RUDN-I
.pdf8.1. Алгебраическая форма комплексного числа |
141 |
Цель создания теории комплексных чисел: расширение поля вещественных чисел R до более широкого поля комплексных чисел C, построенного
1)был выполнен принцип соответствия: вещественное числоru можно понимать как частный случай комплексного числа; причем введенные опе-
рации с комплексными числами (сложение, вычитание, умножение, деление) в применении к вещественным числам дают.те же результаты, что уже известны для вещественных чисел;
2)любые алгебраические уравнения были разрешимы в поле комплекс- ных чисел.таким образом, чтобы
8.1.Понятие комплексного числа. Комплексные числа в алгебраической форме
§1. Понятие комплексного числа
Определение 1. Комплексными числами мы называем упорядоченные пары вещественных чисел: z = (a, b), где a, b R, для которых введены следующие понятия равенства, суммы, произведения и отождествления с вещественными числами:
1◦. |
(a1, |
b1) = (a2, b2) a1 = a2, b1 = b2; |
(1) |
|
2◦. |
(a1, |
b1) + (a2, |
b2) = (a1 + a2, b1 + b2); |
(2) |
3◦. |
(a1, |
b1) · (a2, |
b2) = (a1a2 − b1b2, a1b2 + b1a2); |
(3) |
4◦. |
пара (a, 0) отождествляется с вещественным числом a. |
|
Замечание 1. Понятия равенства, суммы, произведения (1)—(3) в при-
менении к вещественным числам a = (a, 0) дают те же результаты, что |
|||
известны для вещественныхmatematemчисел (выполнен принцип соответствия). |
|||
Действительно, |
. |
|
|
|
|
||
1) |
|
(1) |
; |
(a1, 0) = (a2, 0) a1 = a2 |
|||
2) |
(a1, 0) + (a2, |
(2) |
0), т.е. имеем верное равенство при отож- |
0) = (a1 + a2, |
|||
дествлении 4◦: a1 + a2 = a1 + a2; |
|||
3) |
(a1, 0) · (a2, |
(3) |
0 · 0, a1 · 0 + 0 · a2) = (a1a2, 0), т.е. имеем |
0) = (a1 · a2 − |
верное равенствоwwwпри отождествлении 4◦: a1a2 = a1a2.
Теорема 1. Множество C всех комплексных чисел образует поле относительно введенных операций сложения и умножения.
142 Тема 8. Поле комплексных чисел
Доказательство. 1) Самостоятельно проверить, что C есть абелева группа относительно сложения, что умножение коммутативно и ассоциативно (см. упражнение 8.1). Роль нуля при сложении играет число (0, 0) (отождествляемое с вещественным нулем, см. аксиому 4◦). Роль единицы
играет число (1, |
0) (отождествляемое с вещественной единицей), т.к. |
||||||||||||||
(a, |
b)(1, 0) = (a · 1 − b · 0, |
a · 0 + b · 1) = (a, |
b), |
a, b C. |
|
||||||||||
= (a1 |
, b1) |
a2 |
matematem, −b2 = a1a2 + b1b2 |
, −a1b2 + b1a2 . |
(5) |
||||||||||
2) Для z = (a, b) |
C противоположное, очевидно, равноru−z = (−a, |
−b). |
|||||||||||||
Покажем, что при z ̸= (0, 0) обратное к нему имеет вид. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z−1 = |
|
a |
, |
−b |
. |
|
|
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
(a2 + b2 |
|
a2 + b2 ) |
|
|
|||||
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(a, b) |
|
|
a |
, |
−b |
|
= |
a2 + b2 |
, |
−ab + ba |
= (1, 0). |
|
|||
|
|
· (a2 + b2 |
|
a2 + b2 ) (a2 + b2 |
a2 + b2 |
) |
|
Следствие 1. Корректно определено вычитание комплексных чисел
опр.
(a1, b1) − (a2, b2) = (a1, b1) + (−a2, −b2) = (a1 − a2, b1 − b2).
