Ведущая функция объекта.

Задача 28. При К_г=0,9 в среднем 90% времени, отведенного для работы

на ЭВМ, расходуется на решение задач, а 10% - ремонты ЭВМ, связанные с отказами. Отсюда можно определить полезное время в относительных единицах, но количество отказов и время между отказами только из этой информации определить не удастся, для этого необходимо знание или среднего времени восстановления θ_ср или средней наработки на отказ Т_о. Пусть например, величина θ_ср составляет 36 минут. Тогда из 1440 минут в сутки время всех ремонтов составляет

θ_ср N = 1440 (1- К_г) = 1440 (1- 0,9) = 144 минуты,

что означает, что число отказов N = 4.

Средняя наработка на отказ Т_о = 1440 0,9/4 = 324 минуты.

Задача 29.За время эксплуатации 125 часов установка претерпела 4 отказа со средним значением параметра потока отказов  _ср = 0,04 (1/час). Определить коэффициенты готовности и простоя.

Имеющаяся информация позволяет оценить в предположении постоянства параметра потока отказов среднюю наработку на отказ Т_о, а вслед за этим –

- и среднее время восстановления θ_ср.

Т_о = 1/0,04 = 25 часов.

Из утверждения «4 отказа за 125 часов» следует, что среднее время цикла

_ср =θ_ср+Т_о= 125/4 = 31,25 часа, откуда θ_ср = 31,25 – 25 = 6,25 часа.

Задача 30.Батарея конденсаторов за год эксплуатации претерпевает 20 отказов. Коэффициент готовности равен коэффициенту простоя. Определить среднее время восстановления батареи.

Из равенства коэффициентов готовности и простоя

Т_о θ_ср

К_г = ----------- = К_п = -----------

θ_ср+Т_о θ_ср+Т_о

вытекает равенство средних времен наработки и восстановления Т_о = θ_ср, но

сами эти величины из представленных выражений определить нельзя. Итак, опять мы сталкиваемся с нехваткой информации. Эта недостающая информа-ция должна содержаться в утверждении “20 отказов за год эксплуатации”. Если процесс функционирования восстанавливаемого объекта - это чередо-вание интервалов безотказной работы и восстановления, то за рассматривае-мый год было 20 таких циклов, а значит среднее время цикла

_ср = 8760/20 = 438 часов.

Поскольку_ср =θ_ср+Т_о, то с учетом Т_о = θ_ср найдем θ_ср= 219 часов.

Задача 31. Коэффициент готовности тяговой подстанции К_г = 0,999315. Сколько отказов в среднем за год претерпевает ТП, если среднее значение параметра потока отказов  _ср = 1,3708 10^-3 (1/час).

Так как задан осредненный параметр потока отказов, то задача может быть решена только в предположении простейшего потока отказов, когда

 = λ = Сonst.

Тогда средняя наработка на отказ

Т_о =1/λ =1/ = 1/0,0013708 = 729,5 час.

В курсе лекций было отмечено, что коэффициент готовности, характеризуя долю полезного времени в относительных единицах, не отражает сколь велико время между отказами и как часто объект выходил из строя, следовательно, одним коэффициентом готовности характеристики надежности определяться не могут. С ним в паре должны задаваться или _ср или Т_о. Имея значение СННО, мы можем определить значение _ср, а затем и среднее количество отказов ТП за год эксплуатации.

К_г = Т_о /(θ_ср+Т_о),

Т_о =(θ_ср+Т_о)К_г или Т_о(1 - К_г)= θ_ср К_г или

1 - К_г 1 - 0,999315 0,00685

θ_ср = Т_о --------- = 729,5 ------------------ = 729,5 -------------- = 0,5 часа.

К_г 0,999315 0,999315

Сумма _ср = θ_ср+Т_опредставляет собой среднюю продолжительность цикла, и если число часов в году поделить на это число, получим искомое количество отказов за год

8760 8760 8760

N = ---------- = ----------------- = --------- = 12.

_ср 729,5 + 0,5 730

Здесь, как и в Задаче 27, заданные цифры действительности не соответствуют! 12 отказов тяговой подстанции за один год эксплуатации – невероятно много! Даже все вместе взятые тяговые подстанции Московской железной дороги (примерно 150 подстанций) не дают за год такого количества отказов.

