§ 7.4 Интерференция волн. Стоячие волны. Уравнение стоячей волны
Стоячие волны образуются в результате интерференции двух встречных плоских волн одинаковой частоты ω и амплитуды А.
Представим себе, что в точке S (рис.7.4) находится вибратор, от которого вдоль луча SO распространяется плоская волна. Достигнув преграды в точке О, волна отразится и пойдёт в обратном направлении, т.е. вдоль луча распространяются две бегущие плоские волны: прямая и обратная. Эти две волны когерентны, так как рождены одним и тем же источником и, накладываясь друг на друга, будут интерферировать между собой.
Возникающее в результате интерференции колебательное состояние среды и называется стоячей волной.
Запишем уравнение прямой и обратной бегущей волны:
прямая - ;обратная -
где S1 и S2 – смещение произвольной точки на луче SO. С учётом формулы для синуса суммы результирующее смещение равно
Таким образом, уравнение стоячей волны имеет вид
(7.17)
Множитель cosωt показывает, что все точки среды на луче SО совершают простые гармонические колебания с частотой . Выражениеназывается амплитудой стоячей волны. Как видно, амплитуда определяется положением точки на лучеSO (х).
Максимальное значение амплитуды будут иметь точки, для которых
или (n = 0, 1, 2,….)
откуда , или(7.18)
Точки, имеющие такие координаты, называют пучностями стоячей волны.
Минимальное значение, равное нулю, будут иметь те точки для которых
или (n = 0, 1, 2,….)
откуда или(7.19)
Точки, имеющие такие координаты, называют узлами стоячей волны. Сопоставляя выражения (7.18) и (7.19), видим, что расстояние между соседними пучностями и соседними узлами равно λ/2.
На рисунке сплошной линией изображено смещение колеблющихся точек среды в некоторый момент времени, пунктирной кривой – положение этих же точек через Т/2. Каждая точка совершает колебания с амплитудой, определяемой её расстоянием от вибратора (х).
В отличие от бегущей волны в стоячей волне не происходит переноса энергии. Энергия просто переходит из потенциальной (при максимальном смещении точек среды от положения равновесия) в кинетическую (при прохождении точками положения равновесия)в пределах между узлами, остающимися неподвижными.
Все точки стоячей волны в пределах между узлами колеблются в одинаковой фазе, а по разные стороны от узла – в противофазе.
Стоячие волны возникают, например, в закреплённой с обоих концов натянутой струне при возбуждении в ней поперечных колебаний. Причём в местах закреплений располагаются узлы стоячей волны.
Если стоячая волна устанавливается в воздушном столбе, открытом с одного конца (звуковая волна), то на открытом конце образуется пучность, а на противоположном – узел.
Примеры решения задач
Пример . Определите скорость распространения звука в воде, если длина волны равна 2м, а частота колебаний источника ν=725Гц. Определите также наименьшее расстояние между точками среды, колеблющимися в одинаковой фазе.
Дано: λ=2м; ν=725Гц.
Найти: υ; х.
Решение. Длина волны равна расстоянию, на которое распространяется определённая фаза волны за период Т, т.е.
,
где υ – скорость волны; ν - частота колебаний.
Тогда искомая скорость
υ=λν.
Длина волны – расстояние между ближайшими частицами среды, колеблющимися в одинаковой фазе. Следовательно, искомое наименьшее расстояние между точками среды, колеблющимися в одинаковой фазы, равно длине волны, т.е.
х=λ
Ответ: υ=1450 м/с; х=2м.
Пример . Определите, во сколько раз изменится длина ультразвуковой волны при переходе её из меди в сталь, если скорость распространения ультразвука в меди и стали соответственно равны υ1=3,6км/с и υ2=5,5 км/с.
Дано: υ1=3,6км/с=3,6∙103м/с. и υ2=5,5 км/с =5,5∙103м/с.
Найти:.
Решение. При распространении волн частота колебаний не изменяется при переходе их одной среды в другую (она зависит только от свойств источника волн), т.е. ν1= ν2= ν.
Связь длины волны с частотой ν:
, (1)
где υ – скорость волны.
Искомое отношение, согласно (1),
.