Следствие 2. Для любой пары z1 = (a1, b1), z2 = (a2, b2) ≠ (0, 0) определено частное
z1 |
опр. |
· z2−1 = |
|
= z1 |
|
z2 |
www |
|
|
|
|
|||
· ( |
a22.+ b22 |
a22 + b22 |
) ( |
a22 + b22 |
|
a22 + b22 |
) |
§ 2. Комплексные числа в алгебраической форме
Обозначим через i комплексное число вида (0, 1). Его называют мнимой единицей:
i = (0, 1).
Имеем |
· 1 + 1 · 0) = (−1, 0) = −1. Итак, |
1) i2 = i · i = (0, 1)(0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1, 0 |
|
i2 = −1. |
(6) |
8.2. Алгебраическая форма комплексного числа |
143 |
2) z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, |
1) = a + b · i. Итак, |
z = (a, b) = a + b · i. |
(7) |
Число a называют вещественной частью комплексного числа z и обозначают a = Re z. Число b называют мнимой частью комплексного числа z и обозначают b = Im z. Числа вида b · i (т.е. с a = 0) называют чисто
мнимыми. Формула (7) дает запись комплексного числа в алгебраической |
|||
форме. В этой записи имеем, опираясь на правила (1), (2),ru |
(3) |
|
|
|
. |
|
(8) |
a1 + b1i = a2 + b2i a1 = a2, b1 = b2; |
|
||
(2) |
+ b2)i; |
|
(9) |
(a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 |
|
||
(3) |
+ a2b1)i. |
(10) |
|
(a1 + b1i)(a2 + b2i) = (a1a2 − b1b2) + (a1b2 |
Замечание 4. Формулаmatematem(11) позволяет производить деление комплекс-
Замечание 2. Тот же результат в (10) получим, умножая двучлен на двучлен по правилам арифметики и учитывая, что i2 = −1:
(a1 + b1i)(a2 + b2i) = a1a2 + (b1a2 + a1b2)i + b1b2i2 =
| {z }
−b1b2
= (a1a2 − b1b2) + (a1b2 + a2b1)i.
Замечание 3. Пусть z = a + bi; число z = a + (−b)i = a − bi называют сопряженным к z. Согласно (10)
|
|
z · z = (a + bi)(a − bi) = (a2 + b2) + 0 · i = a2 + b2. |
|
||||||||||
Итак, |
(a + bi)(a − bi) = a2 + b2. |
|
|
(11) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ных чисел по следующей. |
схеме (домножая числитель и знаменатель дро- |
||||||||||||
би на число, сопряженное знаменателю): |
|
|
|
|
|
||||||||
|
a1 + b1i |
|
(a1 + b1i)(a2 − b2i) |
|
(10), |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
(11) |
|
|
|
|
|
|||||
|
= |
|
= |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
a2 + b2i (a2 + b2i)(a2 − b2i) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
= |
(a1a2 + b1b2) + (b1a2 − a1b2)i |
= |
a1a2 + b1b2 |
+ |
b1a2 − a1b2 |
i. |
|||||
|
|
|
a22 + b22 |
a22 + b22 |
|||||||||
|
www |
a22 + b22 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применение этой схемы дает нужный результат и не требует запоминания громоздкой формулы деления (5).
144 |
Тема 8. Поле комплексных чисел |
8.2.Комплексная плоскость
Комплексные числа z = (a, b) = a + bi естественно изображать в виде |
|||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
*qz = (a, b) . |
ru |
||||||||||||||||
точек на плоскости, имеющих декартовы координаты |
(a, b) см. рис. 1. |
||||||||||||||||||||
Y |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
matematem |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
Рис. 1 |
|||||
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
X |
Изображение комплексных чисел точкой комплексной плоскости
При этом вещественные числа a = (a, 0) изображаются точками оси абсцисс — ее называют вещественной осью. Чисто мнимые числа bi = (0, b) изображаются точками оси ординат — ее называют мнимой осью. Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Таким образом, переход от вещественных чисел к комплексным можно трактовать как выход с вещественной оси в комплексную плоскость.
