§ 7.2 Волновое уравнение
Уравнение плоской волны (7. 5) - одно из возможных решений общего дифференциального уравнения с частными производными, описывающего процесс распространения возмущения в среде. Такое уравнение называется волновым. В уравнения (7.5) входят переменные t и х, т.е. смещение периодически меняется и во времени и в пространстве S = f(x, t). Волновое уравнение можно получить, если продифференцировать (7. 5) дважды по t:
И дважды по х
Подставляя первое уравнение во второе, получаем уравнение плоской бегущей волны вдоль оси X:
(7.
6)
Уравнение (7.6) называют волновым, и для общего случая, когда смещение является функцией четырех переменных, оно имеет вид
(7.7)
,
где
—оператор
Лапласа
§ 7.3 Энергия волны. Вектора Умова.
При распространении в среде плоской волны
(7.8)
происходит перенос энергии. Мысленно выделим элементарный объем ∆V, настолько малый, что скорость движения и деформацию во всех его точках можно считать одинаковыми и равными соответственно
и
(7.9)
Выделенный объём обладает кинетической энергией
(7.10)
m=ρ∆V — масса вещества в объеме ∆V, ρ — плотность среды].
(7.11)
Подставляя в (7.10)
значение
,
получаем
(7.12)
Максимумы кинетической энергии приходятся на те точки среды, которые проходят положения равновесия в данный момент времени (S = 0), в эти моменты времени колебательное движение точек среды характеризуется наибольшей скоростью.
Рассматриваемый
объем ∆V
обладает также потенциальной энергией
упругой деформации
[Е — модуль Юнга;
— относительное удлинение или сжатие].
Учитывая формулу (7.8) и выражение для производной, находим, что потенциальная энергия равна
(7.13)
Анализ выражений (7.12) и (7.13) показывает, что максимумы потенциальной и кинетической энергий совпадают. Следует отметить, что это является характерной особенностью бегущих волн. Чтобы определить полную энергию объема ∆V, нужно взять сумму потенциальной и кинетической энергий:
(7.14)
Разделив эту энергию на объем, в котором она содержится, получим плотность энергии:
(7.15)
Из выражения (7.15) следует, что плотность энергии является функцией координаты х, т. е. в различных точках пространства она имеет различные значения. Максимального значения плотность энергии достигает в тех точках пространства, где смещение равно нулю (S = 0). Средняя плотность энергии в каждой точке среды равна
(7.16)
так как среднее
значение
Таким образом, среда, в которой распространяется волна, обладает дополнительным запасом энергии, которая доставляется от источника колебаний в различные области среды.
Перенос энергии в волнах количественно характеризуется вектором плотности потока энергии. Этот вектор для упругих волн называют вектором Умова (по имени русского ученого Н. А. Умова). Направление вектора Умова совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль равен энергии, переносимой волной за единицу времени сквозь единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны.