vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv

[F]P.Freyd, Abelian categories, N.Y., 1964.

tOPOSY

[Go] r.gOLXDBLATT, tOPOSY: KATEGORNYJ ANALIZ LOGIKI, mIR, m., 1983, pp. 1– 486.

[Jon] p.t.dVONSTON, tEORIQ TOPOSOW, nAUKA, m., 1986, pp. 1–438.

iNTUICIONIZM, KONSTRUKTIWIZM, OMFALOSKEPSIS

zABRATX WSE KNIGI BY DA SVE^X. gRIBOEDOW

[Hey] a.gEJTING, iNTUICIONIZM, mIR, m., 1965.

[Goo] r.l.gUDSTEJN, rEKURSIWNYJ MATEMATI^ESKIJ ANALIZ, nAUKA, m., 1970, pp. 1– 472.

[Dra] a.g.dRAGALIN, mATEMATI^ESKIJ INTUICIONIZM, nAUKA, m., 1979, pp. 1– 256.

[KV] s.kLINI, r.wESLI, oSNOWANIQ INTUICIONISTSKOJ MATEMATIKI, nAUKA, m., 1978, pp. 1–271.

[Kus] b.a.kU[NER, lEKCII PO KONSTRUKTIWNOMU MATEMATI^ESKOMU ANALIZU, nAUKA, m., 1973, pp. 1–417.

[ML] p.mARTIN-lEF, o^ERKI PO KONSTRUKTIWNOJ MATEMATIKE, mIR, m., 1975, pp. 1–136.

[Nov] p.s.nOWIKOW, kONSTRUKTIWNAQ MATEMATI^ESKAQ LOGIKA S TO^KI ZRENIQ KLASSI^ESKOJ, nAUKA, m., 1977, pp. 1–328.

gLAWA 1. aKSIOMATIKA cERMELO{fRENKELQ

mY BUDEM POWS@DU, GDE OTKRYWA@TSQ HOTQ BY MALEJ[IE PERSPEKTIWY, ZABOTLIWO SLEDITX ZA PLODOTWORNYMI PONQTIQMI I SPOSOBAMI UMOZAKL@^ENIJ, BUDEM UHAVIWATX ZA NIMI, PODDERVIWATX IH, DELATX IH PRIGODNYMI K ISPOLXZOWANI@. nIKTO NE SMOVET IZGNATX NAS IZ RAQ, KOTORYJ SOZDAL NAM kANTOR.

dAWID gILXBERT34

w ISTORII NAUKI O^ENX REDKO SLU^AETSQ, ^TOBY CELAQ NA- U^NAQ DISCIPLINA OSNOWOPOLAGA@]EGO ZNA^ENIQ WOZNIKLA W TRUDAH ODNOGO ^ELOWEKA. |TO PROIZO[LO S POSTROENNOJ gEORGOM kANTOROM TEORIEJ MNOVESTW. wSE BOLEE POZDNIE ISSLEDOWANIQ W \TOJ OBLASTI WOSPRINIMA@TSQ LI[X KAK DOPOLNITELXNOE RAZWITIE EGO OSNOWNYH MYSLEJ.

|RNST cERMELO35.

zAWOEWANIE AKTUALXNOJ BESKONE^NOSTI METODAMI TEORII MNOVESTW MOVNO RASSMATRIWATX KAK RAS[IRENIE NA[EGO NAU^- NOGO GORIZONTA, NE MENX[EE PO ZNA^ENI@, ^EM ^EM KOPERNIKOWSKAQ SISTEMA W ASTRONOMII I TEORIQ OTNOSITELXNOSTI ILI DAVE KWANTOWAQ MEHANIKA W FIZIKE.

