RUDN-I
.pdf71
Тема 5. Алгебра матриц
Выше были определены операции сложения, вычитания матриц одного порядка, а также умножение матрицы на число. Здесь будет рассмотрена
еще одна важная операция — умножение матриц. Она играет ключевую |
||
matematem |
. |
ru |
|
роль в матричном методе исследования систем линейных уравнений и в матричном представлении действия линейных операторов (ему посвящена тема 16). Введено также понятие обратной матрицы, получен критерий ее существования и описаны способы вычисления. Изложен метод решения матричных уравнений и квадратных систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы. В качестве следствия мы выводим формулы Крамера для решения квадратной системы линейных уравнений с невырожденной матрицей. В конце приведено дополнение (п. 5.8), которое содержит характеризацию определителя как полилинейной кососимметрической функции векторных аргументов.
5.1. Определение умножения матриц. Примеры
Пусть даны матрица-строка A = (a1 a2 . . . ap) и матрица-столбец той |
|||
|
b1 |
|
|
же длины B = |
b2 |
|
|
... |
. |
|
|
|
bp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение 1. Произведением AB строки на столбец называется |
|||
число |
. |
p |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
AB = a1b1 + a2b2 + . . . + apbp = akbk |
(1) |
|
|
|
=1 |
|
|
|
∑k |
|
Пусть теперь даны две матрицы A = aik размера (m × p) и B =
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
bkj размера (p × n). Используем обозначение A |
|
|
A2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
= |
|
|
... |
|
|
, B |
= |
||||||||
|
www |
|
|
|
|
|
|
|
|
Am |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B1 |
B2 . . . Bn |
, |
где |
A |
i — строки матрицы |
A, A |
|
= (a |
|
a |
|
. . . a |
|
), |
||
[ |
|
] |
|
|
i |
|
|
i1 |
|
i2 |
|
ip |
|
72 |
|
Тема 5. Алгебра матриц |
|
|
|
|
b1j |
. |
Bj — столбцы матрицы B, Bj = |
b2...j |
|
|
bpj |
|
|
|
|
|
|
|
Определение 2. Произведением C = AB матрицы A на матрицу B называется матрица C = cij размера (m × n), элементы которой
Умножение матриц подчинено правилу размеров, которое в определении
вычисляются по формуле |
|
|
|
|
. |
ru |
|
j |
|
|
|
|
(2) |
||
cij = AiB , 1 ≤ i ≤ m, |
1 |
|
|
|
|||
≤ j ≤ n. |
|
||||||
Итак, согласно определению (1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
b1j |
|
|
|
|
|
|
|
b2j |
(1) |
p |
|
|
|
|
cij = (ai1, ai2, . . . aip) |
... |
|
= k=1 aikbkj. |
(3) |
|||
|
bpj |
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
matematem |
|
|
|
(2) можно записать символически:
(m × p) · (p ×n) = (m × n) |
(4) |
||||
| |
|
{z |
|
} |
|
|
|
|
(длина строк 1-ой матрицы p должна равняться длине столбцов 2-ой
матрицы; число строк произведения равно числу строк 1-ой матрицы, а число столбцов произведения равно числу столбцов 2-ой матрицы).
Замечание 1. При умножении квадратных матриц одного порядка сно- |
||||
ва получим квадратную матрицу того же порядка. |
||||
www |
A = |
( |
( |
|
Действительно, пусть. |
A |
и |
B — квадратные матрицы порядка n. Тогда |
правило размеров (4) примет вид
т.е. C = AB — квадратная матрица порядка n.