Точке плоскости (a, b) однозначно сопоставляется ее радиус-вектор {a, b}, который начинается в начале координат (0, 0) и заканчивается в данной точке. Таким образом, комплексное число z = a + bi можно
изображать радиус-вектором на плоскости с координатами {a, |
b}. При |
||||||
этом для z = a + bi число |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
опр. √ |
|
|
|
|
(1) |
|
a |
2 |
2 |
, |
|||
|
r ≡ |z| = |
|
+ b |
||||
называемое модулем комплексного числа имеет геометрический смысл |
|||||||
www |
|
|
|
|
|
|
|
расстояния от точки (a, b) до начала координат или, что то же самое, длины радиус-вектора {a, b}.
Замечание 1. Соответствие между комплексными числами z = (a, b) и изображающими их радиус-векторами {a, b} согласовано с операциями сложения комплексных чисел и сложения векторов. Действительно, пусть
z1 = (a1, b1) ↔ {a1, b1}, z2 = (a2, b2) ↔ {a2, b2},
тогда
z1 + z2 = (a1 + a2, b1 + b2) ↔ {a1 + a2, b1 + b2} = {a1, b1} + {a2 + b2},
8.2. Комплексная плоскость |
145 |
т.е. сумме комплексных чисел отвечает сумма изображающих эти числа векторов. Иными словами, комплексные числа складываются по правилу параллелограмма (см. рис. 2).
|
|
Y |
|
6 |
qz1 + z2 |
. |
ru |
||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
z1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
q@I |
|
|
||
|
|
|
|
@@ |
|
|
|
||
|
z1 − z2 q@I@ |
|
*qz2 |
|
|
|
|
||
|
|
@ |
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
X |
|
Рис. 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Сложение комплексных чисел по правилу параллелограмма |
|||||||||
Соответственно, |
matematem |
|
|
||||||
|
|
|
|
z1 − z2 ↔ {a1, b1} − {a2, b2},
т.е. вычитание комплексных чисел соответствует правилу треугольника (см. рис. 2, для разности z1 − z2 радиус-вектор равен вектору, направ-
ленному из точки z2 в точку z1).
Выводы:
1) |z1 −z2| равен расстоянию между точками, изображающими z1 и z2 на комплексной плоскости.
2) Для комплексных чисел выполнены неравенства треугольника
. |
а) |
|z1 + z2| ≤ |z1 |
| + |z2|; |
(2) |
б) |
||z1| − |z2|| ≤ |z1 − z2|. |
|
Неравенстваwww(2) очевидны геометрически:
а) диагональ параллелограмма, равная |z1 + z2| не больше суммы двух его сторон, равной |z1| + |z2|;
б) длина стороны треугольника, равная |z1 −z2| не меньше разности двух других его сторон, равной ||z1| − |z2||.
Пример.
1) Изобразить на комплексной плоскости числа z, такие что Im z = −1 (см. рис. 3).
146 |
|
|
|
|
|
Тема 8. |
Поле комплексных чисел |
|||||
|
Y |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
O |
|
|
|
|
|
|
X |
|
ru |
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
HP |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
@HP |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
@ |
HPP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
HHPP |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
@ |
HHPPPP |
Pq |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@R |
Hj |
|
|
. |
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Im z = −1 |
|
|
|
|
Рис. 3 |
|||
|
matematemO X |
|
|
|
||||||||
Значения b = Im z откладываются по оси ординат. Для всех искомых |
||||||||||||
чисел ординаты одинаковы и равны (−1). Это точки прямой L на рис. 3. |
2) Изобразить на комплексной плоскости числа z, такие, что 1 < Re z ≤ 2 (см. рис. 4).
Y |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
X |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 < Re z ≤ 2 |
|
Рис. 4 |
Значения a = Re z откладываются по оси абсцисс. Для всех искомых чисел 1 < a ≤ 2. Это точки полосы на рис. 4.
