элмат. алгебра
.pdfVI. Трансцендентные (логарифмические и показательные) уравнения, неравенства и системы
Логарифмическим называется уравнение, содержащее логарифмическую функцию.
Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида:
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loga x = b, a > 0, a |
1. |
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о |
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г |
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Решение логарифмических уравнений основано на следующем важном |
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к |
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свойстве логарифмов: логарифмы двух положительных чисел по одному и тому |
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с |
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в |
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же положительному отличному от единицы основанию равны тогда и только |
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тогда, когда равны эти числа. |
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ш |
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Используя |
это |
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свойство, |
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простейшее |
логарифмическое |
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уравнение |
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н |
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решается так: |
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р |
ы |
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loga x = b, a > 0, a |
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х = a b. |
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Ч |
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Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида |
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logх А = В, А > 0. |
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Г |
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Н |
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и |
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При |
А 1 и В |
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0 уравнение имеет единственный корень х = А В . |
При |
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н |
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А = 1 и |
В = 0 |
уравнение имеет |
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решением |
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е |
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положительное число, |
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любое |
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отличное от 1. При А = 1 и В |
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0 и при А |
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1 и В = 0муравнение корней не имеет. |
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Решение простейших логарифмических неравенств основано на свойствах |
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монотонности логарифмической функции: |
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те |
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log а f(х) |
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f(х) |
g(х) |
0 |
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log а g(х) с |
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a |
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в |
р |
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a |
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н |
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и |
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у |
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log а f(х) |
й |
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0 |
f(х) g(х) |
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log а g(х) |
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н |
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н |
0ы a |
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0 |
a |
1 |
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В данных |
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е |
от |
простейшего логарифмического неравенства к |
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переходах |
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в |
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т |
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равносильным системам неравенств, не содержащих знака логарифма, учтена |
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с |
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р |
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область допустимых значений исходного неравенства. |
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д |
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При |
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решенииа |
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логарифмических |
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неравенств |
|
следует |
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избегать |
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|||||||||||||||||||||||||||
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у |
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с |
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преобразований, которые могут привести к потере или появлению посторонних |
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о |
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решений, так как в противном случае обоснование правильности ответа, как |
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г |
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й |
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правило, есть более сложная задача, чем решение исходного неравенства. |
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и |
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к |
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Практически единственным методом решения логарифмических неравенств |
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в |
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является метод перехода к равносильным |
неравенствам |
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(системам |
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или |
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о |
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сов купностям неравенств и уравнений): |
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т |
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0 |
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f(x) |
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1 |
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0 |
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f(x) |
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1 |
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|||||
а |
а |
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С |
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logf(x) g(x) > 0 |
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0 |
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g(x) |
1 |
1 |
; |
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logf(x) g(x) < 0 |
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g(x) |
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1 |
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|||||||||||||||
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f(x) |
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f(x) |
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1 |
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||||||
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g(x) |
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1 |
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0 |
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g(x) |
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1 |
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61
Показательным называется уравнение, в котором неизвестная величина содержится в показателе степени.
Решение показательных уравнений основано на свойствах степеней: две степени с одним и тем же положительным и отличным от единицы основанием равны тогда и только тогда, когда равны их показатели. Используя это свойство, простейшее показательное уравнение решается так:
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х |
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х |
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logab |
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о |
||||||
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а =b , a > 0, a |
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1, b > 0 |
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а = а |
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х = loga b. |
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о |
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Решение простейших показательных неравенств основано на свойствахг |
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с |
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монотонности показательной функции: |
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е |
к |
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а f(х) |
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а g(х) |
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f(х) g(х) |
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а f(х) |
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а g(х) |
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f(х) g(х) |
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в |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
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и |
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ш |
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||
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a |
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1 |
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a |
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1 |
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0 |
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a |
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1 |
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0 |
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a |
ы |
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||||||||
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1 |
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|||||||||||||||
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Учитывая |
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|
эти |
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|
свойства, |
многие |
показательные |
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е |
н |
|
|
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неравенствар решаются |
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|
Ч |
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|
методом приведения обеих частей неравенства к одному основанию. |
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. |
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f ( x ) |
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Г |
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|||
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|
Неравенство |
а |
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b , a > 0, a |
|
1, b > 0, может быть решено при помощи |
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. |
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|
Н |
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|
при всех b 0 |
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||||||||
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|
логарифмирования обеих частей (докажите, что это возможно); |
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и |
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неравенство справедливо для любого х из ОДЗ неравенства. |
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н |
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|||
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f ( x ) |
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е |
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|||||
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|
Неравенство |
а |
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b , a > 0, a |
|
1, b |
|
|
0, реш ний не имеет. |
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log |
3 |
|
х2 |
|
1 |
т |
м |
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|||||||
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log3 |
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х |
1 |
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1 |
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2 |
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те |
|
и |
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|||||||||
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Решим |
|
уравнение |
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2 х |
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1 |
|
. Анализ |
уравнения |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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9 |
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и |
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с |
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р |
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позволяет наметить план решения: (1) Найти ОДЗ уравнения. (2) Преобразовать |
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в |
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показатель |
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степени, |
содержащий |
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логарифмическиее |
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выражения, |
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на |
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ОДЗ. |
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(3) Перейти |
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н |
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||||||||||
|
|
|
от |
|
|
показательного |
|
|
уравненияи |
к иррациональному. |
|
(4) Решить |
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у |
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получившееся иррациональное уравнение. |
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й |
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1 |
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х |
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1 |
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0 |
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|
х |
1 . |
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Решение. (1) ОДЗ: ехн |
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тв |
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х |
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1 |
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с |
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р |
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|||||
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Поскольку х > 0, |
следующие преобразования являются равносильными на |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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д |
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log3 х |
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log3 |
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log |
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2 х |
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(3) |
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2 х 1 |
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х |
1 |
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(4) |
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х2– 4х + 3 = 0 |
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х |
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1 |
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2 х |
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х |
1 |
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2 х |
1 |
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х = 3. |
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Ответ. х = 3.