Пример 1. Пусть
5.1. Определение умножения матриц. Примеры |
73 |
||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
AB = ( |
2 |
1 |
1 |
0 |
( |
3 |
2 |
0 |
3 )( |
1 |
2 ) = |
3 |
6 ), |
||
BA = ( |
1 |
0 |
2 |
1 |
( |
2 |
1 |
1 |
2 )( |
0 |
3 ) = |
2 |
7 ). |
Вывод: вообще говоря, AB ̸= BA даже для квадратных матриц. |
|||||||||
Если AB = BA, то матрицы A и B называют перестановочными, если |
|||||||||
AB = −BA — антиперестановочными. |
|
. |
ru |
||||||
Пример 2. Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 . . . a1n |
x1 |
||||||
|
a21 |
a22 . . . a2n |
x2 |
||||||
|
A = ... |
... ... ... |
, X = |
... |
. |
||||
|
am1 |
am2 . . . amn |
|
xn |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда, правило размеров дает |
|
|
|
|
|
||||
|
(m × n) · (n ×1) = (m × 1), |
|
|
||||||
т.е. AX — столбец |
| |
|
{z |
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a11 |
a12 . . . a1n |
|
x1 |
|
|
|
|
||
a21 |
a22 . . . a2n |
x2 |
|
|
|
||||
... ... ... ... |
... |
= |
|
|
|
||||
am1 am2 . . . amn |
xn |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
a11x1 |
+ a12x2 |
+ . . . + a1nxn |
|
||
|
a21x1 |
+ a22x2 |
+ . . . + a2nxn |
|||
. |
matematem= ... ... |
... |
... |
. |
||
am1x1 |
+ am2x2 |
+ . . . + amnxn |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечаниеwww2. Этот пример показывает, что систему m линейных уравнений с n неизвестными (1) п. 1.3 можно записать в форме одного матричного уравнения
AX = B.
Удобство такой записи отражает связь введенной операции умножения матриц с теорией линейных систем. Глубокая связь умножения матриц с теорией линейных отображений векторных пространств будет раскрыта в теме 15 (умножение матриц согласуется с умножением соответствующих линейных отображений).
74 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема 5. Алгебра матриц |
||
Пример 3. Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = ( |
0 |
1 |
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
Тогда |
0 0 ) , B = ( |
0 0 ), |
|
||||||||
AB = ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
0 |
|
|
0 |
0 |
|
||
cij = AiIj |
0 0 )( |
0 0 ) = ( |
0 0 ) |
|
|||||||
= (ai1 . . . amatematemij . . . ain) 1 ← j-ый элемент |
= |
||||||||||
— пример делителей нуля: |
A ̸= O, B |
̸= O, |
но |
AB = O. ruОтметим, что в |
|||||||
этом примере BA ̸= O: |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
BA = ( |
2 |
|
0 |
0 |
1 |
|
|
0 |
2 |
|
|
0 0 )( |
0 0 ) = ( |
|
0 0 ). |
|
5.2. Свойства умножения матриц
1◦. Роль единичной матрицы.
Пусть I(m), I(n) — единичные матрицы порядков m и n. Тогда для матрицы A = aij размера (m × n) справедливы равенства
AI(n) = I(m)A = A. |
(1) |
Доказательство. Докажем, что AI(n) = A (второе — самостоятельно, см. упражнение 5.1). Обозначим AI(n) = C = cij . Правило размеров дает
|
|
|
(m × n) · (n ×n) = (m × n), |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
т.е. |
C |
имеет размер |
(m |
× |
n) |
|
Далее, по определению |
|||||
|
|
|
|
.| {z } |
|
|||||||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
0... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.. |
|
||
Пусть Awww= aij = |
... |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||
|
— матрица размера (m × p) со строками |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ai1 · 0 + . . . + aij · 1 + . . . + ain · 0 = aij. |
|||
Итак, cij = aij, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, т.е. I(n)A = C = A. |
||||||||||||
2◦. Строки произведения матриц. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
A2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
A1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Am
5.2. Свойства умножения матриц |
|
|
|
|
|
|
|
75 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
B2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ai, i = 1, . . . , m, B |
= bij |
|
Bp |
— матрица размера (p × n) со |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
= ... |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
|
|
ru |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cm |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
строками Bk, k = 1, . . . , p и пусть C = AB = ... |
. Тогда справедливы |
|||||||||||||||
равенства |
|
|
|
matematem |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||
|
|
|
|
|
Ci |
= AiB, i = 1, . . . , m, |
|
|
(2) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑k |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
||
|
|
|
|
Ci = |
aikBk, |
i = 1, . . . , m. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Докажем (2). Для Di |
= AiB имеем по правилу разме- |
|||||||||||||||
ров: |
|
|
|
|
(1 × p) · (p ×n) = (1 × n), |
|
|
|
||||||||
т.е. Di — строка (1 × n), Di |={z(d}i1, . . . , dij, . . . , din), |
i = 1, . . . , m причем |
|||||||||||||||
по определению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
di1 = AiB1 = ci1, . . . , dij = AiBj = cij, . . . , din = AiBn = cin, |
||||||||||||||||
т.е. Ci = Di = AiB. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Докажем (3). Обозначим теперь Ei = |
|
kp=1 aikBk — это линейная комби- |
||||||||||||||
нация строк |
B1, . . . , Bp, |
т.е. тоже |
строка (1 |
× |
n). Далее, |
|
||||||||||
|
|
. |
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|||||
Ei = ai1B1 |
+ ai2B2 |
+ . . . + aipBp = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
www |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= ai1(b11 b12 . . . b1n) + ai2 |
(b21 b22 . . . b2n) + . . . + aip(bp1 bp2 . . . bpn) = |
|||||||||||||||
= (ai1b11 + ai2b21 + . . . + aipbp1 ai1b12 + ai2b22 + . . . + aipbp2 . . . |
||||||||||||||||
. . . ai1b1n + ai2b2n + . . . + aipbpn) = (AiB1 AiB2 |
|
(2) |
||||||||||||||
. . . AiBn) = |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (ci1 ci2 . . . cin) = Ci. |
|||
Итак, Ci = Ei = |
|
kp=1 aikBk, i = 1, . . . , m т.е. верно (3). |
|
|||||||||||||
Из формулы (2) |
∑получим следующие следствия. |
|
|
|
Следствие 1. Если i-ая строка матрицы A умножена на некоторое число, то i-ая строка матрицы C = AB умножается на то же число.
76 |
Тема 5. Алгебра матриц |
Следствие 2. Если в матрице A поменять i-ую и j-ую строки, то в матрице C = AB также меняются местами i-ая и j-ая строки.
Следствие 3. Если к i-ой строке матрицы A прибавить j-ую с некоторым коэффициентом, то это же происходит со строками матрицы
C = AB.
Вывод. Элементарные преобразования строк матрицы A приводят к |
|
тем же элементарным преобразованиям строк матрицы C = AB. |
|
Иными словами, справедливо следующее утверждение.. |
ru |
|
Лемма 1. Пусть матрица A получена из матрицы A элементарными |
|||||||||||||||||||||
преобразованиями строк. Тогда матрица C = AB получается из C = |
|||||||||||||||||||||
AB теми же элементарнымиe преобразованиями строк. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
e |
|
|
|
|
|
|
3◦. Столбцы произведения матриц. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Пусть A = |
|
aij |
|
= |
A1 A2 . . . Ap |
|
— матрица размера (m |
× |
p) со |
||||||||||||
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
bij |
= B |
1 |
B |
2 |
. . . B |
n |
|
|
||||
столбцами |
A |
|
, k = 1, . . . , p, B = |
|
|
|
|
— матри- |
|||||||||||||
|
p |
|
|
n |
|
[ |
|
j ] |
|
|
|
|
|
|
|||||||
ца размера ( |
× |
) |
со столбцами |
B , j = 1, . . . , n |
и пусть |
C = AB = |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
[ |
|
|
|
] |
|
|
|||||||||
[ C1 C2 . . . |
|
Cn ]. Тогдаj |
справедливыj |
равенства |
|
|
|
|
(4) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
= AB , |
j = 1, . . . , n, |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cj = |
bkjAk, |
j = 1, . . . , n. |
|
|
|
|
|
(5) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Упражнение 1. Вывести формулы (4), (5) (см. упражнение 5.7).
Из формулы (4) вытекает вывод: элементарные преобразования столб-
1) Пусть B и C — матрицы одного размера, причем умножение матриц AB, AC допускается правилом размеров. Тогда
цов матрицы B приводят к тем же элементарным преобразованиям |
||
столбцов матрицы C = AB. |
||
|
|
matematem |
4◦. Дистрибутивность умножения относительно сложения. |
||
www |
. |
|
(6)
2) Пусть B и C — матрицы одного размера, причем умножение BA, BC допускается правилом размеров. Тогда
(7)
Упражнение 2. Вывести формулы (6), (7) (см. упражнение 5.2).
5.2. Свойства умножения матриц |
77 |
5◦. Ассоциативность умножения.
Пусть A, B, C — матрицы размеров (m × p), (p × k), (k × n) соответственно. Тогда
A(BC) = (AB)C. (8)
Замечание 1. Обе части (8) имеют смысл по правилам размеров: BC
Для доказательства (8) потребуется лемма о перестановке порядка суммирования в двойных суммах.
имеет размер (p×k)(k×n) = (p×n), A(BC) имеет размер (m×p)(p×n) = |
||
(m × n). Таков же размер (AB)C. |
. |
ru |
matematem |
|
|
|
|
Лемма 2. В двойных суммах можно менять порядок суммирования:
для любых чисел αij, |
i = 1, . . . , m, |
j = 1, . . . , n |
|
|
||||
|
|
m |
n |
|
n |
m |
|
|
|
|
=1 (j=1 αij) |
= j=1 (i=1 αij). |
(9) |
||||
|
∑i |
∑ |
|
∑ ∑ |
|
|
||
Доказательство. Рассмотрим матрицу |
|
|
|
|||||
|
|
|
α11 |
α12 . . . |
α1n |
|
|
|
|
|
|
α21 |
α22 . . . α2n |
|
|||
|
|
Λ = |
... |
|
... ... |
... |
. |
|
|
|
|
αm1 |
αm2 . . . αmn |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумму всех ее элементов S(Λ) можем найти двумя способами. |
|
|||||||
1 способ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
a) сложим все элементы i-ой строки, i = 1, . . . , m, |
|
|||||||
b) сложим полученные суммы по всем строкам. |
|
|
||||||
Итак, |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
S(Λi) = |
αij |
— сумма элементов i-ой строки, i = 1, . . . , m, |
|
|||||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑j |
|
m |
|
m |
n |
αij). |
|
|
S(Λ) = |
=1 (S(Λi)) = i=1 |
(j=1 |
(10) |
||||
|
|
|
∑i |
|
∑ ∑ |
|
2 способ:www
a) сложим все элементы j-го столбца, j = 1, . . . , n, b) сложим полученные суммы по всем столбцам.
78 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема 5. |
Алгебра матриц |
|
Итак, |
|
∑i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ru |
|
||
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
S(Λj) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
αij — сумма элементов j-го столбца, j = 1, . . . , n, |
|||||||||||
|
|
=1 |
|
∑j |
( |
|
) |
∑ ∑ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
m |
|
|
|
|
|
|
S(Λ) = |
=1 |
S(Λj) |
= j=1 (i=1 αij). |
|
(11) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
Это и означает, что E matematem= G требовалось. |
|
|
|||||||||||
Сопоставляя (10) и (11), получаем (9). |
|
|
|
|
|||||||||
Доказательство свойства 5◦. Введем обозначения |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
D = AB, |
E = (AB)C = DC, |
|
(12) |
||||||
|
|
|
|
F = BC, |
G = A(BC) = AF. |
|
(13) |
||||||
Нужно показать, что E = G. Из (12) по правилу умножения матриц |
|||||||||||||
eij = ∑k |
dikckj (т.к. E = DC), |
dik = ∑l |
ailblk (т.к. D = AB). |
||||||||||
Подставляя, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
eij = ∑k |
(∑l |
ailblj)ckj = ∑k |
∑l |
|
|
(9) |
|
|
|
||||
ailblkckj = |
|
ail (∑k |
blkckj). |
||||||||||
|
|
|
|
. |
|
|
= ∑l |
∑k |
ailblkckj = ∑l |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l ailflj = gij т.к. G = AF . |
|||
Но k blkckj = flj т.к. F = BC. Итак, eij = |
|||||||||||||
www |
|
, что и |
|
|
∑ |
|
|
||||||
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
6◦. Транспонирование матриц.
Пусть A, B — матрицы размера (m × p) и (p × n), соответственно. Тогда
|
|
|
(AB)T = BT AT . |
|
|
|
|
|
|
(14) |
||||
Замечание 2. |
|
|
AB |
|
|
(m |
× |
n) |
|
|||||
(AB) |
T |
|
По правилу размеров T |
|
имеет размер |
× |
|
|
T, тогда |
|||||
|
имеет размер (n × T ).TДалее, |
B |
имеет размер ( |
n |
p |
), |
A |
|
имеет |
|||||
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
||||
размер (p × m), так что B A |
имеет смысл, и ее размер (m × n). |
|
Упражнение 3. Доказать формулу (14) (см. упражнение 5.2).