aBRAHAM fRENKELX36

mY POSWQ]AEM \TU GLAWU PREDMETU, BLIZKO SOPRIKASA@]E- MUSQ S OSNOWAMI NA[EJ NAUKI, NE W SILU FILOSOFSKOJ WAVNOSTI \TIH OSNOW, A PO TOJ PRI^INE, ^TO KRAJNE PROSTYE W SWOEJ SU]NOSTI, NE TREBU@]IE NIKAKIH PREDWARITELXNYH POZNANIJ IDEI I WYWODY WELIKOGO OSNOWOPOLOVNIKA TEORII MNOVESTW gEORGA kANTORA QWLQ@T SOBOJ OBRAZEC PODLINNO MATEMATI^ESKOGO STILQ. pODLINNAQ MATEMATIKA ZAKL@- ^AETSQ NE W NAGROMOVDENII ISKUSSTWENNYH WY^ISLITELXNYH PRIEMOW, A W UMENII POLU^ATX NETRIWIALXNYE REZULXTATY PUTEM RAZMY[LENIQ PRI MINIMUME PRIMENQEMOGO APPARATA.

gANS rADEMAHER, oTTO tEPLIC37

aLXBERT |JN[TEJN KAK TO ZAMETIL, ^TO WSE NUVNO SDELATX NA-

STOLXKO PROSTYM, NASKOLXKO WOZMOVNO, NO NE PRO]E. pO MOEMU

34ibid. STR.439.

35iZ PREDISLOWIQ K Gesammelte Abhandlungen von Georg Cantor, Berlin, 1932, S.III

36A.Fraenkel, Abstract Set Theory, Amsterdam, 1953, p.331.

37g.rADEMAHER, o.tEPLIC, ~ISLA I FIGURY. — rhd, iVEWSK, 2000, S.1–258.

STR.45.

MNENI@, OBY^NYE AKSIOMATI^ESKIE IZLOVENIQ TEORII MNOVESTW, PRINADLEVA]IE LOGIKAM, SOZDA@T IZLI[NIE TRUDNOSTI SWOIM QZYKOM, NE IME@]IM NI^EGO OB]EGO S POWSEDNEWNOJ PRAKTIKOJ MATEMATIKOW. w TO VE WREMQ, ‘NAIWNYE’ IZLOVENIQ TEORII MNOVESTW NA PERWYH STRANICAH KNIG PO ALGEBRE, TOPOLOGII ILI ANALIZU IZOBILU@T FAKTI^ESKIMI O[IBKAMI. nAPRIMER, GOWORITSQ, ^TO DEKARTOWO PROIZWEDENIE MNOVESTW NEKOMMUTATIWNO, W TOM SMYSLE, ^TO A£B =6 B £A, NO PRI \TOM NA TOJ VE SAMOJ STRANICE DEKARTOWO PROIZWEDENIE TREH MNOVESTW OPRE- DELQETSQ FORMULOJ A£B £C = (A£B)£C, S BEZZASTEN^IWYM ZNAKOM RAWENSTWA\. iLI POWESTWUETSQ O NEVELATELXNOSTI POLXZOWATXSQ AKSIOMOJ WYBORA WWIDU EE “NEKONSTRUKTIWNOSTI” I TUT VE “DOKAZYWAETSQ”, ^TO L@BOE BESKONE^NOE MNOVESTWO SODERVIT S^ETNOE PODMNOVESTWO, T.E. ISPOLXZUETSQ IMENNO \TA AKSIOMA (ILI, KAK MINIMUM, KAKAQ-TO IZ EE OSLABLENNYH FORM). kSTATI, PO ABSOL@TNO ZAGADO^NYM PRI^INAM AKSIOMA WYBORA — EDINSTWENNAQ AKSIOMA, NEIZMENNO UPOMINAEMAQ WO WSEH \TIH “NAIWNYH” IZLOVENIQH.

