элмат. алгебра
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промежутке М, если |
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(2) Пусть f(x) – непрерывна и строго возрастает |
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x1, x2 |
М: |
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на М, а g(x) непрерывна и строго убывает на М, |
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x1> x2 |
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f(x1) > f(x2) |
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тогда уравнение f(x) = g(x) может иметь не |
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Функция f(x) называется |
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более одного корня на промежутке М. |
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убывающей на промежутке |
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Решим уравнение |
x 2 |
x2 |
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2x |
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3 |
= 64. |
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М, если |
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x1, x2 М: |
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Рассмотрим функции f(x) = х и |
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о |
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x1> x2 |
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f(x1) f(x2) |
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g(x) = 2 x2 |
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2x 3 . |
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г |
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Функция f(x) называется |
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g(x) – непрерывна, строго возрастает на |
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строго убывающей на |
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о |
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к |
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(– |
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в |
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промежутке М, если |
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; + ) и ограничена снизу нулѐм, то есть с |
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принимает только положительные значенияе. |
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x1, x2 |
М: |
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ы |
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x1> x2 |
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f(x1) < f(x2) |
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f(x) – непрерывна, строго возрастает на ш |
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(– |
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Возрастающая и |
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; + ) и тоже должна принимать нтолько |
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Ч |
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убывающая функции |
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положительные значения (посколькуе в правой |
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называются монотонными |
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части исходного равенства стоит |
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(меняющимися в одном и |
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положительное число 64, представленноеГ |
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том же направлении). |
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Н |
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произведением двух множителей, одно из |
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Строго возрастающая или |
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которых – g(x) – тоже положительнои |
): f(x)> 0, |
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строго убывающая функция |
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отсюда x > 0. |
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м |
н |
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называется строго |
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Итак, f(x) |
g(x) – непрерывная и строго |
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монотонными. |
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и |
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), |
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монотонная функцият |
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на промежутке (0; + |
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тогда исходноетеуравнение может иметь не |
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более одногос корня на этом промежутке. |
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6 |
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Путь |
х = 1, тогда выполняется равенство: |
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1 2 |
и= 64, следовательно, |
х = 1 – корень |
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данного уравнения. |
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Тестовые задания (по 10 баллов). На координатной плоскости выделите |
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ту еѐ часть, которая является графической / геометрической моделью данных |
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функции, уравнения, неравенствае |
или системы. |
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201. f(x)= х |
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т |
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– 5 х + 6 |
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х |
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х |
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, |
х |
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1 |
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д |
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202. х |
3 |
= |
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х |
1, |
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1 |
x |
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1 |
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у |
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x |
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x |
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1, |
x |
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1 |
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31
203. 3х4 = 2х2 – 3 |
204. (х – 1)2 + (х + 2)2 = 5 |
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(х 2)2 |
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(у 1)2 |
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2ху |
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210. |
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н |
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Задачи I |
|
уровня (по 20 |
|
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|||||||||||
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баллов). Часто график одной функции можно |
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получить из графика другой функции с помощью геометрических |
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преобразований |
(переносы |
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параллельно |
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осями |
координат, |
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растяжение и |
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сжатие к осям, симметрия относительно осей), а также используя «сложение» |
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графиков. |
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те |
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х |
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х2 |
3 |
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||||
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Построим |
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график |
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функции |
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f(x)= |
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+ х |
– |
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, |
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предварительно |
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преобразовав его тек, чтобы можно было использовать как можно больше |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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геометрических преобразований и как можно меньше «сложение» графиков. |
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Если предварительно раскрыть модуль, то на промежутке [0; + ) надо |
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построить график функциие f1(x)= – |
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((х – 3)2 – 6), а на промежутке (– ; 0) |
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((х + 1)2 + 2). При этом используются |
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построить графикафункции f2(x)= – |
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Если модуль не раскрывать, |
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тоепостроение сведѐтся |
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и f(x)= – ((х – 1) + 2) и их «сложению» (на чертеже |
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Используя графики элементарных функций, |
их геометрические |
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а |
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С |
