Pyrkova_--_Metody_reshenia_differentsialnykh_urav

родного уравнения Эйлера xλ ,

xλ ln x , ... ,

xλ (ln x)l −1 . В слу-

чае

невещественных

корней

λ

надо

учитывать, что

xiβ

= eiβ ln x , т.о., паре

комплексно

сопряженных корней

4

9 y 2

15yy′

2

4 y

−

+

′

) −

y(1)= 2 , y(4)= −5 .

∫

x

2

x

2(y

dx ,

1

x x

1 Составляем уравнение Эйлера

Fy

−

d

Fy′ = 0 :

dx

2

′

9 y

15 yy

′

′

2

4 y

F(x, y, y

)=

−

+

2(y )

− x x

,

x 2

x

Fy

=

18y

−

15y′

− 4

,

x 2

x

x

x

d

Fy′ = −

15y′

+

15y

+ 4 y′′,

dx

15 y

x

x2

Fy′ = −

+ 4 y′,

x

Уравнение Эйлера (4.3) имеет вид

18y

15y′

4

15y′

15y

−4 y

′′

x 2

−

x

− x

x +

x − x 2

= 0 или

4x 2 y′′−3y = −4

x .

(4.1.1)

54

−

1

3

ния yo = C1 x

2

+ C2 x 2

yч′ = a

, yч″ = −

a

, подставляя в неоднородное

2

x

4x

x

уравнение Эйлера, получаем −

4x 2

x ,

4x

−3a x = −4

x

или −4a = −4 , т.е. a =1, и yч =

x .

3. Общее

решение

неоднородного уравнения

Эйлера

y = C1 +C2 x x + x .

x

Постоянные C1 и C2 находим из граничных условий

C

+ C

+1 = 2,

C1

+ C2 =1,

1

2

откуда полу-

C1

+8C2

+ 2 = −5; или

C

+16C

= −14;

2

1

2

чаем 15C2

= −15 , т.е. C2

= −1 ,

C1 = 2 .

Стационарная точка yˆ = 2 − x

x +

x .

x

4. Исследование на экстремум.

55

Пусть

h C1 [1;4],

h(1)= h(4)= 0 .

Рассмотрим

4

9h2

15hh′

)

2

J = ∫

−

′

2

x

x

+ 2(h

dx .

1

Интегрируя

по

частям

и учитывая

равенства

h(1)= h(4)

= 0 , находим

4 15hh′

4

15 2

15h2

4

4

15h2

∫

−

dx = ∫

−

dh

= −

−

x

+ ∫

2

dx =

1

1

2x

2x

1

1

2x

4

9h2

15h2

)

2

4

3h2

)

2

′

′

≥ 0 ,

2 −

2

2

J = ∫

x

2x

+2(h

dx

= ∫

2x

+ 2(h

dx

1

1

тремум

функционал,

определив

знак приращения

e2

2

1

2

ln x

J (y)= ∫

x(y′)

+

y

−2 y′−2

y dx , y(1)= 0 .

x

x

1

Fy =

2

y −2

ln x

, Fy′ =

2xy′ − 2 ,

d

Fy′ = 2 y′+2xy′′.

x

dx

x

Уравнение Эйлера (4.3) имеет вид

2

ln x

′

′′

x y −2

x −2 y

−2xy

= 0 или

x 2 y′′+ xy′− y = −ln x .

(4.2.1)

y′x = yt′ t′x =

yt′

,

y′ ′

x

(y′)′x

= −

y′

+

=

y′′ t′

−

y′

=

y′′ −

y′

yxx =

t

x

t

t

tt x

t

tt

t

′′

x

x 2

x

x

x 2

x2

и ytt′′ − yt′ + yt′ − y = −t

или

ytt′′ − y = −t .

(4.2.2)

4. Общее

решение

неоднородного уравнения Эйлера

y = C e−t

+ C

2

et

+ t

или, возвращаясь к независимой пе-

1

y = C1

1

+C

2 x +ln x .

x

Постоянные C1

и C2 находим из следующих краевых

условий

y(1)= 0 , Fy′

x=e

2 = 0 .

Таким образом

x=e2 = 2e2 (− C1e−4 + C2 + e−2 )− 2 = 0 и

Fy′

x=e2 = (2xy′ − 2)

C

1

+C

2

= 0,

или

C

1

+C

2

= 0,

от-

0;

0;

−2e−2 C1 +2e2 C2 +2 −2 =

−C1 +e4 C2 =

куда получаем (1+e2 )C2 = 0 , т.е. C2

= 0 , C1 = 0

Стационарная точка yˆ = ln x .

5. Исследование на экстремум.

Пусть

h C1 [1, e2 ],

h(1)= 0

и

Fy′

x=e

2 = 0 . Рассмотрим

J = J (yˆ +h)− J (yˆ ). Поскольку уравнение Эйлера выполня-

ется на рассматриваемой кривой

yˆ , то линейная по h часть

3

2

1

2

(x [1, e

2

]→x > 0),

J = ∫ x(h′)

+

h

dx

≥ 0

т.е.

x

1

МИНИМУМ.

Пример

4.3.

