9.Замена переменных в двойном интеграле. Переход к полярным координатам.

Для упрощения вычисления двойного интеграла часто применяют метод подстановки, то есть водят новые переменные. Пусть требуется вычислить двойной интеграл по Д ∫∫_Дf(x, y) dxdy, произведём замену по формулам. x=φ(u, v) y=Ψ(u,v) при этом область Д є плоскость xoy переходя в область G є пл. uov. Вычислим определитель который наз. якобиан. J = |ðx/ðu ðx/ðv

ðy/ðu ðy/ðv|

тогда справедлива формула замены переменной ∫∫_Дf(x, y) dxdy= ∫∫_Gf(φ(u,v), Ψ(u,v))|J| dudv (1)

Наиболее распространенная система при вычисления двойного интеграла это полярные координаты (r, φ). Связь декартовых координат и полярных выражается формулами. x=r*cosφ, z≥0; y=r*sinφ, 0≤φ≤2π

Пологая u=r, v=φ; вычислим якобиан:

J = |ðx/ðr ðx/ðφ = |cosφ – r*sinφ = r*cos²φ+r*sin²φ=r; J=r; cos²φ+r*sin²φ=1

ðy/ðr ðy/ðφ| sinφ r*cosφ|

Формула замен переменных будет иметь вид ∫∫_Lf(x, y) dxdy= ∫∫_Gf(r,φ)*r drdφ

Область G в полярных координатах ограничена лучами φ=λ, φ=β и кривыми r=r₁(φ)r=r₂(φ). Область G правильная, т.к. лучь выходящий из полюса пересекает её границу не более чем в 2(·). Двойной интеграл в полярных сводят к повторному. ∫∫_G f(r,y)*rdr*dφ = ∫^β_λ du ∫ ^r2(φ) _r1(φ). f(r, φ) *rdr(2)

Внешний интеграл всегда по φ в полярных координатах.

Замечание:

1)Переход к полярным координатам полезен когда под интегральная функция имеет вид f(x²+y²), а область интегрирования есть круг, сектор, кольцо и т.д.

2)На практике преобразование области Д в область G не выполняют, а совмещают декартову и полярную системы координат и находят нужные пределы по r и φ.

10.Геометрические и физические приложения двойного интеграла.

1.Объём тела – из геометрического смысла двойного интеграла известно, что V тела =0. Vт=∫∫_Д f(x, y) dxdy (3)

Д – проекции тела на плоскость xoy.

2.Площадь плоской фигуры; Если в формуле (3) f(x, y)=1, то цилиндрическое тело превращается в прямой цилиндр с высотой H=1, V такого тела = площади основания Д, то есть ∫∫_Д dxdy=S_Д в полярных координатах

∫∫_Д rdrdφ=S_Д

3.Масса плоской пластинки из физического смысла двойного интеграла известно, что m=∫∫_Д γ(x, y) dxdy, где γ(x, y) – поверхностная плотность пластины.

4.Статические моменты и координаты центра тяжести плоской фигуры. Статические моменты фигуры Д относительно осей ох и оу =(Sx=∫∫_Д y*γ(x, y) dxdy, Sy=∫∫_Д x*γ(x, y) dxdy); где γ(x, y)

Координаты центра масс фигуры Д= x_c=Sy/m; y_c=Sx/m.

Применение двойного интеграла не исчерпывается приведенными формулами они значительно шире.

11.Тройной интеграл. Основные понятия, свойства тройного интеграла.

Теория тройного интеграла аналогично теории двойного интеграла поэтому рассмотрим её сокращённо. Пусть в замкнутой области V пространство охyz заданно непрерывна функция трёх переменных u=f(x, y, z):

1)Разобьем область V на n – частей Vi=i=1nˉ

2)Выберем в них произвольную (·) Mi (xi, y1, zi)

3)Вычислим значение функции u в (·)(Mi)=f(xi, yi, zi).

4)Составим интегральную сумму Σⁿ_n=1 f(xi, yi, zi)*ΔVi, где ΔVi – объём элементарной области Vi.

Если сущ. предел экспериментальной суммы при n→∞ и он не зависит от выбора (·)Mi, то он наз. тройным интегралом от функции u=f(x,y.z), по области V. Обозначим: ∫∫∫_Vf(x, y, z)dxdydz=lim_n→∞Σⁿ_i=1 f(xi,yi,zi)*ΔVi (1)

Свойства тройного интеграла: обладает тем же свойствами, что и двойной.

1)∫∫∫_V с*f(x, y, z)dxdydz=с∫∫∫_V f*dxdydz обозначим dxdydz=dv

2)∫∫∫_V (f+g)dv=.∫∫∫_V f*dv+∫∫∫_V g*dv

3)∫∫∫_V f*dv = =.∫∫∫_V1 f*dv+∫∫∫_V2 g*dv = V=V1UV2

4)если f (x,y,z)≥0, то ∫∫∫_V f*dv≥0

5)∫∫∫_V dv = V – объём тела V.

6) Теорема о среднем сущ. токая (·) M₀ (x₀, y₀, z₀) Є тему V, что ∫∫∫_V fdv = f(x₀, y₀, z₀) * Vт, Vт – объём тела.