3) Изобразить на комплексной плоскости числа z, такие что |z + i| = 1 (см. рис. 5).
|
|
|
Y |
6 |
= −i. |
|
|
|
C радиусаwww1 с центром в точке z0 |
|
|
||||||
. |
|
. . . |
. . . |
|
- |
|
||
|
@A. . . |
|
|
|||||
. . |
|
|
|
A@ . . |
|
|
||
|
.. |
|
|
|
A @R. |
|
|
|
.. . |
−i q |
|
AAU. .. |
|
|
|||
|
|
. . . . . . . . . |
|
|
||||
|
|z + i| = 1 |
|
Рис. 5 |
Отметим, что |z +i| = |z −(−i)| есть расстояние от точки z до точки (−i) на комплексной плоскости. Поэтому искомое множество — окружность
8.3. Тригонометрическая и показательная форма |
147 |
8.3. Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа
§ 1. Тригонометрическая форма комплексного числа
Комплексное число z = a + bi мы изображаем точкой комплексной плоскости с декартовыми координатами (a, b). Но часто бывает удоб-
но использовать вместо декартовых координат полярные: (r, φ), где |
||||||||||||||||||||||||
|
|
комплексногоmatematemчисла z ̸= 0 в тригонометрической форме. |
||||||||||||||||||||||
есть запись |
||||||||||||||||||||||||
r = √a2 + b2 > 0 — полярный радиус; |
φ — полярныйruугол, т.е. угол |
|||||||||||||||||||||||
наклона вектора {a, b} к оси Ox (см. рис. 1). При.r = 0, т.е. z = 0 |
||||||||||||||||||||||||
полярный угол φ не определяется. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
Y |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qz = a + bi |
|
||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
* |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
φ |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Y. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|||
|
|
|
|
|
.. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
X |
Рис. 1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Полярные координаты на комплексной плоскости |
|
Используя выражение декартовых координат через полярные, получим
|
|
a = r cos φ, b = r sin φ |
(1) |
z = a + bi = r cos φ + ir sin φ = r(cos φ + i sin φ). |
|||
Формула |
|
|
|
wwwz1 = z2 |
z = r(cos φ + i sin φ) |
(2) |
|
|
(4) |
||
Здесь r = |z| — модуль. |
комплексного числа z; |
φ = Arg z — аргумент z. |
Замечание 1. Изменение φ = Arg z на 2πk, k Z не меняет cos φ, sin φ, т.е. сохраняет комплексное число z (2). Поэтому, если z1, z2 ≠ 0, и
z1 = r1(cos φ1 + i sin φ1), z2 = r2(cos φ2 + i sin φ2), |
(3) |
то условие равенства этих чисел имеет вид
148 Тема 8. Поле комплексных чисел
Таким образом, отличные от нуля комплексные числа, записанные в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда их модули совпадают, а аргументы совпадают или отличаются на 2πk, k Z.
осуществляется по формулам (1). Обратный переход опирается на формулы, выражающие r и φ через a и b, а именно
Переход от тригонометрической формы (2) к алгебраической: z = a + bi |
||||
π |
r =π√a2 + b2, |
. |
rub |
(5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
matematem |
|
|||||
φ = |
2 |
(a = 0, b > 0), φ = − |
2 |
(a = 0, b < 0), tg φ = |
a |
, (a ̸= 0), |
т.е. (с точностью до 2πk, k Z) значения угла φ (−π, π] вычисляются по формулам (при a ≠ 0)
φ = arctg |
b |
, |
|
|
|
|
если φ — угол I или IV четверти, |
|
|
a |
b |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
(6) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
φ = π + arctg a , если φ — угол II четверти, |
|||||||||
|
|||||||||
φ = −π + arctg |
b |
, |
если φ — угол III четверти. |
|
|||||
|
|
||||||||
a |
|
§ 2. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме
Если хотя бы одно из чисел z1, z2 равно 0, то, очевидно, z1z2 = 0. Пусть теперь z1z2 ≠ 0 и z1, z2 заданы в тригонометрической форме (3). Тогда по правилам умножения