62
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Тестовые задания (по 10 баллов). |
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501. Найдите пары равносильных уравнений: |
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ответ |
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2 х = у |
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х = 2 |
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2 х + 3 = у |
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х = log8 у |
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2 3 х = у |
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х = – log0,5 у |
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2 х |
= у |
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х = – log2 у |
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= у |
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х = log2 |
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утверждения: |
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Задачи II уровня (по 30 баллов). Докажите следующиеи |
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561. Уравнение log |
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не имеет решентей. |
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562. Уравнение lg(4 – x) – lg(x – 6) |
р= 5 не имеет решений. |
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563. Для любых натуральных п в10, 2п > n3. |
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564. Для любых положитель |
ных a и b, и любых действительных х и у: |
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565. Для любых натуральныхе |
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566. Для любыхрположительных a и b, и любых натуральных п: |
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b |
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5 |
2b |
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36 а 1 |
1 |
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3 |
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7 2а |
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а |
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567.3.с |
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5b |
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о |
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52а |
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25 |
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т |
в |
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р |
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568. Для любых натуральных п, п > 1: |
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п |
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15 |
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п |
4 |
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15 2 . |
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а |
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С |
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569. Для любых положительных a и b: a > b , и любого натурального п: |
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(1) |
а a |
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b b |
> a b |
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b a. |
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(2) logп |
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b |
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logп |
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b |
1 |
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a |
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a |
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570. х2 4 |
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log 2 |
у |
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2х log у |
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log |
2 |
у |
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1 |
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0 . |
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66
Задачи II уровня (по 30 баллов). Найдите:
571.алгоритм решения уравнения вида Ааf(x)+Bbf(x)+С = 0, где А, В, С
–действительные числа, а а и b – взаимно обратные положительные числа;
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572. тождественны ли функции у = х а |
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и у = а х ; |
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573. корни уравнения х3 х2 |
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х ; |
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х |
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о |
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574. значения параметра a, при которых уравнение lg аx = 2 |
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о |
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lg (x + 1)г |
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х |
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х |
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с |
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имеет хотя бы одно решение; |
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е |
к |
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|
575. значения параметра a, |
при которых уравнение 4 – а 2 – а + 3в= 0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
имеет единственный корень; |
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2х |
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х |
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0; |
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н |
ш |
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576. решение неравенства |
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А а |
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+ В а + С |
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|
|
р |
ы |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
577. значения параметра a, при которых неравенство |
|
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е |
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|
|
|
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4 х |
2 |
2 2 х |
2 |
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2а 1 4а2 |
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3 0 |
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Ч |
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. |
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выполняется для любых значений x; |
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Г |
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. |
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|
578. решение неравенства |
|
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|
а2х + ах+2 – 1 |
|
1 |
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|
Нпри |
|
всех |
|
значениях |
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и |
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параметра а (а > 0, a |
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1); |
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н |
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logе x |
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иx |
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log 2 x 2 |
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м |
2 |
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те |
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2 |
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579. множество всех решений неравенс |
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580. множество всех решений неравенстваи |
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581. множество всех решенийу |
неравенства при 0 < а < 1/4: |
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582. значения парамнтра a, при которых неравенство |
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583. решениеу |
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584.ирешение уравнения |
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т |
585. при каких значениях параметра a, для любого значения параметра |
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имеет действительные |
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корни из интервала (0; 0,5). |
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67
Задачи III уровня (по 40 баллов). Решите задачи.
