношення називається
-арним.
Значення функції належності – ступінь
виконання відношення. Оскільки найбільш
поширеними є бінарні відношення, то у
подальшому будемо розглядати тільки
їх.
Бінарне відношення визначається наступним чином
,
.
Розглянемо
для прикладу бінарне відношення:
.
Задамо спочатку функцію належності
цього відношення у матричному вигляді
на дискретній множині
.
Графічне представлення функції належності цього відношення наведено на рис. 4.11.
Рисунок
4.11 – Функція належності відношення
Розглянемо
ще одне відношення, що дуже часто
зустрічається, а саме «приблизно
дорівнює» –
.
Задамо функцію належності цього відношення у виді таблиці (табл. 4.1).
Таблиця
4.1 – Значення функції належності
відношення
|
y x |
1,0 |
1,1 |
1,2 |
1,3 |
1,4 |
1,5 |
1,6 |
1,7 |
1,8 |
1,9 |
2,0 |
|
|
|||||||||||
|
1 |
1,00 |
0,90 |
0,80 |
0,70 |
0,60 |
0,50 |
0,40 |
0,30 |
0,20 |
0,10 |
0,00 |
|
1,1 |
0,90 |
1,00 |
0,90 |
0,80 |
0,70 |
0,60 |
0,50 |
0,40 |
0,30 |
0,20 |
0,10 |
|
1,2 |
0,80 |
0,90 |
1,00 |
0,90 |
0,80 |
0,70 |
0,60 |
0,50 |
0,40 |
0,30 |
0,20 |
|
1,3 |
0,70 |
0,80 |
0,90 |
1,00 |
0,90 |
0,80 |
0,70 |
0,60 |
0,50 |
0,40 |
0,30 |
|
1,4 |
0,60 |
0,70 |
0,80 |
0,90 |
1,00 |
0,90 |
0,80 |
0,70 |
0,60 |
0,50 |
0,40 |
|
1,5 |
0,50 |
0,60 |
0,70 |
0,80 |
0,90 |
1,00 |
0,90 |
0,80 |
0,70 |
0,60 |
0,50 |
|
1,6 |
0,40 |
0,50 |
0,60 |
0,70 |
0,80 |
0,90 |
1,00 |
0,90 |
0,80 |
0,70 |
0,60 |
|
1,7 |
0,30 |
0,40 |
0,50 |
0,60 |
0,70 |
0,80 |
0,90 |
1,00 |
0,90 |
0,80 |
0,70 |
|
1,8 |
0,20 |
0,30 |
0,40 |
0,50 |
0,60 |
0,70 |
0,80 |
0,90 |
1,00 |
0,90 |
0,80 |
|
1,9 |
0,10 |
0,20 |
0,30 |
0,40 |
0,50 |
0,60 |
0,70 |
0,80 |
0,90 |
1,00 |
0,90 |
|
2 |
0,00 |
0,10 |
0,20 |
0,30 |
0,40 |
0,50 |
0,60 |
0,70 |
0,80 |
0,90 |
1,00 |
Як і звичайні відношення нечіткі відношення можуть задовольняти наступним властивостям:
-
рефлексивність, якщо
; -
симетричність, якщо
; -
асиметричність, якщо з умови
слідує
; -
транзитивність
.
Наприклад,
нечітке відношення еквівалентності
(приблизно дорівнює) є рефлексивним та
симетричним, а
– асиметричне.
Оберненим
відношенням
до відношення
є відношення таке, що
виконується рівність
.
Наприклад, відношення
є оберненим до відношення
.
Нечіткі відносини, як і звичайні, можуть підрозділятися на відношення еквівалентності, порядку, подібності і домінування в залежності від того яким із приведених нижче властивостей вони задовольняють.
Відношення
називається:
відношенням подібності, якщо воно рефлексивне і симетричне;
відношенням еквівалентності, якщо воно рефлексивне, симетричне і транзитивне;
відношенням нестрогого порядку, якщо воно є рефлексивним і транзитивним.
Перераховані відношення використовуються в нечітких системах для рішення таких, практично важливих задач, як угруповання (кластеризація, таксономія) та упорядкування. Розглянемо ці задачі.
Задача угрупування
Нехай
на деякій скінченій множині
задане відношення подібності, тобто
для будь-яких двох об'єктів заданий
ступінь їхньої близькості, подібності.