mY STARAEMSQ IZBEVATX KAK BEZUDERVNOGO FORMALIZMA, SWOJSTWENNOGO LOGIKAM, TAK I BEZOTWETSTWENNOSTI I PRIBLIZITELXNOSTI “NAIWNOGO” PODHODA. nA[A TO^KA ZRENIQ POLUAKSIOMATI^ESKAQ[, T.E. MY QWNO FORMULIRUEM AKSIOMY TEORII MNOVESTW, NO NE PRAWILA WYWODA. mNE SOWER[ENNO NEPONQTNO, PO^EMU IZLOVENIE TEORII MNOVESTW NA PERWOM KURSE UNIWERSITETA NE MOVET PROISHODITX HOTQ BY NA UROWNE, SOOTWETSTWU@]EM IZLOVENI@ \WKLIDOWOJ PLANIMETRII W [ESTOM KLASSE SREDNEJ [KOLY. mY OBSUVDAEM RAZLI^NYE WERSII AKSIOMATIKI TEORII MNOVESTW, NO NE PYTAEMSQ POSLEDOWATELXNO WSTATX NA FORMALXNU@ TO^KU ZRENIQ. q S^ITA@, ^TO OB]EE ZNAKOMSTWO S AKSIOMATI^ESKOJ TEORIEJ MNOVESTW NE TOLXKO UWLEKATELXNO I ^REZWY^AJNO POLEZNO DLQ OB- ]EGO RAZWITIQ, NO I ABSOL@TNO NEOBHODIMO DLQ KAVDOGO MATEMATIKA, NEZAWISIMO OT EGO SPECIALXNOSTI.

rABOTA@]EMU MATEMATIKU REDKO PRIHODITSQ OBRA]ATXSQ NEPOSREDSTWENNO K AKSIOMAM TEORII MNOVESTW, OBY^NO EMU DOSTATO^NO SLEDSTWIJ IZ NIH, NO ON DOLVEN ^ETKO PONIMATX, IZ KAKIH AKSIOM \TI SLEDSTWIQ W KONE^NOM S^ETE MOGUT WYTEKATX. wPRO^EM, W POSLEDNEE WREMQ, W SWQZI S POSTOQNNO RASTU]EJ ROLX@ TEORII KATEGORIJ, WYDWI-

\pODOBNOE ^UDOWI]NOE UTWERVDENIE MOVNO NAJTI DAVE W ‘tEORII MNOVESTW’ n.bURBAKI, PRETENDU@]EJ NA NEKOTORU@ STEPENX NAU^NOSTI. pRAWDA, W OPRAWDANIE \TOGO AWTORA SLEDUET UTO^NITX, ^TO \TA O[IBKA DOPU]ENA W OSNOWNOM TEKSTE NA STR.84, DO KOTOROJ DOLETIT TOLXKO REDKAQ PTICA (squeamish ossifrage), W TO WREMQ KAK W SWODKE REZULXTATOW (EDINSTWENNO POLEZNOJ ^ASTI \TOGO TRUDA) NA STR.370–371 \TOT WOPROS TRAKTUETSQ ABSOL@TNO PRAWILXNO!

[iLI, ESLI UGODNO, POLUNAIWNAQ.

NUW[EJ NA PERWYJ PLAN GROMADNYE OBRAZOWANIQ TIPA KATEGORII WSEH KATEGORIJ, \TA SITUACIQ MENQETSQ I MNOGIM MATEMATIKAM PRIHODITSQ ^A]E ZADUMYWATXSQ O WOPROSAH TEORETIKO-MNOVESTWENNOJ GIGIENY. kROME TOGO, ZNAKOMSTWO S AKSIOMATIKOJ NUVNO HOTQ BY DLQ TOGO, ^TOBY RAZWEQTX DO SIH POR KO^U@]IE IZ U^EBNIKA W U^EBNIK MIFY WEKOWOJ DAWNOSTI (“PARADOKSY” TEORII MNOVESTW, “NEOPREDELQEMYE PONQTIQ”, “EDINSTWENNOSTX” PRQMOGO PROIZWEDENIQ, “OSOBYJ STATUS” AKSI-

OMY WYBORA etc., etc., etc.).

