18.Дифференциальные уравнения I порядка Бернулли. Дифференциальные уравнения высших порядков. Основные понятия. Задача Коши.

Линейные ДУ I порядка. Общий вид такого уравнения y'+P(x)*y=Q(x) (8). Это уравнение линейное относится y и y'. Если Q(x)=0, то уравнение (8) наз. линейное однородное уравнение. y'+P(x)*y=0 (9) – уравнение с разделяющими переменными, если Q(x)≠0, то линейное уравнение не однородное. Сущ. несколько методов решения уравнения (8).Один из методов уравнение Бернулли. y'+P(x)y=Q(x)*y^m (10). Если m=0, то получаем ЛДУ, если m=1, то получаем уравнение с разделяющимися переменными. Расм. когда m≠0; 1. Разделим уравнение (10) на y^m, получаем .

y'/ y^m +P(x)y/ y^m =Q(x);

y'*y-^m+P(x)*y^1-m =Q(x) сделаем замену

y^1-m =z(x) продифференцируем (1-m) y^-m* y'=z';

y' y^-m=(1/1-m)*z'подставим в уравнение

(1/1-m)*z'+P(x)*z=Q(x) – получим линейное ДУ I. Линейное относительно функции z.

Замечание: Уравнение Бернулли можно решать и подстановкой Бернулли.

ДУ высших порядков Осн. понятия:

F(x, y, y', y'',…yⁿ)=0 (1) –ДУ n -порядка.

yⁿ=f(x, y), y', y''…y(n-1) (2) – решенное относительно старшей производной.

Общее решение ДУ n-порядка зависит от n-произвольных постоянных С1, С2, Сn .Решение ДУ I.или II имеет вид y=φ(x, C1, C2,..Cn) – общее решение в явл. виде

φ(x, у, C1, C2,..Cn)=0 – общий интеграл (в не явл. виде)

Геометрически общее решение представляет семейство интегральных кривых на плоскости хоу, зависящие от n –параметров C1, C2,..Cn . Для вида частного решения требуется задание значений функции и её n-1 производных в (·)х₀, то есть y(х₀)=y₀; y'(х₀)=y₀¹; y''(х₀)=y₀²;.

y ^(n-1)(х₀)=y₀ ^(n-1) (3); где y_{0 ,} y₀¹_, y₀² – задание числа.

Задача Каши: Найти частное решение уравнения (1) или (2) удовлетворяющее системе начальных уравнений (3).

19.Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка (3 типа).

1.Общий вид: (1)

Порядок уравнения понижается каждый раз на единицу путем последовательного интегрирования.

…………………………………………

2.Д.У не содержащие явно искомой функции y и ее первых производных до порядка включительно, т.е. общий вид:

(2)

Производится замена: ;

;

;

…………………

Уравнение (2) сводится к: . Порядок, которого. Решив его находим функцию, т.е. уравнение (1).

3.Д.У. не содержащие явно независимой переменной x. Общий вид: (3)

Производится замена: ;

;

….;

Порядок уравнения понижается на единицу.

20.Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Решение для случая действительных различных корней.

Линейные однородные Д.У. высших порядков с постоянными коэффициентами (ЛОДУ). Общий вид:

(1)

–постоянные числа или коэффициенты уравнения.

Решение уравнения (1) будем искать в виде: , (2)

где - некоторое число, предложено Эйлером.

Дифференцируем последовательно решение (2): ;

……………..

Подставим y и производные в уравнение (1):

Сократим на (3)

Функция является уравнением решения (1) тогда и только тогда когда числоесть корень уравнения (3).

Уравнение (3) называется характеристическим уравнением для уравнения (1) оно получается из Д.У. (1) путем замены производной на соответствующую степень числа , т.е.: ;

;

………………..

;

Таким образом, чтобы найти решении Д.У. (1)в виде (2) нужно: 1)Составить характеристическое уравнение (3); 2)Найти его корни , ,…,; 3)Каждому корню соответствует решение: ; ;

Возможны следующие случаи корней характеристического уравнения: 1)Корни действительные и различные; 2)Корни действительные кратные; 3)Корни комплексные различные; 4)Корни комплексные кратные;

Корни действительные различные: Пусть , ,…, - действительные различные корни уравнения (3) им соответствует n-решений: ;

;

.………….

;

Эти функции линейно независимые и образуют фундаментальную систему решений. Линейная комбинация этих функций является общим решением уравнения (1): (4)