Pyrkova_--_Metody_reshenia_differentsialnykh_urav

C

′(x)y

1

(x)+C

′(x)y

2

(x)=

0,

1

2

f (x)

(8.8)

C

′(x)y ′(x)+C

′(x)y

′(x)=

;

a(x)

1

1

2

2

4) получив решения C1′(x)= f1 (x) и C2

′(x)= f 2 (x)

систе-

мы (8.8), интегрируют эти уравнения:

C1 (x)= ∫ f1 (x)dx +c1 , C2 (x)= ∫ f 2 (x)dx +c2 ,

(8.9)

ставляя y

1

= eαx , y

′ =αeαx ,

y ″

=α2 eαx

в однородное диф-

1

1

ференциальное уравнение

(x +1)y′′−3(2x +1)y′+9xy = 0 ,

(8.1.1)

получаем

α 2 (x +1)eαx −3(2x +1)αeαx

+9xeαx = 0

или

(x(α 2 −6α +9)+(α 2 −3α))eαx = 0 .

Так как

функции 1

и

x -

линейно независимы,

то

x : α 2 −6α +9 = 0,

α =3

и

y1 = e

3x

.

1: α 2 −3α = 0,

2.

Согласно

формуле

Остроградского-Лиувилля

y2

′

C −∫p(x )dx

=

e

.

y1

y

2

1

3(2x +1)

3

В нашем случае p(x)= −

= −6 +

,

x +1

x +1

−∫p(x)dx = ∫

3

~

6

−

dx = 6x −3 ln

x +1

+C ,

x +1

~

3x

−6 x

6 x−3 ln

x+1

3x

y2 = e

∫Ce

e

dx

+ C2 e

.

sign(x +1)

Т.к.

∫e−6 x e6 x−3 ln

x+1

dx = ∫

1

dx = −

+C , то

x

+

1

3

x +1

2

2

y2 =

e3x

~

~

3x

C

+ CC

e

- общее решение однородного урав-

(x +1)2

нения (8.1.1):

y

=C y + C

y

= C e3x

+ C

e3x

.

o

(x +1)2

1 1

2

2

1

2

3. Решение исходного неоднородного дифференциального

уравнения ищем методом вариации постоянных.

C

1

′(x)e3x +C

2

′(x)

e3x

=

0,

(x +1)2

e

3x

e

3x

2e

4 x

3C ′(x)e3x

+C

2

′(x)

3

−2

=

.

2

3

1

(x +

1)

x +1

(x +1)

Вычитая из второго уравнения утроенное первое,

получа-

ем

−2C

′(x)

e3x

=

2e 4 x

или, умножив на −

(x +1)3

,

(x +1)3

x +1

2

2e3x

C2

′(x)= −e x (x +1)2

дает

C2 (x)= −∫e x (x 2 +2x +1)dx =

Из

первого

1

уравнения

системы

получаем

C

′(x)

= −C

′(x)

= ex

, откуда C

(x)= e x + c .

(x

+1)2

1

2

1

1

y =

(e x + c1 )e3x + (− x 2 e x (x +1)2 − e x + c2 )

e3x

=

(x +1)2

(x 2 +1)e4 x

=e4 x + c e3x −

+ c

e3x

.

(x +1)2

2 (x +1)2

1

Окончательно получаем

y =

2xe4 x

+ c e3x

+ c

e3x

n

(x +1)2

2 (x +1)2

1

2 Частное решение ищем путем подбора в виде

xα : под-

ставляя y = xα ,

y ′ =αxα−1 , y

″ =α(α −1)xα−2

в однородное

1

1

1

дифференциальное уравнение

x 2 y′′−(x 2 +4x)y′+2(x +3)y = 0 ,

(8.2.1)

получаем

x 2α(α −1)xα−2 −(x 2 +4x)αxα−`1 +2(x +3)xα

= 0

или

xα+1 (−α +2)+ xα (α(α −1)−4α +6)= 0 .

Коэффициент

при

самой

старшей

степени

x равен

2 −α = 0 , таким образом, α = 2 .

Подставляя y

1

= x 2

в (8.2.1), убеждаемся,

что это реше-

y = y

∫

C

e−∫p(x)dx dx + C y .

y 2

2

1

2

1

1

В

нашем

случае

p(x)= −

x 2 +

4x

= −1−

4

,

−∫p(x)dx =

2

x

x

4

4

= ∫ 1

+

dx

=

x +

4 ln x + C =

x +ln x

+C ,

следовательно

x

x

∫

~

4

x+ln x4

2

1

y2

= x

C

e

dx .