Необхідно розбити множину
на групи об'єктів, близьких між собою.
Ця задача зустрічається при класифікації
мінералів, матеріалів по їхніх
властивостях, систематиці біологічних
організмів (видів), визначенні психологічної
сумісності колективів.
Процедура
угрупування полягає в наступному.
Відношення подібності перетворюють у
відношення еквівалентності, шляхом
транзитивного замикання. Транзитивне
замикання – це операція за допомогою
якої для заданого відношення
одержують найменше транзитивне відношення
з функцією належності
яке
включає відношення
.
Побудувавши
для відношення подібності транзитивне
замикання, здійснюють розбивку множини
на класи еквівалентності з використанням
заданого для кожного класу
порогу близькості
.
До одного класу
відносять об'єкти
,
для яких
.
Задача упорядкування
Нехай
на деякій скінченій множині об'єктів
задане відношення порядку, тобто для
кожної пари об'єктів заданий ступінь
переваги одного в порівнянні з іншим.
Необхідно упорядкувати об'єкти – указати
спочатку «найкращий», потім той що
слідує за ним і т.д. Задачі упорядкування
найбільше широко використовуються в
автоматизованих системах підтримки
прийняття рішень, а також виникають,
наприклад, при виборі найбільш кращого
проектного варіанта. По парне порівняння
варіантів і вибір з них більш кращого
здійснюється групою експертів. Звичайно,
що їхні оцінки ступеня переваги варіантів
утворюють нечітке відношення порядку.
Нехай у результаті по парного порівняння
експертами трьох проектних варіантів
думки експертів розподілилися в такий
спосіб: три експерти вважають що варіант
переважніше
(
), а один експерт вважає, що
.
Відобразимо результати опитування в
таблиці
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
4 |
|
|
1 |
0 |
2 |
|
|
5 |
8 |
0 |
Для того щоб упорядкувати варіанти за ступенем переваги, спираючись на оцінки експертів, необхідно скористатися так званою функцією корисності, у вигляді
.
Обчислимо функцію корисності для кожного варіанта
Таким
чином, одержимо, що найбільш кращим є
варіант
,
потім
і
.
Слід зазначити, що у випадку великої
кількості варіантів необхідно скористатися
більш ефективними методами розробленими
в межах теорії розпізнавання образів
і штучного інтелекту.
Над нечіткими відношеннями виконуються наступні операції.
Об’єднанням
нечітких відношень
та
є нечітке відношення
функція належності якого визначається
зі співвідношення
.
Перетином
нечітких відношень
та
є нечітке відношення
функція належності якого визначається
зі співвідношення
.
Композиція
двох нечітких відношень
та
,
позначається
,
заданих на
з функціями належності
та
визначена тоді і тільки тоді коли існує
таке
для якого одночасно виконуються
відношення
та
з функцією належності
.
Таке визначення композиції називають
максимінною композицією. Використовується
також мінімаксне визначення композиції,
у цьому випадку функція належності
визначається за формулою
.
Розглянемо
на прикладах ці два визначення композиції
нечітких відношень
та
,
функції належності яких задані в
табличному виді
,
.
Визначимо функцію належності максимінної композиції цих відношень. Згідно визначення максимінної композиції перший елемент її функції належності знаходимо з співвідношення
,
аналогічно
,
,
.
Тоді
.
У випадку мінімаксної композиції функція належності буде мати вид
.
Моделі нечітких систем, як і у класичному випадку, будуються з використанням поняття нечіткого відношення.
Аналогічно
звичайним системам, модель «чорної
скриньки» нечіткої системи визначається
як нечітке відношення між множинами
входів
і виходів
,
а саме
Якщо
множини значень входів і виходів системи
скінчені, то для опису математичної
моделі системи можна скористатися
матрицями відносин, або сукупністю
правил, що по заданих входах визначають
вихід системи. Ці правила можуть мати
вигляд «ЯКЩО ... ТO ...» і називаються
продукціями. Наприклад, «ЯКЩО
ТО
».
Продукції записують у більш компактному
вигляді, у такий спосіб
.
Тут
,
у загальному випадку, деяке складене
нечітке висловлення, що може приймати,
наприклад, значення: «істино» або
«хибно». Така форма опису зв'язків між
входами і виходами системи особливо
зручна, коли елементами множини входів
і виходів системи є лінгвістичні змінні.