Вычисляя, получаем (увеличится в 1.53 раза).
Ответ:
Пример . Один конец упругого стержня соединён с источником гармонических колебаний, подчиняющихся закону , а другой конец жёстко закреплён. Учитывая, то отражение в месте закрепления стержня происходит от более плотной среды, определите: 1) уравнение стоячей волны; 2) координаты узлов; 3) координаты пучностей.
Дано: .
Найти: 1) ξ (x, t); 2) ху; 3) хn.
Решение. Уравнение падающей волны
, (1)
где А – амплитуда волны; ω - циклическая частота; υ - скорость волны.
Согласно условию задачи, отражение в месте закрепления стержня происходит от более плотной среды, поэтому волна меняет фазу на противоположную, и уравнение отражённой волны
. (2)
Сложив уравнения (1) и (2), получим уравнение стоячей волны
откуда
(учли ; λ=υТ).
В точках среды, где
(m=0, 1, 2,….) (3)
Амплитуда колебаний обращается в нуль (наблюдаются узлы), в точках среды, где
(m=0, 1, 2,….) (4)
Амплитуда колебаний достигает максимального значения, равного 2А (наблюдаются пучности). Искомые координаты узлов и пучностей находим из выражений (3) и (4):
координаты узлов (m=0, 1, 2,….);
координаты пучностей (m=0, 1, 2,….).
Ответ: 1) ;(m=0, 1, 2,….); (m=0, 1, 2,….).
Пример . Расстояние между соседними узлами стоячей волны, создаваемый камертоном в воздухе ℓ =42см. Принимая скорость звука в воздухе υ=332 м/с, определите частоту колебаний ν камертона.
Дано: ℓ =42см=0,42м; υ=332 м/с.
Найти: ν.
Решение. В стоячеё волне расстояние между двумя соседними узлами равно . Следовательно, ℓ=, откуда длина бегущей волны
λ=2ℓ (1)
Связь между длиной волны и частотой . Подставив в эту формулу значение (1), получим искомую частоту колебаний камертона
.
Ответ: ν=395 Гц.
Пример . Труба длиной ℓ = 50см заполнена воздухом и открыта с одного конца. Принимая скорость υ звука равной 340 м/с, определите, при какой наименьшей частоте в трубе будет возникать стоячая звуковая волна. Принимая скорость звука в воздухе υ=332 м/с, определите частоту колебаний ν камертона.
Дано: ℓ =50см=0,5м; υ=340 м/с.
Найти: ν0.
Решение. Частота будет минимальной при условии, что длина стоячей волны максимальна.
В открытой с одного конца трубе на открытой части будет пучность (отражение от менее плотной среды), а на закрытой части – узел (отражение от более плотной среды). Поэтому в трубе уложится четверть длины волны:
Учитывая, что длина волны , можем записать
,
Откуда искомая наименьшая частота
.
Ответ: ν0=170 Гц.
Пример . Два электропоезда движутся навстречу друг другу со скоростями υ1=20 м/с и υ2=10 м/с. Первый поезд даёт свисток, высота тона которого соответствует частоте ν0=600 Гц. Определите частоту, воспринимаемую пассажиром второго перед встречей поездов и после их встречи. Скорость звука принять равной υ=332 м/с.
Дано: υ1=20 м/с; υ2=10 м/с; ν0=600 Гц; υ=332 м/с.
Найти: ν ; ν'.
Решение. Согласно общей формуле, описывающей эффект Доплера в акустике, частота звука, воспринимаемая движущимся приёмником,
, (1)
где ν0- частота звука, посылаемая источником; υпр - скорость движения приёмника; υист - скорость движения источника. Если источник и приёмник приближаются друг к другу, то берётся верхний знак, если удаляются – нижний знак.
Согласно обозначениями, данным в задаче (υпр=υ2 и υист=υ1 ) и приведённым выше пояснениями, из формулы (1) искомые частоты, воспринимаемые пассажиром второго поезда:
Перед встречей поездов (электропоезда сближаются):
;
После встречи поездов (поезда удаляются друг от друга):
Ответ: ν=658 Гц ; ν' =549 Гц.