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преобразования и «сложение», постройте графики следующих функций: |
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211. f(x)= sign х – |
х3 |
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212. f(x)= х – 3 |
+ |
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3х |
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213. f(x)= |
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sin (2х – |
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х |
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214. f(x)= |
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– 2cos (4x + |
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) |
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216. f(x)= |
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х – 6 |
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215. f(x)= |
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+ х – 5 |
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217. f(x)= log0,5 х2 –sign (x3) |
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218. f(x)= log2 (х – 5) + |
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2x – 5 |
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220. f(x)= |
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Задачи I уровня (по 20 |
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баллов). Исследуйте функцию и постройте еѐ |
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2 . |
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223. f(x)= |
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224. |
f(x)= |
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х 4 |
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225. |
f(x)= – х |
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+ х – х |
– 1 |
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226. |
f(x)= – |
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+ 3 |
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х |
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+ 2 |
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3х2 + 12х + 9 |
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т |
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x 2 |
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227. f(x)= |
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+ х |
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228.теf(x)= |
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1 – |
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х |
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229. |
f(x)= |
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х + 3 |
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– |
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х + 3 |
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2 |
– 1) |
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и |
f(x)= |
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1 – |
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х |
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– |
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х |
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+ 1 |
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(х |
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с230. |
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Задачи |
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I |
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уровня |
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(по |
20 |
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е |
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баллов). Решите уравнения, используя |
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функциональный подход. |
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sin x |
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sin x |
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tg x |
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232. |
3 |
– х = sin |
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x |
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233. |
4 |
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18 |
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х |
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8 |
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х |
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2 |
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2 |
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ы |
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234. х |
2 |
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2х |
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3 |
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4 |
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235. |
х |
2х = 8 |
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в |
н |
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236. |
х – 3 + х2 – 3 = 0 |
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237. |
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8 |
+ 1 = cos x |
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с |
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238. |
log2 х = 3 – x |
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239. |
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= 27 |
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240. |
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х |
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11 |
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6 |
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256. |
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2 |
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|||||||||||
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257. |
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|
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х |
у |
|
0 |
|
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|
258. |
|
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|
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|
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|
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2 |
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259. |
|
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260. |
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3ху 16 0 |
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х |
2 |
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8х 12 0 |
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если |
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|
Задачи II уровня (по 30 балловв). Функция f(x) называется чѐтной, |
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она не меняет своего знака при перемене знака аргумента: f(– x) = f(x). |
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Функция |
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f(x) называется |
й |
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если |
|
|
она |
|
при перемене |
знака |
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|
нечѐтной, |
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|
аргумента меняет свой знак, но сохраняет абсолютную величину: |
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н |
|
|
f(– x) = – f(x). |
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Функция |
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f(x) |
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в |
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если |
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существуют |
такие |
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называется периодической, |
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|
|
постоянные |
|
не |
|
|
|
с |
|
нулю |
числа t, |
|
|
2t, |
|
3t, ... |
|
от |
|
прибавления |
которых |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
равные |
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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р |
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а |
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к аргументу x значение функции не изменяется: |
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у |
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f(x + kt) = f(x), k = |
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1, |
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2, |
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3, …. |
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с |
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Наименьшее положительное число t, от прибавления которого к аргументу не |
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|
г |
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||
|
изменяется значение функции называется периодом функции. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
к |
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|
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|
|
Фуниция |
|
g(x), определѐнная на множестве Dg |
|
и принимающая значения |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
в |
|
|
|
|
|
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Eg, называется обратной к функции у = f(x), определѐнной на |
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на множествес |
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т |
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и принимающая значения на множестве Ef, |
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множестве |
Df |
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р |