2

Найти

стационарные

точки функционала

2

2

4

2

J (y)=

∫

x(y′)

−8x

y′+16xy −

y

dx .

x

1

y = C1 sin(2 ln x)+C2 cos(2 ln x)+2x 2 .

Постоянные C1 и C2

находим из следующих краевых

условий: Fy′

= 0 ,

Fy′

= 0 .

x=1

x=2

Т.к.

Fy′ = 2xy′ −8x 2

= 4C1 cos(2 ln x)−4C2 sin(2 ln x), то

4C1 = 0,

т.е. C1 = 0 , C2 = 0 .

−4C2 sin(2 ln 2)= 0,

Стационарная точка yˆ = 2x2 .

4. Исследование на экстремум.

Пусть

h C1 [1,2], Fy′

x=1

= 0 и Fy′

x=2

= 0

. Рассмотрим

2

2

4

2

J = ∫ x(h′)

−

h

dx .

x

1

Т.к.,

полагая

h = εxα ,

получаем

2

2

α−1 2

4

2α

2 2

2

2α−1

J = ε

∫ x(αx

)

−

x

dx = ε

∫(α

−4)x

dx ,

т.е.

x

1

1

J > 0 при α > 2 и

J < 0 при α < 2 , то

4

2

− 15yy′

+ 2(y′)2 − 4 y

y(1)= 2 ,

y(4)= −5 .

85.

(5-01)

∫

9 y2

dx ,

1

x

x

x

x

2

18yy′

2

2 y

1

86.

(5-02)

∫

−

7 y

+ (y′)2 −

dx ,

y(1)= −

,

y(2)= 4 .

x

2

x

2

1

x

1

11y 2

25 yy′

− 2(y′)

2

5 y

1

y(1)= −1 .

87.

(5-03)

∫

−

−

dx ,

y

= 0 ,

x

2

x

x

3

1

4

4

2

2 yy′

2

12 y

88.

(5-04)

∫

−

7 y

−

(y′)2 −

dx ,

y(1)= 3 ,

y(2)= −1 .

x

2

1

x

x

89.

(4-11)

π∫2[−(y′)2 + 4 yy′− y 2 + 4 y sin 2 x]dx ,

y(0)=

4

,

0

5

π

6

.

y

=

5

2

π 2

π

90.

(4-12)

∫[yy′−(y′)2 − y

2 −4 y′cos 2 x]dx , y(0)= 0 ,

y

= 0 .

0

2

91.

(4-13)

π∫2[(y′)2 − yy′+ y 2 + 4 y cos2 x]dx ,

y(0)= −

6

,

5

0

π

4

.

y

= −

5

2

60

π 2

π

92. (4-14) ∫[(y′)2 − 4 yy′+ y 2 − 2 y′sin 2 x]dx ,

y(0)= 0 ,

= 0 .

y

2

0

93.

(4-21)

J (y)= ∫2 [4e2x y + 6e2x y′− 4 y 2 − (y′)2 ]dx , y(2)= 3e4 .

0

4

5 y′+

y −

1

x (y′)2 dx ,

y(1)= 2 .

94.

(4-22)

J (y)= ∫

y 2 −

1

x

2x

x

95.

(4-23)

J (y)= ∫1 [(y′)2 + y 2 −8e x y −8xe x y′]dx , y(1)= e .

0

e2

2

1

2

ln x

y(1)= 0 .

96.

(4-24)

J (y)= ∫

x(y′)

+

y

−2 y′−2

y

dx ,

x

x

1

2

6 y − x3 (y′)2 − xy2 + 2x2 yy

′ dx , y(1)= 0 ,

97.

(5-31)

J (y)= ∫

1

x

y(2)= −

7

.

4

98.

(5-32)

J (y)= ∫2 [2xy 2 + 2x 2 yy′+ x 2 (y′)2 +12x 2 y]dx ,

y(1)= 2 ,

1

y(2)= 5 .

99.

(5-33)

J (y)= ∫e [x2 (y′)2 −10 yy′+12 y 2 + (24 ln x − 2)y]dx ,

1

y(1)=1 , y(e)= −1 + e3 .

100.

(5-34) J (y)= ∫2 [2 yy′− x2 (y′)2 +12x2 y]dx ,

y(1)= 3 ,

y(2)= 0 .

1

π

4

π

101.

(8-41)

J (y)= ∫[y 2 − (y′)2 + 6 y sin 2x]dx , y(0)

=1 .

= 0 , y

4

0

102.

(8-42)

J (y)= ∫1 [π 2 y 2 − 4(y′)2 − 2xy]dx ,

y(0)= 0 ,

y(1)=

1

.

2

0

π

π

2

π

103.

(8-43)

J (y)= ∫[(y′)2 − y 2 +10 ye2x ]dx ,

y(0)=

1,

y

= eπ .

0

2

104.

(8-44)

J (y)= ∫2 [2 y − yy′+ x(y′)2 ]dx , y(1)=1 .

1

Исследовать на экстремум функционал:

105.

(4-51) ∫3

[4x2 (y′)2 − 2x(x2 +8)yy′−3x2 y 2 ]dx ,

y(1)= 3 ,

1

y(3)=

1

.