Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Pyrkova_--_Metody_reshenia_differentsialnykh_urav

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2016

Размер:

2.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

pdy = (y − p)dy +(2 p − y)dp ,

или

(2 p − y)dy −(2 p − y)dp = 0 ,

откуда (2 p − y)(dy −dp)= 0 .

Возможны два случая:

p =

. Из (5.2.1) получаем, что x =

y 2

−

y 2

, следо-

вательно x =

y + C = p ,

dy −dp = 0 , или dy = dp . Интегрируя, находим

C R.

Подставляя

p = y +C

(5.2.1),

определяем

x =

y 2

+(y +C)2 − y(y +C),

или

y 2

x =

y 2

+ y

+ 2Cy + C

− y

− yC ,

или

x =

+Cy +C

C 2

или x(y, C)=

(y +C)2 +

2. Найдем p-дискриминантное множество, исключив па-

раметр p из уравнений

x −

y 2

− p 2 + yp = 0

(5.1.1*)

∂

y 2

−

− p 2

+ yp

= 0 .

(5.1.2)

∂p

y 2

Из второго уравнения системы

x −

− p

+ yp =0,

сле-

− 2 p + y = 0

p =

, поэтому x =

y 2

дует, что

y 2

Так как x =

- решение, то это кандидат в особые реше-

ния.

Рис. 5.2

3. Докажем, что это решение особое (проверяем касание):

	y 2			1	(y0		+ C)2 +	C 2
		0	=						,
y0		4	=	2				2	,
y0	R	4		2				2	следовательно, при
				y0		= y0 + C,
				2		= y0 + C,
				2

C = −			y0			в тождество обращается второе уравнение и первое
C = −						в тождество обращается второе уравнение и первое
				2																					2
																					−	y		0	2
								y02										2						0
										1						y0		2				2					1	1		1
										1						y0						2					1	1		1		2
уравнение:									=		y0		+ −							+						=			+		y0		.
уравнение:							4		=	2	y0		+ −		2					+		2				=	2	4	+		y0		.
							4			2					2							2					2	4		4
														y 2
Через								точку								0	, y		0				проходит							решение
Через								точку									, y						проходит							решение
															4
															4
x(y, C)=						1	(y +C)2				+	C 2		при C = −							y0		, касающееся решения
x(y, C)=					2		(y +C)2				+			при C = −									, касающееся решения
		2			2						2										2
x =	y	2		в этой точке и не совпадающее с ним ни в какой ок-
x =	4			в этой точке и не совпадающее с ним ни в какой ок-
	4

рестности этой точки при y ≠ y0 .

Интегральные кривые представлены на рис. 5.2, где особое решение отмечено жирной линией. o

Пример 5.3. (8-01) Найти общее решение, найти особые решения, начертить интегральные кривые уравнения

(6x + 6 y)5 = y′(y′+ 6)5 .

e 1. Вводим параметр p = dydx . Тогда

1	(p +6).
6x +6 y = p 5	(p +6).	(5.3.1)

Взяв полный дифференциал от обеих частей последнего равенства и заменив dy через pdx , получаем

6(1+ p)=

p −

p′(p +6)

+ p

p′ или

6(1+ p)p

p′(p +1),

p′

откуда (1 + p) p

5 −

= 0 .

Возможны два случая:

p = −1 . Из (5.3.1) получаем y = −x −

p′ = 5 p

. Это уравнение с разделяющимися переменны-

−

ми:

5 dp = dx .

Интегрируя,

находим

p 5 = x + C ,

p = (x +C)5 в

C R.

Подставляя

(5.3.1),

определяем y:

y = −x +

(x +C)((x +C)5 +6), или

y = C +

(x +C)6 .

2. Найдем p-дискриминантное множество, исключив па-

раметр p из уравнений

(6x +6 y)5

= p(p +6)5

(5.3.1*)

∂

((6x +6 y)5 − p(p +6)5 )= 0 .

(5.3.2)

∂p

		5	= p(p +		5
Из второго уравнения системы		(6x + 6 y)	= p(p +	6) ,
Из второго уравнения системы		5		4

	(p + 6) + 5 p(p + 6) = 0

получаем 6(p +1)(p + 6)4 = 0 , следовательно, 1) p = −6, 2) p = −1.

1)Если p = −6 , то согласно (5.3.1*) y = −x - это не решение исходного дифференциального уравнения.

2)Если p = −1 , то согласно (5.3.1*) y = −x − 56 .

Так как y = −x − 56 - решение, то это единственный канди-

дат в особые решения.