x 2. mNOVESTWA I \LEMENTY, PRINADLEVNOSTX

1. mNOVESTWA I PRINADLEVNOSTX. w ORTODOKSALXNOJ* TEORII MNOVESTW cERMELO—fRENKELQ ZF SU]ESTWUET EDINSTWENNYJ TIP OB_EKTOW — MNOVESTWA I EDINSTWENNOE NELOGI^ESKOE OTNO[ENIE, W KOTOROM MNOVESTWA MOGUT NAHODITXSQ MEVDU SOBOJ — OTNO[ENIE PRINADLEVNOSTI, OBOZNA^AEMOE 2. |TI DWA PONQTIQ OPREDELQ@TSQ AKSIOMAMI, WSE OSTALXNYE PONQTIQ QWNO WYRAVA@TSQ ^EREZ \TI DWA. hARAKTERISTIKOJ MNOVESTW QWLQETSQ TO, ^TO IM MOGUT PRINADLEVATX

\LEMENTY.

oPREDELENIE. eSLI WE]X x NAHODITSQ W OTNO[ENII 2 S MNOVE- STWOM y, TO GOWORQT, ^TO x PRINADLEVIT MNOVESTWU y ILI ^TO x QWLQETSQ \LEMENTOM MNOVESTWA y.

iSPOLXZOWANNYJ ZDESX SIMWOL ‘2’ NAZYWAETSQ ZNAKOM PRINADLEVNOSTI, TEXNI^ESKI nin. fORMULA a 2 A ^ITAETSQ E]E KAK ‘A SODERVIT a W KA^ESTWE \LEMENTA’, WPRO^EM, POSLEDNQQ FRAZA ZAPISYWAETSQ I KAK A 3 a. iSPOLXZUEMYJ W \TOJ POSLEDNEJ FORMULE ZNAK 3, TEXNI^ESKI nni, QWLQETSQ OTRAVENNYM ZNAKOM 2. zAPISX a; b; c 2 A OZNA^AET, ^TO WSE \LEMENTY a; b; c PRINADLEVAT MNOVESTWU A. aNALOGI^NO, ZAPISX a 2 A; B; C OZNA^AET, ^TO \LEMENT a PRINADLEVIT WSEM MNOVESTWAM A; B; C, WPRO^EM, W DALXNEJ[EM MY BUDEM ^A]E ZAPISYWATX \TO KAK a 2 A \ B \ C. sPECIALXNOE OBOZNA^ENIE DLQ OTNO[ENIQ PRINADLEVNOSTI BYLO WWEDENO dVUZEPPE pEANO, KOTORYJ ISPOLXZOWAL DLQ \TOJ CELI GRE^ESKU@ BUKWU ², PERWU@ BUKWU GRE^ESKOGO SLOWA ²¾¿¶

— ESTX*. wO MNOGIH STARYH KNIGAH ISPOLXZUETSQ OBOZNA^ENIE pEANO,

*oRTODOKSALXNYJ — SOOTWETSTWU@]IJ EDINSTWENNO PRAWILXNOMU WSEPOBEVDA@-

]EMU U^ENI@, OB]EPRINQTYJ, OBYKNOWENNYJ, OBY^NYJ, TRADICIONNYJ, STANDARTNYJ, KONWENCIONALXNYJ, PRAWOWERNYJ.

*a WOWSE NE PERWU@ BUKWU LATINSKOGO SLOWA \LEMENT, KAK POLAGAET qN sT@ART! sM. q.sT@ART, kONCEPCII SOWREMENNOJ MATEMATIKI. — wY[EJ[AQ [KOLA, mINSK, 1980, S.1–382. kAK IZWESTNO, PO GRE^ESKI \LEMENT NAZYWAETSQ STIHIEJ, I W \TOM SLU^AE pEANO OSTANOWILSQ BY NA BUKWE ¾.

T.E. WMESTO a 2 A PI[UT a²A. oB]EUPOTREBITELXNYJ SEGODNQ SIMWOL 2 QWLQETSQ PROSTO STILIZOWANNYM IZOBRAVENIEM ².