586. Задачи физического содержания. (1) В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону
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, где т0 – начальная масса изотопа, Т – период |
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полураспада (в мин.). |
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В лаборатории |
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содержащее 40 мг изотопа азота-13, период полураспадао |
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которого 10 минут. В течении скольких минут маса |
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изотопа азота-13 будет не меньше 10 мг? (2) Уравнение процесса, в котороме |
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участвовал газ записывается в виде pV a=const, где р – давление в газеш(в Па), |
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V – объѐм газа (в м ), a – положительная константа. При каком |
р |
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наименьшем |
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значении |
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константы |
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уменьшение |
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вчетверо объѐма |
газа, |
участвующего |
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в процессе, приводит не менее, чем к двукратному изменению давленияЧ |
? |
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физического содержания. (1) |
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587. |
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Задачи |
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Для |
обогреваГ |
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помещения, |
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температура в котором Тп= 20 С, |
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Н |
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через радиатор пропускают горячую воду |
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н |
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температурой Тв= 60 С. Через радиатор проходит т =и0,3 кг/с воды. Проходя |
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м |
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по радиатору расстояние в 84 метра, вода охлаждаетсяе |
до температуры Т( С), |
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причѐм |
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это |
т |
расстояние |
определяется |
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ст |
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Тв |
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Т п |
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выражениемте: х |
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0,7 |
log 2 |
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, |
где с |
– |
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с |
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γ |
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Т |
Т п |
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и |
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Дж/кг |
С), γ |
– |
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теплоѐмкость воды (равна 4200 |
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в |
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и |
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коэффициент теплообмена (равен 21 Вт/ С), |
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у |
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Донкакой температуры (в градусах Цельсия) |
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(2) Находящийся |
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охладится |
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вода? |
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в |
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воде |
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ы |
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е |
н |
водолазный колокол, |
содержащий ν = 4 |
моля |
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воздуха при давлении р1= 1,2 атм., |
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в |
н |
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медленно |
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т |
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опускают |
|
на |
|
дно |
водоѐма. |
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При |
|
этом |
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с |
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происходит изотермическое сжатие воздуха. |
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а |
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у |
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р |
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Работа |
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(в |
Дж), |
совершаемая |
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при |
сжатии |
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с |
д |
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воздуха, |
|
определяется |
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выражением: |
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р |
2 |
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А |
5,75 νТоlog |
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, где Т = 300 К – температура воздуха, р |
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– начальное |
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2 |
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р |
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1 |
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й |
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и |
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1 |
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с |
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давлениек |
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(в атм.), |
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р2 – |
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конечное |
давление |
(в |
атм.) |
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воздуха |
|
в |
колоколе. |
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о |
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До какогов |
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наибольшего давления можно сжать воздух в колоколе, если при |
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т |
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сжа ии воздуха совершается работа не более, чем 20700 Дж? |
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р |
588. Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре С = 5 10–6 Ф. |
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а |
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а |
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с |
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конденсатором |
подключѐн |
резистор |
с |
|
сопротивлением |
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С |
Параллельно |
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R = 2 106 |
Ом. Во время работы телевизора напряжение на |
|
конденсаторе |
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U = 18 кВ. После |
|
выключения телевизора |
|
напряжение |
|
на |
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конденсаторе |
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|
убывает до значения U (кВ) за время (в секундах), определяемое выражением |
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t = 1,1 RC |
|
log2 |
U 0 |
|
. |
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Определите |
(в |
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киловольтах) |
наибольшее |
|
возможное |
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U |
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68
напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 11 секунд?