5.3. Свойства умножения квадратных матриц |
79 |
5.3.Свойства умножения квадратных матриц
Обозначим Mn — множество всех квадратных матриц порядка n. Для A, B Mn по правилу размеров C = AB Mn:
(n × n) · (n ×n) = (n × n).
| {z }
Поэтому, кроме общих свойств умножения матриц, умножение квадрат- |
||||||||||||||||
|
|
|
matematem |
ru |
|
|
||||||||||
ных матриц имеет ряд специфических свойств. |
|
|
|
|||||||||||||
1◦. Роль "единицы" при умножении квадратных матриц. |
из Mn играет |
|||||||||||||||
единичная матрица порядка n I = I(n) Mn: |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
AI = IA = A, A Mn. |
|
|
|
|
|
||||||||
2◦. Для A Mn, m = 0, 1, 2, . . . имеют смысл степени |
|
|
(1) |
|||||||||||||
A0 = I, |
A1 = A, |
A2 = AA, . . . , Am = Am−1A, |
m = 2, 3, . . . |
|||||||||||||
Очевидно, что |
|
|
Am = A · A · . . . · A, m ≥ 2. |
|
|
|
|
|||||||||
|
Степени |
|
| |
|
|
{z |
|
} |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
m раз |
|
|
|
|
|
|
|
||
Замечание 1. |
|
|
|
матрицы коммутируют между собой: |
|
|
||||||||||
AmAp = ApAm = Am+p, |
m, p N0 = {0, 1, 2, . . .} |
|
(2) |
|||||||||||||
3◦. Имеют смысл многочлены от матриц A Mn. |
|
|
|
|
||||||||||||
Пусть |
|
|
p(λ) = p0 + p1λ + . . . + pkλk |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
— многочлен степени k, |
p0, p1, . . . , pk R. Полагаем |
|
|
|
(3) |
|||||||||||
www |
p(A) = p0I + p1A + . . . + pkAk Mn. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Эту матрицу называют многочленом от матрицы A. |
|
|
|
|
||||||||||||
Пример. |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p(λ) = λ2 + λ − 2, A = ( |
1 |
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
0 −2 ) , |
|
|
|
|
||||||||||
p(A) = A2 + A − 2I = ( |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
+ ( |
1 |
1 |
− 2 ( |
1 |
0 |
||||
0 −2 )( |
0 −2 ) |
0 −2 ) |
0 1 ) = |
|||||||||||||
( 0 |
−4 ) |
+ ( |
0 −2 ) + ( |
−0 −2 ) = ( |
0 0 ) . |
|
|
|||||||||
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
2 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
Этот результат не случаен (см. упражнение 5.13)!
4◦. Определитель произведения квадратных матриц.
80 |
Тема 5. Алгебра матриц |
Теорема 1. При умножении квадратных матриц их определители перемножаются, т.е. если A, B Mn, то
det AB = det A · det B. |
ru |
(4) |
|
Для доказательства теоремы 1 потребуются некоторые вспомогательные
утверждения. |
. |
|
Обозначим C = AB Mn. Согласно формуле (5) для столбцов матрицы C справедливы равенстваmatematem
∑n
Cj = bkjAk, j = 1, . . . , n,
k=1
т.е. Cj есть линейная комбинация столбцов A1, . . . , An матрицы A, причем коэффициенты ее — элементы j-го столбца матрицы B. Эти формулы при разных значениях j будут использованы совместно, поэтому индексы суммирования в них следует обозначать разными буквами, например
|
|
|
|
k∑j |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
Cj = |
bkjjAkj , j = 1, . . . , n |
|
(5) |
|
|
|
|
=1 |
|
|
(причем k1, . . . , kn независимо друг от друга меняются от 1 до n). |
|
|||||
Лемма 1. Пусть A = |
A1 A2 . . . An Mn, σ |
= (k1, k2, . . . , kn) |
||||
|
Sn |
— перестановка |
чисел (1, 2, . . . , n), A(σ) = Ak1 |
Ak2 . . . Akn |
|
|
|
[ |
] |
|
|||
Mn — матрица с переставленными столбцами.[Тогда |
|
] |
||||
|
|
|
det A(σ) = sign σ · det A. |
|
(6) |
Доказательство леммы.
из A транспозицией (заменой местами) двух столбцов. По свойству 2◦
1) Если σ есть транспозиция, то sign σ = −1. При этом A(σ) получается |
|
www |
случае |
определителей в этом. |
det A(σ)
2) В общем случае перестановка σ есть произведение нескольких транспозиций, причем их число четно, если σ — четная, и нечетно, если σ — нечетная (см. теорему 2 п. 3.2). При этом A(σ) получается из A соответствующими транспозициями столбцов. При каждой из них знак определителя меняется. В результате, для четной перестановки σ он сменится четное число раз, т.е. останется прежним:
det A(σ) = det A = sign σ · det A, если σ — четная.