dVUZEPPE pEANO (27.08.1858, kUNEO — 20.04.1932, tURIN) — ITALXQNSKIJ MATEMATIK. s 1890 GODA BYL PROFESSOROM tURINSKOGO uNIWERSITETA. eGO OSNOWNYE RABOTY OTNOSQTSQ K LOGIKE I OSNOWANIQM MATEMATIKI. nAPISAL NESKOLXKO WLIQTELXNYH U^EBNIKOW, W TOM ^ISLE MNOGOTOMNYJ ‘fORMULQR MATEMATIKI’. tAM pEANO WWEL UPOTREBLQEMYE NAMI SIMWOLY, W TOM ^ISLE, 2, ½, [, \, I MNOGIE DRUGIE. w UNIWERSITETSKIH KURSAH WSTRE^A@TSQ AKSIOMATIKA pEANO, KRIWAQ pEANO I TEOREMA pEANO O RE[ENIQH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ. sREDI DRUGIH WE]EJ pEANO INTERESOWALSQ ISKUSSTWENNYMI QZYKAMI I RAZRABOTAL latino sine flessioni — LATYNX BEZ FLEKSIJ.

dLQ OTRICANIQ PRINADLEVNOSTI SIMWOLY 2 I 3 PERE^ERKIWA@TSQ. nAPRIMER, a 2= A OZNA^AET, ^TO a NE PRINADLEVIT A, T.E. NE QWLQETSQ \LEMENTOM MNOVESTWA A. tAKIM OBRAZOM, a 2= A QWLQETSQ SOKRA]ENIEM DLQ :(a 2 A). zAPISX a; b; c 2= A OZNA^AET, ^TO NI ODIN IZ \LEMENTOW a; b; c NE PRINADLEVIT A. aNALOGI^NO, ZAPISX a 2= A; B; C OZNA^AET, ^TO \LEMENT a NE PRINADLEVIT NI ODNOMU IZ MNOVESTW A; B; C, WPRO^EM, W DALXNEJ[EM MY BUDEM ^A]E ZAPISYWATX \TO KAK a 2= A [ B [ C.

kOMMENTARIJ 1: pRINADLEVNOSTX versus WKL@^ENIQ. k SOVALENI@, KAK TERMIN SLOWO SODERVATX WESXMA NEUDA^NO, TAK KAK ONO ISPOLXZUETSQ E]E I W SOWER- [ENNO DRUGOM SMYSLE, KAK SINONIM WKL@^ENIQ µ. tAK KAK ONO PRO^NO UKORENILOSX W MATEMATI^ESKOM OBIHODE, MY BUDEM IM POLXZOWATXSQ, NO DLQ TO^NOSTI LU^[E GOWORITX POLNOSTX@ SODERVIT W KA^ESTWE \LEMENTA versus SODERVIT W KA^ESTWE POD-

MNOVESTWA. |TA DWUSMYSLENNOSTX SLOWA SODERVATX OTNOSITSQ K BOLX[INSTWU zAPADNYH QZYKOW I SWQZANA S TEM, ^TO DO pEANO eWROPEJSKIE LOGIKI I FILOSOFY WOOB]E NE RAZLI^ALI 2 I µ: sOKRAT ESTX KOT I kOT ESTX VIWOTNOE.

kOMMENTARIJ 2: tEORIQ MNOVESTW S PRA\LEMENTAMI. iNOGDA UDOBNO S^I-

TATX, ^TO SU]ESTWU@T OB_EKTY, KOTORYE SAMI NE QWLQ@TSQ MNOVESTWAMI. tEORIQ MNOVESTW, W KOTOROJ SU]ESTWU@T OB_EKTY, NE QWLQ@]IESQ MNOVESTWAMI, NAZY-