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589. Из десятилитрового сосуда со 100% уксусной кислотой отлили 1 л. |
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кислоты, добавили 1 л. воды и тщательно перемешали. Какое минимальное |
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количество раз нужно повторить эту процедуру для того, чтобы в сосуде |
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оказался 64% раствор уксуса? |
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590. |
Содержание |
§ 72 |
|
|
«Счисление сложных процентов и |
сложных |
о |
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уплат» из учебника «Алгебры» начала ХХ века. |
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г |
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|
«При счислении процентов |
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к |
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различают так |
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называемые простые |
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проценты |
и сложные. Если |
прибыльо |
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в |
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сосчитывается ежегодно только с основного капитала, то говорят, что капиталс |
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е |
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отдан на простые проценты; |
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если же прибыль за каждый год сосчитыва тся с |
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ш |
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капитала, наращенного прибылями за предшествующие года, то говорят, что |
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н |
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капитал отдан на сложные проценты. Задачи на простые проценты |
ырешаются |
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е |
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по способам, рассматриваемым в арифметике. Задачи на сложныер проценты |
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Ч |
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|
требуют |
пособия |
логарифмических |
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|
таблиц и |
потому рассматриваются в |
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алгебре. |
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Г |
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Основная формула сложных процентов выводится следующим. |
образом: |
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и |
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Положим, что капитал а, отданный в рост по р сложныхН |
процентов со ста |
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е |
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* |
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|
на время t полных лет, обращается в конце оборота внсумму А. |
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Чтобы выразить зависимость указанных чисел, рассуждаем так…» |
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Выведите формулу сложных процентов иивыясните, через сколько лет |
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капитал, отданный в рост под 9% годовых, ув личится вдвое. |
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591. |
Содержание |
§ 72 |
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«Счисление сложных процентов и сложных |
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уплат» из учебника «Алгебры» начала ХХсвека. «При займах в банках делают |
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обыкновенно условие, чтобы |
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в |
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долг вм сте с процентами погашался в течение |
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некоторого срока ежегодными взносами. Такие ежегодные взносы называются |
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срочными уплатами. |
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Если сумму долга обозначить через А, срочную уплату, постоянную для |
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каждого года, |
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через а, от ошениеы |
наращения через q и время через t, то |
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формулу, посредством которойн |
решаются задачи на срочные уплаты, можно |
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т |
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вывести таким рассуждениемв |
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Долг в течение спервого года обратился в Аq, но должник внесѐт а рублей |
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и потому к началу следующего года долг будет Аq – a. Эта сумма в течение |
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д |
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второго года обратится в Аq |
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– aq, но после второй срочной уплаты к началу |
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– aq – а. По истечении трѐх лет размер |
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следующего да останется долгу Аq |
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долга выразится через …».** |
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Выведитеи |
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формулу срочных уплат и выясните, во сколько лет можно |
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уплатитьс |
долг |
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250 000 рублей, |
занятый под 10% годовых, |
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уплачивая |
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ежег дно по 75 000 рублей? |
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*Шапошников Н.А. Учебник алгебры, применимый к программам средних учебных заведений. Седьмое издание (в двух частях) с существенными дополнениями во второй
части. Часть вторая. Курсы старших классов гимназий и реальных училищ. – М., 1908. –
С. 114.
**Там же, С 116
69
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592. На занятие математического |
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кружка |
учитель |
принѐс .копию страницы |
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учебника |
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Эйлера |
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Леонарда |
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«Универсальная |
арифметика», изданного |
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в 1768 |
году. |
Тексти |
страницы касался |
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применения |
логарифмов к |
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извлечению |
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просветителе ХVIII |
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корней. После |
рассказа о великом |
математикеми |
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века |
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т |
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учитель |
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дал |
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задание: |
разработать |
алгоритм извлечения |
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корней |
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из |
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те |
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действительных |
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чисел, |
используя |
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свойства |
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логарифмов. |
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Насколько |
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разработанный учениками алгоритм отличалсяи |
от предложенного в учебнике |
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Л. Эйлера? |
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593. Из пунктов А и В, расстояние между которыми равно 2 км, вниз по |
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течению реки одновременно начи аюти движение соответственно плот и лодка. |
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В |
тот же |
момент из пункта |
В унавстречу плоту начинает движение катер. |
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Собственная скорость лодки равнай |
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скорости течения, |
собственная скорость |
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катера в |
два |
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раза превышает скорость течения. Встретив |
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плот, катер |
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мгновенно разворачива тся и следует до встречи с лодкой, после чего снова |
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разворачивается и движетсяв |
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в сторону плота до встречи с ним, затем опять к |
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лодке и т.д. Сколько саз катер встретит плот за время, в течение которого плот |
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преодолеет расстояниеа |
, равное 1000 км? |
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594. Ограничение складывания бумаги пополам |
физический феномен, |
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суть которо |
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состоит в том, что лист обычной бумаги офисного размера |
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можно сложить пополам не более 7 раз . Объясните, почему? |
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В 2001 году американка Бритни Гэлливан (англ. Britney Gallivan), тогда школьница, |
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авывела математическую модель складывания бумаги; кроме того, ей удалось сложить |
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лист 12 раз, правда достаточно тонкой и гибкой золотой фольги. |
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24 января 2007 года в 72-м выпуске телепередачи «Разрушители легенд» команда |
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исследователей попыталась опровергнуть закон. Они сформулировали его более точно: «Даже очень большой сухой лист бумаги нельзя сложить в двое больше семи раз, делая каждый из сгибов перпендикулярно предыдущему». На обычном офисном листе закон подтвердился, тогда исследователи проверили закон на огромном листе бумаги. Лист размером с футбольное поле (51,8×67,1 м) им удалось сложить 8 раз без специальных средств (11 раз с применением катка и автопогрузчика).
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