Рис. 5.3

3. Докажем, что это решение особое (проверяем касание):

		5			1	(x0	+ C)	6
x0	R − x0 −			=C +					,
			6		6
					5
		−1 = (x0 + C)					,
следовательно		−1 = x0 +C , т.е. при C = −x0 −1 в тождество

обращается второе уравнение и первое уравнение.

						5
Через		точку	x0	, − x0	−		проходит	решение

						6
y = C +	1	(x +C)6	при C = −x0			−1 ,	касающееся	решения
	6

y = −x − 56 в этой точке и не совпадающее с ним ни в какой

окрестности этой точки при x ≠ x0 . Интегральные кривые

представлены на рис. 5.3, где особое решение отмечено жирной линией. p

5.5. Задачи для самостоятельного решения

Решить уравнения, найти особые решения, начертить интегральные кривые:

113.(8-01) (6x +6 y)5 = y′(y′+6)5 .

114.(8-02) y′(y′+4)3 +(4x +4 y)3 = 0 .

115.(8-03) (2 y −2x)5 + y′(y′−6)5 = 0 .

116.(8-04) y′(y′ − 4)3 = (y − x)3 .

117.(7-11) (y′)2 − y + 4x y′ = 2 ln x − x42 .

118.(7-12) 4 y −4 y′+(y′)2 +12 =8x .

119.(7-13) (y′)2 − y + 2e−x y′ + e−2 x + e−x = 0 .

120.(7-14) 5x3 y′ −10x2 y + (y′)2 = 0 .

121.(5-21) 3(y′)2 −8xy′+8x 2 −4 y = 0 .

122.(5-22) (y′)2 +8xy′−16x 2 −16 y = 0 .

123.(5-23) (y′)2 +8xy′+8x2 −4 y = 0 .

124.(5-24) 3(y′)2 +8xy′+16x2 +16 y = 0 .

125.(6-31) 27(y′)3 x2 +3xy′− y = 0 .

126.(6-32) yy′ − ln y′ − x = 0 .

127.(6-33) 2xy′+2 y − y′y 2 − y2′ = 0 .

128.(6-34) xy′+ln x −ln y′−2 y = 0 .

129.(6-41) 2 y(y′+2)− x(y′)2 = 0 .

130.(6-42) x(y′)2 = yy′ +1.

131.(6-43) (y′)2 − yy′+e x = 0 .

132.(6-44) (y′)3 −4xyy′+8 y 2 = 0 .

133.(8-51) 4x2 y −2x3 y′+(y′)2 = 0 .

134.(8-52) 3(y′)3 −3x 2 y′+4xy = 0 .

135.(8-53) x 2 (y′)2 −4xy′+ ln2 yx = 0 , x >1 .

136.(8-54) 2 y(y′)2 +2x2 − x(y′)3 = 0 .

137.(8-61) x(y′)3 − y(y′)2 +1 = 0 .

138.(8-62) ln y′− xy′+ y = 0 .

139.(8-63) x(y′)32 − y(y′)12 +1 = 0 , x > 0 .

140.(8-64) y′−ln(xy′− y)= 0 .

5.6.Ответы:

113.y = −x − 56 - особое решение; y(x, C)= 16 (x +C)6 +C .

114.y = 34 − x - особое решение; y(x, C)= − 14 (x +C)4 +C .

		5		y(x, C)= 3C −	1		x		6
115.	y = x +		- особое решение;	y(x, C)= 3C −		C −		.
		2			2		3

		x			4
116.	y = x −3 - особое решение;	y(x, C)=		+C	− 4C .
116.	y = x −3 - особое решение;	y(x, C)=	4	+C	− 4C .
			4
	79

117.	y = −2 ln x - особое решение;			y(x, C)		x		2	− 2 ln x .
					=		+C

						2
118.	y = 2x − 2 - особое решение;			y(x, C)= −(x +C)2 − 2C −3 .
		−x		x				2	−x
119.	y = e		- особое решение; y(x, C)=			+C		+ e		.
					2

120.y = − 85 x4 - особое решение; y(x, C)= Cx2 + 52 C 2 .

121.y = 23 x2 - особое решение; y(x, C)= x2 +Cx + 34 C 2 .

122.y = −2x2

123.y = −2x2

124.y = − 23 x2

- особое решение;	y(x, C)= 2x2 +Cx +	C 2	.