Задача 32. На тяговой подстанции в работе находится один выпрями-тельный агрегат. СННО собственно выпрямителя Т_в= 12500 часов, а СННО всего агрегата Т_а= 10000 часов. Определить СННО выпрямительного транс-форматора Т_т,если все потоки отказов простейшие.

Одно из свойств простейших потоков отказов  = λ = Сonst. Тогда при средней наработке на отказ агрегата Т_а = 10000 часов интенсивность его отказов λ_а =1/Т_а= 1/10000 = 10^-4 (1/час). Точно так же интенсивность отказов выпрямителя λ_в =1/Т_в= 1/12500 = 8 10^-5 (1/час). Но выпрямитель и трансфор-матор в агрегате имеют основное соединение, и интенсивность отказов агре-гата должна определяться как сумма интенсивностей отказов этих элементов. Отсюда можно определить интенсивность отказов трансформатора, а затем и его СННО.

λ_т = λ_а – λ_в = 10 10^-5– 8 10^-5= 2 10^-5(1/час).

Т_т = 1/λ_т=0.5 10⁵= 50000 часов.

Задача 33. Параметр потока отказов СЭС  = 10^-3/2.92(1/час). Опре-делить наиболее возможное число отказов системы за один год эксплуатации.

Очевидно, что задача может быть решена только в предположении простей-

шего потока отказов, когда применим закон Пуассона, и математическое ожи-дание числа отказов за год определится выражением

а = λ t =  t = (10^-3/2.92) 8760 = 3 .

Единственным способом решения этой задачи будет подстановка в выраже-ние закона Пуассона всех реальных значений чисел отказов k и сравнение вероятностей их появления. Если при каком-то значении k эта функция будет иметь максимум, то задача будет решена. Начать следует с определения ВБР, (k=0).

3⁰

р₀(год) = ---- Exp(-3) = Exp(-3)

0!

3¹

при k=1 р₁(год) = ---- Exp(-3) = 3 Exp(-3)

1!

3²

при k=2 р₂(год) = ---- Exp(-3) = 4.5 Exp(-3)

2!

3³

при k=3 р₃(год) = ---- Exp(-3) = 4.5 Exp(-3)

3!

3⁴

при k=4 р₄(год) = ---- Exp(-3) = 3.75 Exp(-3)

4!

Таким образом, наиболее вероятное число отказов – k=2 или k=3.

Следует заметить, что нас интересует не само значение вероятности возник-

новения того или иного количества отказов системы, а сравнение их между со-бой с целью определения максимума. Поэтому вычисление значения функции

Еxp(-3) не обязательно.

Задача 34. За 6 лет эксплуатации система электроснабжения претерпела 12 отказов. Полагая поток отказов простейшим, оценить вероятность возникновения более одного отказа системы за следующий год эксплуатации.

Для применения закона Пуассона необходимо знать среднее число отказов в год. В данном случае а = 12/6 = 2. Но здесь возникает другое затруднение. Что значит «более одного»? Этому условию отвечает любое число от двух до бесконечности, и прямая подстановка всех таких чисел отказов k в формулу закона Пуассона невозможна. Здесь необходимо вспомнить самое начало курса, а именно – Задачу 2, где один из вариантов решения был получен путем составления полной группы несовместных событий и получения результата через определение вероятности противоположного события. В нашем случае противоположным заданному будет событие «не более одного отказа за год эксплуатации».

Конкретных таких событий всего два – один отказ и безотказная работа, то есть k =0 и k =1. События {k = 0}, { k = 1} и { k>1} составляют полную группу - никакого четвертого события быть не может, все возможные события мы здесь учли. В то же время ни одна пара этих событий, ни все три вместе взятые не могут произойти одновременно – отказ или будет один, или больше одного, или система не откажет вовсе. Вероятность дизъюнкции этих событий или сумма их вероятностей равна единице. Тогда вероятность возникновения более одного отказа системы электроснабжения за один год эксплуатации определится путем вычитания из единицы суммы вероятностей безотказной работы и возникновения одного отказа. Эти вероятности определятся по формуле закона Пуассона

2⁰

р₀(год) = ---- Exp(-2) = 0.135

0!

2¹

р₁(год) = ---- Exp(-2) = 0.271

1!