WAETSQ NEORTODOKSALXNOJ ILI TEORIEJ S PRA\LEMENTAMI. nAPRIMER, HOTQ CELYE ^ISLA, WE]ESTWENNYE ^ISLA, TO^KI PLOSKOSTI I T.D. LEGKO PROINTERPRETIROWATX W ORTODOKSALXNOJ TEORII MNOVESTW, NEKOTORYE AWTORY RASSMATRIWA@T IH KAK SAMOSTOQTELXNYE OB_EKTY, SU]ESTWU@]IE DO I NEZAWISIMO OT TEORII MNOVESTW. oB_EKTY TEORII MNOVESTW, KOTORYE SAMI NE QWLQ@TSQ MNOVESTWAMI, NAZYWA@TSQ PRA\LEMENTAMI (OT NEMECKOGO Urelement, ^TO ^ASTO PEREWODITSQ NA RUSSKIJ I KAK UR\LEMENT). nEKOTORYE LOGIKI NAZYWA@T PRA\LEMENTY ATOMAMI ILI INDIWIDAMI. mNOVESTWA I PRA\LEMENTY NAZYWA@TSQ WE]AMI. tEORIQ MNOVESTW cERMELO—fRENKELQ S PRA\LEMENTAMI OBOZNA^AETSQ ZFU. w NEJ, KROME PUSTOGO MNOVESTWA ?, WWODITSQ E]E ODNA KONSTANTA Ur — MNOVESTWO PRA\LEMENTOW. pODROBNOE OBSUVDENIE CELESOOBRAZNOSTI WWEDENIQ PRA\LEMENTOW MOVNO NAJTI W KNIGE bARWAJSA38

38J.Barwise, Admissible sets and structures. — Springer, Berlin et al., 1975.

² wE]ESTWENNYE ^ISLA. ~EREZ R OBOZNA^AETSQ MNOVESTWO WE]E- STWENNYH ^ISEL. pRI \TOM p2; e; ¼; 1=2¼2 2 R, A i; 1+i; ¡1=2+ip3=2 2=

R.

² eDINI^NYJ OTREZOK. ~EREZ I = [0; 1] OBOZNA^AETSQ EDINI^NYJ OTREZOK WE]ESTWENNOJ OSI, T.E. MNOVESTWO WE]ESTWENNYH ^ISEL x TAKIH, ^TO 0 · x · 1.

² kOMPLEKSNYE ^ISLA. ~EREZ C OBOZNA^AETSQ MNOVESTWO KOMPLEKSNYH ^ISEL. nAPRIMER i; 1 ¡ i; ¡1=2 ¡ p3=2 2 C.

² gRUPPA UGLOW. ~EREZ T OBOZNA^AETSQ MNOVESTWO KOMPLEKSNYH ^ISEL, PO MODUL@ RAWNYH 1, NAZYWAEMOE OBY^NO GRUPPOJ UGLOW ILI

EDINI^NOJ OKRUVNOSTX@. pRI \TOM ¡1; i; ¡1=p2 + i=p2; ¡1=2 ¡ p3=2 2 T, a 2i; 1 + i; 2 + 3i 2= T.

3. oDNO\LEMENTNOE MNOVESTWO. mNOVESTWO fxg IMEET SWOIM EDIN-

STWENNYM \LEMENTOM x. tAKOE MNOVESTWO NAZYWAETSQ ODNO\LEMENT-

NYM MNOVESTWOM ILI SINGLETONOM (Einermenge). dLQ RAZNOOBRA-

ZIQ, EDINSTWENNYM \LEMENTOM MNOVESTWA ffxgg QWLQETSQ MNOVESTWO fxg, SOSTOQ]EE IZ x, NO PRI \TOM SAM x NE QWLQETSQ \LEMENTOM MNOVESTWA ffxgg, TAK ^TO fxg 2 ffxgg, NO x 2= ffxgg. nAPRIMER, x = ? PUSTO, NO f?g NE PUSTO, EDINSTWENNYM EGO \LEMENTOM QWLQETSQ PUSTOE MNOVESTWO ?. s DRUGOJ STORONY, ff?gg TOVE QWLQETSQ ODNO\LEMENTNYM MNOVESTWOM, EDINSTWENNYM \LEMENTOM KOTOROGO QWLQETSQ ODNO- \LEMENTNOE MNOVESTWO f?g. tEM SAMYM, f?g 6= ff?gg. tAKIM OBRAZOM, OTNO[ENIE PRINADLEVNOSTI NE QWLQETSQ TRANZITIWNYM, T.E. IZ x 2 y I y 2 z, WOOB]E GOWORQ, NE SLEDUET, ^TO x 2 z. hOTQ, KONE^- NO, LEGKO PRIWESTI PRIMERY MNOVESTW S TRANZITIWNYM OTNO[ENIEM PRINADLEVNOSTI. tAK, fx; fxgg SODERVIT KAK x, TAK I fxg W KA^ESTWE \LEMENTOW, PRI^EM ESLI x = ?, TO NIKAKIH DRUGIH \LEMENTOW U MNOVESTW x, fxg NET.