=(r1r2)[(cos φ1 cos.φ2 − sin φ1 sin φ2) + i(cos φ1 sin φ1 + sin φ1 cos φ2)] =
=r1r2[cos(φ1 + φ2) + i sin(φ1 + φ2)]z
(в концеwwwмы использовали известные формулы для косинуса и синуса суммы двух углов). Итак,
r1(cos φ1 + i sin φ1) · r2(cos φ2 + i sin φ2) =
= r1r2[cos(φ1 + φ2) + i sin(φ1 + φ2)] (7)
Выводы:
1) При умножении ненулевых комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
8.3. Тригонометрическая и показательная форма |
149 |
2) При делении ненулевых комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются:
r1(cos φ1 + i sin φ1) |
|
r1 |
|
ru |
(8) |
r2(cos φ2 + i sin φ2) |
= |
r2 |
[cos(φ1 |
− φ2) + i sin(φ1 − φ2)]. |
§ 3. Показательная форма комплексного числа
Замечание 2. В частности, для числа z = r(cos φ+sin φ), r ̸= 0 получим |
|||||||
Действительно, |
|
|
z−1 = r−1[cos(−φ) + sin(−φ)]. . |
(9) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
z−1 = |
1 |
|
1(cos 0 + i sin 0) |
(8) |
1 |
[cos(−φ) + sin(−φ)]. |
|
|
= |
|
= |
|
|
||
z |
r(cos φ + i sin φ) |
r |
|
||||
|
|
|
matematem |
|
Тригонометрическая форма комплексного числа удобна при выполнении операций умножения и деления. Однако, она выглядит достаточно громоздко. Например, в тригонометрической форме запись чисел 1, −2, ±i имеет вид
1 = 1(cos 0 + i sin 0), −2 = 2(cos π + i sin π),
i = 1 (cos π2 + i sin π2 ), −i = 1 (cos (−π2 ) + i sin (−π2 )) .
Существует более компактная форма записи комплексного числа, сохраняющая информацию о его модуле и аргументе и столь же удобная при умножении и делении комплексных чисел, как тригонометрическая.
Именно, примем следующее соглашение о том, как понимать выражение
eiφ при φ R: |
iφ |
eiφ |
e−iφ |
www |
|
||
Эта формула называется. |
e := cos φ + i sin φ. |
(10) |
|
формулой Эйлера. Более глубокая ее приро- |
да будет раскрыта в курсе теории функций комплексного переменного. Сейчас мы принимаем ее лишь как удобное обозначение. Заменив в (10) φ R на −φ R, получим
(10) |
(11) |
e−iφ ≡ ei(−φ) = cos(−φ) + i sin(−φ) = cos φ − i sin φ. |
Складывая и вычитая (10) и (11), получим выражения для cos φ и sin φ через экспоненту:
cos φ = |
eiφ + e−iφ |
, sin φ = |
− |
. |
(12) |
|
|
||||
2 |
|
2i |
|
150 Тема 8. Поле комплексных чисел
Эти формулы также называют формулами Эйлера.
Используя (10), запишем число z = r(cos φ + i sin φ), r ≠ 0, в виде
z = reiφ, r = |z|, φ = Arg z. |
(13) |
Формулу (13) называют записью числа z ≠ 0 в показательной форме.
модули и аргументы (см. выводы 1, 2 и формулы (7), (8)). |
. В применении к |
Выше были получены условия равенства комплексных чисел (см. (3), |
||
. |
matematem |
через их |
(4)), а также правила их умножения и деления, выраженныеru |
показательной форме комплексного числа эти правила дают следующее.
Пусть z1 = r1eiφ1 , z2 = r2eiφ2 , r1, |
r2 ̸= 0. Тогда |
|
|||
z1 = z2 r1 = r2, φ1 = φ2 + 2πk, k Z |
(14) |
||||
— условие равенства комплексных чисел в показательной форме; |
|
||||
z1z2 = (r1r2)ei(φ1+φ2) |
(15) |
||||
— правило умножения; |
|
|
|
||
|
z1 |
= |
r1 |
ei(φ1−φ2) |
(16) |
|
|
|
|||
|
z2 |
r2 |
|
— правило деления.
= r2 = 1 из (15) получим
eiφ1 eiφ2 = eiφ1+iφ2 ,
т.е. формула Эйлера (10) отвечает основному свойству экспоненты: произведение двух экспонент есть экспонента с суммарным показателем. Это — одно из подтверждений естественности определения (10).
8.4. Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа
Простые правила умножения и деления комплексных чисел в показательной форме позволяют легко осуществлять возведение их в целую степень.
Лемма 1. Пусть z = reiφ ≠ 0. Тогда для m Z справедлива формула
Муавра: |
|
www |
(1) |
zm = rmeimφ. |