∫

1

e x+ln x4 dx = ∫

1

e x x 4 dx

= ∫e x dx

= e x

+ C * , откуда

4

4

x

x ~

~

x

y2

= x

2

e

x

2

- общее решение однородного уравне-

C

+ CC

II

способ.

Подставляем

yo = x 2 z

в

(8.2.1).

Т.к.

yo′ = 2xz + x 2 z′,

yo ″ = 2z + 4xz′ + x 2 z′′,

то

x 2 (2z +4xz′+ x 2 z′′)−(x 2 +4x)(2xz + x 2 z′)+2(x +3)x 2 z = 0 ,

или

(2z +4xz′+ x 2 z′′)−(x +4)(2z + xz′)+2(x +3)z = 0 ,

или

x

2

′′

′

или

z (x

+1)+ z (4x − x(x +4))+ z(2 −2(x +4)+2(x +3))= 0 ,

x 2 z′′− x 2 z′ = 0 , или z′′ − z′ = 0 .

Порядок последнего уравнения понижаем заменой z′ = u :

u′ − u = 0 .

u′ =u - уравнение с разделяющимися переменными.

du

Интегрируя

уравнение с разделенными

переменными

~

~

ˆ x

u

= dx ,

получаем ln

u

= x +ln C

(здесь

C > 0 ) или u = Ce

ˆ

(здесь

- произвольное, т.к. а)

сняли знак модуля; б)

учли

C

ˆ

x

+ C1

и yo =C1 x

2

+ C2 x

2

e

x

.

Откуда z = Ce

3. Решение исходного неоднородного дифференциального

уравнения ищем методом вариации постоянных.

′

(x)x

2

+C2

′

(x)x

2

e

x

=

0,

C1

C

′

(x)2x +C

′

(x)(2xe x + x 2 e x )=

12x 4 e −2 x

.

1

2

x 2

Вычитая из первого уравнения второе, умноженное на

2

,

′(x)=12x 2 e−2 x

′(x)=12e−3x ,

x

получаем

x 2 e x C2

или C2

откуда

C2 (x)= −4e−3x + c2 .

Из

первого

уравнения

системы

получаем

C1′(x)= −C2

′(x)e x

= −12e −2 x ,

C1 (x)= −12∫e −2 x dx

или

C

1

(x)= 6e −2 x +c .

1

y = (6e−2 x +c1 )x 2 +(−4e −3x +c2 )x 2 e x =

= 6x 2 e−2 x − 4x 2 e−2 x + c x 2

+ c

2

x 2 e x

Окончательно получаем

1

y = c x 2 + c

2

x 2 e x + 2x 2 e−2 x .o

1

8.6. Задачи для самостоятельного решения

Решить уравнение:

197.

(3-01) (x +1)y′′−3(2x +1)y′+9xy = 2e4 x .

3

x3e x

198.

(3-02)

xy

′′−(x +3)y′+ 1

+

y

=

(x >1).

x

x −1

199.

(3-03) (x +3)y′′+ 2(2x +7)y′+ 4(x + 4)y = xe−3x

3

2

(x + 2)2

200. (3-04) (x

+ 2x )y

′′

+ 2xy

′

− 2 y =

(x > 0).

x

(8-11) (3x − 4)y

+ (17

15x)y

+ (12x − 4)y =

(3x − 4)2

x

201.

′′

−

′

e ,

x −1

x >

4

.

3

x(x

+1)y′′− (x

+5)y′+

202.

(8-12)

2

2

8

y

=

2x 4

,

x > 0 .

x

x 2 +1

203.

(8-13) (2x +3)y

′′

+ (8x +

10)y

′

+ (6x

+3)y =

(2x +3)2

e

−x

,

x +1

x > −1 .

204.

(8-14)

x(1 − x

2

)y′′+ (2x

2

−5)y

8

x 4

,

′+

− 2x y =

1 − x 2

x

213.

(3-41) x4 (2x 2 −3)y′′− x(2x 4 +9x 2 −9)y′+ 6(4x 2 −3)y = 0

3

x >

.

2

214.

(3-42)

x2 y′′+ (x2 +1)xy′+ (x 2 −1)y = 0 (x > 0).

215.

(3-43)

x3 y′′−3x 2 (1 + 2x2 )y′+3x(1 + 2x 2 )y = 0 (x > 0).