RUDN-I

В (2) стоит произведение элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем номера строк идут по порядку: 1, 2, . . . , n, а номера столбцов образуют перестановку α = (α1, α2, . . . , αn).

Определение 1. Определителем матрицы n-го порядка называется число

Сумма в (3) взята по всем различным перестановкам α номеров столбцов. В ней n! слагаемых, половина из них, отвечающих четным перестанов-

a11 a12

= (+1)a11a22 + (−1)a12a21 .

a21 a22 | {z } | {z }

α0=(1, 2) α1=(2, 1)

Общая формула при n = 2 соответствует правилу Саррюса.

(β1, β2, . . . , βn) Sn — перестановки номеров столбцов (в (2) переста-

Взаимноwww-обратные перестановки имеют одинаковую четность (см. следствие из теоремы 3), так что sign α = sign β, т.е.

sign α · aα11aα22 . . . aαnn = sign α · a1β1 a2β2 . . . anβn .

sign α · aα11aα22 . . . aαnn = sign β · a1β1 a2β2 . . . anβn ,

где β = α−1. Далее, если α пробегает все Sn, то β = α−1 также пробегает

Замечание 1. В силу 1◦ все свойства определителя, полученные для его строк, справедливы и для его столбцов (и обратно).

Действительно, пусть доказано некоторое свойство строк определителя det A. Транспонируем матрицу A. Тогда ее строки перейдут в столбцы, а определитель не изменится. Значит, доказанным свойством будут обладать и столбцы матрицы.

2◦. При замене местами двух строк (столбцов) матрицы A ее определитель изменит знак (свойство кососимметричности).

Для доказательства нам потребуется следующее вспомогательное утверждение.

Лемма 1. Пусть фиксированы целые числа i, j, 1 ≤ i < j ≤ n. Отображение f : Sn → Sn, заданное формулой

f(α) = βij ◦ α, α = (α1, . . . , αi, . . . , αj, . . . , αn) Sn,

где βij — транспозиция. элементов с номерами i и j, является биективным.

Следствие.wwwКогда α пробегает все Sn, то и β = βij ◦ α пробегает все

Sn.

Доказательство. Очевидно, что

(f ◦ f)(α) = βij ◦ (βij ◦ α) = (βij ◦ βij) ◦ α = e ◦ α = α,

т.е. f ◦ f = eSn . Итак, f обратимо, f−1 = f, значит, f биективно.

Доказательство свойства 2◦.

Пусть b = (b1, b2, . . . , bn), c = (c1, c2, . . . , cn) — две строки. Рассмотрим

матрицу A1, в которой i-ая строка есть b, j-ая строка есть c (i < j) и матрицу A2, в которой i-ая строка есть c, j-ая строка есть b, т.е.

β Sn

Произведение a1α1 ... . bαi . . . cαj . . . anαn отвечает в (3) перестановке α =

(α1, . . . , αi, . . . , αj, . . . , αn) и входит в (3) со знаком sign α. Равное ему

при транспозиции). При этом, когда α пробегает все Sn, то по лемме 1 β = βij ◦ α тоже пробегает все Sn. Значит, каждому слагаемому в (3) отвечает такое же слагаемое в (4), но с противоположным знаком. В итоге, сумма в (4) отличается от суммы в (3) только знаком слагаемых, т.е. det A1 = − det A2.

βij ◦ α www= (α1, . . . , αj, . . . , αi, . . . , αn) и входит в (4) со знаком sign β = sign (βij ◦ α) = −sign α (по теореме об изменении знака перестановки

Замечание 2. Напомним, что при транспонировании матрицы ее определитель не меняется, а столбцы переходят в строки с теми же номерами. Значит, для столбцов матрицы свойство 2◦ также верно.

Следствие 2. Если две строки (два столбца) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен нулю.

Доказательство. Действительно, коэффициент пропорциональности λ вынесем за знак определителя (следствие 1) и получим определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами). Он равен нулю по свойству

3◦.

Доказательство. Пусть, например, n-ый столбец линейно выражается

через другие:

An = λ1A1 + . . . + λn−1An−1.

Тогда

т.к. в сумме все матрицы имеют по два одинаковых столбца.

Следствие 4. Определитель не изменится, если к одной из строк (одному из столбцов) матрицы добавить линейную комбинацию других строк (столбцов).

поскольку в сумме по i каждое слагаемое есть определитель матрицы с двумя одинаковыми строками, оно равно нулю по свойству 2◦.

Замечание 3. Следствие 4 описывает элементарные преобразования

матрицы, сохраняющие ее определитель.

4.4. Миноры и алгебраические дополнения. Раз-

ложение определителя по строке и столбцу

Пусть A = aij — квадратная матрица n-го порядка, ∆ = det A.

Определение 1. Минором Mij элемента aij в определителе ∆ называется определитель (n − 1)-го порядка, полученный вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца (в которых стоит этот элемент).

Определение 2. Алгебраическим дополнением Aij элемента aij называется число

Лемма 1. Пусть все элементы i-ой строки, кроме, быть может, aij равны нулю. Тогда

(2)

Доказательство. 1) Сначала пусть i = j = n, т.е.

a11 . . . a1(n−1)

a21 . . . a2(n−1)

0 . . . 0

Если i ≤ n − 1, то передвинем i-ую строку на место n-ой, для чего поменяем ее местами с (i + 1)-ой строкой, затем с (i + 2)-ой и т.д., затем с n-ой. Всего сделали (n − i) замен местами соседних строк. При каждой такой замене определитель меняет знак (см. свойство 2◦). В итоге

меняем его местами с (j + 1)-ым столбцом, затем с (j + 2)-ым, ..., с n- ым. Всего сделали (n−j) замен местами соседних столбцов. При каждой такой замене определитель меняет знак (свойство 2◦). В итоге

В ∆2 ненулевой элемент стоит в последней строке и последнем столбце, так что ∆2 можно вычислить, используя результат, полученный на первом шаге доказательства. Согласно шагу 1) получаем, что

Врезультате:www

∆= (−1)n−i∆1 = (−1)n−i(−1)n−j∆2 = (−1)2n−i−jaijMij..

60 Тема 4. Определители

Теорема 1. Определитель равен сумме произведений элементов любой

∆ = ai1Ai1 + ai2Ai2 + . . . + ainAin,

что дает (6).

2) При транспонировании матрицы A ее определитель и все миноры сохраняются (см. свойство 1◦ определителей), а столбцы переходят в строки с теми же номерами. Итак,