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аесли для любого x из Df : |
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g(f(x)) = x, |
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аа для любого у из Ef : |
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f(g(у)) = у. |
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С |
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Функции |
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х = g(у) |
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и у = f(x), определѐнные |
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на |
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множестве Dg |
и Df |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
соответственно и принимающие значения на множестве Eg |
и Ef, |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
соответственно, называются взаимно обратными, если Dg = Eg и Df = Ef. |
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36
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Докажите следующие утверждения: |
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261. Если |
для |
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всех x из некоторого промежутка М справедливы |
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неравенства f(x) >А и g(x) < А, где А – некоторое число, то на промежутке М |
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уравнение f(x) = g(x) корней не имеет. |
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262. Если |
для |
|
всех x из некоторого промежутка М справедливы |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
неравенства f(x) >А и g(x) < А, где А – некоторое число, то на промежутке М |
о |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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неравенство f(x) < g(x) решений не имеет. |
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г |
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263. Пусть |
f(x) |
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– |
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непрерывная |
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и |
строго |
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монотонная |
|
функция |
о |
|||||||||||||||||||||||||
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на |
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к |
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промежутке М, |
тогда уравнение f(x) = С, |
где С |
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с |
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– данная константа, может |
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в |
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иметь не более одного корня на М. |
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е |
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ш |
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|||||||||||||||||
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264. |
Пусть f(x) |
– |
непрерывна |
|
и строго |
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ы |
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g(x) |
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возрастает на М, а |
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н |
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|
непрерывна и строго убывает на М, тогда уравнение f(x) = g(x) может иметь не |
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р |
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более одного корня на промежутке М. |
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. |
е |
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265. Чѐтная функция не может быть строго монотонной. |
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Ч |
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Г |
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266. Любая |
функция представима |
в |
виде суммы чѐтной |
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и |
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нечѐтной |
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. |
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функций. |
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Н |
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||||
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|
и |
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267. |
Взаимно обратные функции либо строго возрастают, |
либо строго |
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е |
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убывают. |
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м |
н |
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||||||||
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268. |
Графики взаимно |
|
обратных |
|
функций |
|
симметричны относительно |
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и |
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прямой y = x. |
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т |
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||||||||
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те |
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269. Чѐтная функция не имеет обратной функции. |
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с |
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270. Периодическая функция не имеетиобратной функции. |
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в |
р |
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|
называют функцию от функции, |
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|||||||||||||||||||
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Задачи II уровня (по 30 баллов). Сложнойе |
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и |
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когда функция зависит от аргумента не непосредственно, а через посредство |
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н |
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у |
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«промежуточной» функции: у = f(g(x)). Здесь функция у зависит от аргумента |
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x |
|
через посредство |
|
«промежуточнойй |
» |
функции |
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t = g(x), другими |
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словами, |
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ы |
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можно записать: у = f(t), |
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н |
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|||||||||||||
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где |
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t = g(x) – внутренняя функция (у = f(t) – внешняя |
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е |
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функция). Графики сложныхн |
|
функций можно строить, как и графики простых |
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т |
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функций, на основаниивобщего исследования функции. |
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р |
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Построим графиксфункции у = lg cos x. |
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д |
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Область определенияа |
этой функции зависит от области определения |
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с |
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(– |
|
; + ) |
и областиу |
значений [– 1; 1] внутренней функции |
t = cos x, а также |
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г |
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области определенияо |
(0; + |
) внешней функции у = lg t, то есть: |
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й |
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0 < cos х |
1, |
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|||||||
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и |
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к |
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с |
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в |
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– |
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+ 2 п < х |
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+ 2 п. |
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||||||||||
|
что ра носильно |
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|||||||||||||||||||
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|
о |
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2 |
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|
2 |
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т |
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|||||
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||
|
а |
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Область значений этой функции определяется (логарифмированием) из |
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р |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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0 < cos х |
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того же условия: |
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– < lg cos х |
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Функция чѐтна в силу чѐтности функции t = cos x, из чего следует: lg cos х = lg cos (–х).
Функция периодичная с периодом 2 , равным периоду внутренней функции.