	16
- особое решение;	y(x, C)= −(x −C)2 + 2C 2 .
- особое решение;	y(x, C)= −2x2 + xC − 3C 2 .
	16

	x = −		27	y	2							x(y, C)=			y			−C		2			3
125.			4					- особое решение,															,
125.								- особое решение,															,
	y = 0 .														C
	y = 0 .
126.	x = −1 −ln(− y),									y < 0	-	особое					решение,
	x(y, C)=			y		−ln C , C > 0 .
	x(y, C)=			C		−ln C , C > 0 .
				C
127.	x =	y2		- особое решение,							x(y, C)=		1	(y +C)2				+	C 2			.
127.	x =			- особое решение,							x(y, C)=			(y +C)2				+				.
	4					1						2						2
128.	y = ln x +					1	,		x > 0		-	особое					решение,
128.	y = ln x +				2		,		x > 0		-	особое					решение,
					2
	y(x, C)=			Cx2				−	ln C	, C > 0 .
	y(x, C)=			2				−		, C > 0 .
				2				2								(C − x)2
129.	y =0 , y = −4x - особые решения, y(x, C)=															(C − x)2					.
129.	y =0 , y = −4x - особые решения, y(x, C)=																				.
																		C
										80

130.	y = ±2							− x ,				x ≤ 0	-	особое							решение,
	y(x, C)=							x −C 2			.
	y(x, C)=										.
		1								C
		1							x	- особое решение, y(x, C)= Cex +											1
131.	y = ±2e					2			x												1	.
131.	y = ±2e					2																.
			4x3																		C
			4x3																2
132.	y =						,			y =0 - особые решения, y(x, C)= C(x − C) .
132.	y =	27					,			y =0 - особые решения, y(x, C)= C(x − C) .
133.	y =	1 x4							- особое решение,				y(x,C)=Cx2 −C 2 .
		4
	y = ± x						2			- особые решения, y(x, C)=					3			4
134.															3	Cx 3					−C 3 .
134.																Cx 3					−C 3 .
		2					3							4
		2					3							4
135.	y = 2 ln x - особое решение,												y(x, C)= 2C ln x − C 2 .
		4																	2
		4							- особое решение, y(x, C)= Cx2
136.	y = − 3x				3											−	1			.
136.	y = − 3x															−				.
		23 2												2			C 2
137.				x2			,					- особое	решение, y(x, C)						1					,
	y = 33 4									x ≠ 0									= Cx +
	y = 33 4									x ≠ 0									= Cx +				C 2
	C ≠ 0 ;											.		y(x,C)= Cx −ln C , C > 0 ;
	C ≠ 0 ;											.
138.	y =1 +ln x									- особое решение,

139.	y = 33	x	, x > 0	- особое	решение,	y(x, C)= Cx +	1	,
		4					C
	C > 0 ;					y(x, C)= Cx −eC ;

140.	y = x ln x − x -			особое	решение,

§ 6. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

6.1. Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка

Линейным однородным уравнением первого порядка в частных производных называется уравнение вида

(xr)

∂u

+ a

(xr)

∂u

+K+ a

(xr)

∂u

= 0 ,

(6.1)

∂x

где xr = xM2 Ω Rn , a1 (x), a2 (x), … , an (x)- заданные не-

прерывно дифференцируемые функции в области, причем в

каждой точке Ω		имеет место a 2	(xr)+a	2	(xr)+K+a	2	(xr)≠ 0 ;
u = u(xr)		1		2		n
u = u(xr)	- непрерывно дифференцируемая функция,						подле-

жащая определению.

Замечание. Уравнение (6.1) имеет очевидное решение u = C (C = const).

Характеристической системой обыкновенных дифференциальных уравнений в симметрической форме, соответствующей однородному линейному уравнению с частными производными (6.1) называется система

dx1

dx2

=L=

dxn

(xr)

(6.2)

Характеристической системой однородного уравнения (6.1) в нормальной форме Коши называется автономная система для функций x1 = x1 (t), x2 = x2 (t), … , xn = xn (t) вида:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.2015137.73 Кб11Plotnikov 7.doc
#
03.06.2015206.85 Кб24Plotnikov 8.doc
#
03.06.2015287.79 Кб12program.pdf
#
03.06.2015300.67 Кб47Project management.docx
#
03.06.2015456.57 Кб36PS3_10_13.pdf
#
27.03.20162.03 Mб35Pyrkova_--_Metody_reshenia_differentsialnykh_urav.pdf
#
03.06.2015148.06 Кб13qm-tolstikhin1-2012.pdf
#
03.06.201510.32 Mб9questionsExamRNP-2013-2014.pdf
#
03.06.2015199.08 Кб38Random processes and SDE.pdf
#
03.06.201512.85 Mб16Razumov_1.doc
#
03.06.2015401.92 Кб30Razumov_3.doc