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Характерные точки: х = 0, х = |
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При х = 0, |
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cos х = 1, |
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у = lg cos х = lg cos 1 = 0. |
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При х = – |
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cos х = 0, |
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у = lg cos х не существует, но у |
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При х = |
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cos х = 0, |
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у = lg cos х не существует, но у |
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Асимптоты: х = |
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При х = |
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у = lg cos х = lg |
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–0,3. |
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функции: |
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lg cos x |
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273. у = lg tg x |
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274. у = sin2 х |
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275. у = tg |
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276. у = sin |
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278. у = sin |
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279. у = ctg (sin х) |
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277. у = ctg lg х |
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х 1 |
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281. у = lg (1 – х ) |
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282. у = lg (х – 1) |
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280. у = |
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х2 |
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х2 |
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284. у = 2 |
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285. у = 2 |
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283.т |
у = lg lg х |
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Задачи III уровня (по 40 баллов). Решите задачи. |
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С |
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286. |
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Найдите |
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все |
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положительные |
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а такие, |
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|
что система |
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х |
5 2 |
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у 2 |
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а2 |
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х |
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7 2 |
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у |
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4 2 |
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9 |
имеет единственное решение. |
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38 |
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287. |
Найдите |
|
все |
а такие, |
что |
система |
х 5 |
2 |
|
|
|
у |
8 |
2 |
|
|
36 |
|
имеет |
|
||||||||||||||||||||||||
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х |
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а |
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2 |
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у |
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ровно три различных решения. |
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288. Найдите все а, для которых график функции |
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f(x)= x2– х2 + 2х – 3 |
– а |
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пересекает ось абсцисс более, чем в двух различных точках. |
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г |
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289. Найдите все а, для которых решение неравенства |
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к |
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2х – а |
+ 1 |
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х + 3 |
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образует отрезок длины 1 |
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290. Числа 5х – у, 2х + 3у, х +2у образуют арифметическую прогрессию, |
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а числа (1 + у)2, |
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(х – 1)2 |
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ху + 1, |
– |
геометрическую |
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прогрессию.ыНайдите |
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значения х и у. |
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2Ч |
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2 |
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0 |
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291. При каких значениях а |
система |
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2у х 2 х. |
2х 4 х |
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имеет не менее трѐх различных решений? |
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292. Решите систему уравнений с параметромма: |
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3 . |
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х2 |
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а 2 |
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293. |
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Найдите площадь |
фигуры, |
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тезаданной |
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системой |
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неравенств |
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х |
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294. |
Найдите функции f(x) |
инg(x) удовлетворяющие заданной системе |
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f |
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2x |
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g х |
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1й x |
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f 2x 1 2g хн1 2x2 |
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в |
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f(x) |
и g(x) |
удовлетворяющие заданной системе |
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295. Найдите функции |
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2x |
р |
т |
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2x |
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1с2g х 1 |
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уравнений |
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xа |
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296и. Творческое задание (100 баллов). Считается, что впервые термин |
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в |
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«функцияс » (от латинского ‘functio’ |
– |
совершение, |
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исполнение), |
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а также |
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о |
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термины «переменная» и «константа» ввѐл Готфрид Вильгельм Лейбниц |
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а |
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(1646-1716), но только во второй половине XIX века благодаря развитию идей, |
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а |
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С |
рзаложенных в трудах Эйлера, Даламбера, Д.Бернулли, Фурье, Лобачевского, |
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Дирихле, |
|
и созданию |
|
теории множеств |
сложилось |
современное |
понятие |
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функции. Охарактеризуйте вклад этих учѐных в понятия «функция».
39
297. Творческое задание (100 баллов). Одним из методов построения графика сложной функции является предварительное вспомогательное построение графика внутренней функции. Охарактеризуйте этот метод.
Проиллюстрируйте метод на примере построения графиков из заданий №№ 271-285.
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298. Творческое задание (100 |
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баллов). Одним из методов построения |
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графика сложной функции является исследование производных этой функции. |
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г |
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Что Вам известно об истории этого метода? Охарактеризуйте этот метод. |
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Проиллюстрируйте метод на примере построения графиков из заданийк |
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№№ 271-285. |
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299. Творческое задание (100 |
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баллов). |
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графиками |
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ш |
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простейших |
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многочленов |
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встречались |
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умеетеы |
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строить. |
Так, |
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график |
многочлена |
р1-й степени |
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функции |
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– прямая линия, |
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второй |
степени |
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+ bx + c |
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парабола. Знакомые Вам графики многочленов |
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высоких |
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степеней |
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для |
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y = x |
n |
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тоже |
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случая |
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е |
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по существу |
однотипнын(для |
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четных n и для |
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нечетных n). |
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м |
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А вот графики многочленов общего |
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т |
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вида очень разнообразны и могут иметь самую |
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те |
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причудливую |
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форму. |
Исследуйте |
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свойства |
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графиков |
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многочленов |
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вида. |
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Разработайте общую схему для их построения. |
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|
Приведитеене менее 10 примеров. |
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н |
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300. Творческое задание (100 баллов). |
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|
Решитеу |
|
задачу обратную задаче |
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№ 299: |
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как |
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й |
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ы |
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многочлена |
определить |
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|
его |
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по графику |
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н |
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е |
аналитическую запись? Для начала определите |
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многочлен, |
график |
которого |
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представлен |
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на |
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т |
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в |
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чертеже. |
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Разработайте |
общую |
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схему |
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для |
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а |
с |
|
решения подобных задач. Приведите не менее |
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|
10 примеров. |
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д |
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у |
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