kOMMENTARIJ. fORMULIRUEMAQ NIVE AKSIOMA ZF9 STANDARTNOJ TEORII MNOVESTW ZAPRE]AET, SREDI PRO^EGO, WKL@^ENIE x 2 x, TAK ^TO, W ^ASTNOSTI, x =6 fxg DLQ L@BOGO x. oDNAKO DAVE BEZ \TOJ AKSIOMY x =6 fxg DLQ WSEH OBY^NO WOZNIKA- @]IH MNOVESTW. w NEKOTORYH NESTANDARTNYH TEORIQH, NAPRIMER, W TEORII GIPERMNOVESTW, SU]ESTWU@T TAKIE MNOVESTWA x, DLQ KOTORYH x = fxg, I TOGDA, KONE^NO, x 2 ffxgg). kAK ZAMETIL oSWALXD {PENGLER40, UQSNENIE RAZNICY MEVDU WE]X@ x I MNOVESTWOM fxg, EDINSTWENNYM \LEMENTOM KOTOROGO QWLQETSQ \TA WE]X, PREDSTAWLQET SERXEZNYE PSIHOLOGI^ESKIE TRUDNOSTI DLQ ‘DETEJ, NARODNYH MASS I FILOSOFOW’. tAK, NAPRIMER, bERTRAN rASSEL41 SPECIALXNO POD^ERKIWAET: ‘: : : a class, consisting of a single term, which in that case is the class’ (KURSIW SAMOGO

40o.{PENGLER, zAKAT eWROPY.

41B.Russell, The principles of Mathematics. I. — London, 1903.

rASSELA!!!). nEPONIMANIE RAZNICY MEVDU x I fxg POROVDAET ^UDOWI]NU@ PUTANICU. kAK KURXEZ UPOMQNEM, ^TO I W SISTEME ML kUAJNA PRA\LEMENT x OTOVDESTWLQETSQ S ODNO\LEMENTNYM KLASSOM fxg, ^TO, KONE^NO, NELXZQ RASCENIWATX INA^E KAK PRIMER REGRESSIWNOGO RAZWITIQ, OTKAT K SOSTOQNI@, PRED[ESTWOWAW[EMU RABOTAM kANTORA I pEANO.

4. oTNO[ENIE WHOVDENIQ. w OTLI^IE OT OTNO[ENIQ WKL@^ENIQ µ, OTNO[ENIE PRINADLEVNOSTI 2 NE QWLQETSQ TRANZITIWNYM. |TO ZNA^IT, ^TO IZ x 2 y I y 2 z WOOB]E GOWORQ, NE SLEDUET, ^TO x 2 z. sEJ^AS MY OPREDELIM W TERMINAH OTNO[ENIE 2 NOWOE OTNO[ENIE, KOTOROE UVE TRANZITIWNO.

oPREDELENIE. oTNO[ENIEM WHOVDENIQ NAZYWAETSQ TRANZITIWNOE ZAMY-

KANIE OTNO[ENIQ PRINADLEVNOSTI 2. iNYMI SLOWAMI, GOWORQT, ^TO WE]X x WHODIT W MNOVESTWO y I PI[UT x 22 y, ESLI SU]ESTWU@T TAKOE NATURALXNOE n I TAKIE MNOVESTWA z1; : : : ; zn, ^TO zn = y I WYPOLNQETSQ CEPO^KA PRINAD- LEVNOSTEJ x 2 z1 2 z2 2 : : : 2 zn¡1 2 zn = y. w \TOM SLU^AE x NAZYWAETSQ

SOSTAWLQ@]EJ MNOVESTWA y.

tAKIM OBRAZOM, SOSTAWLQ@]IE MNOVESTWA y — \TO \LEMENTY \TOGO MNOVESTWA, \LEMENTY EGO \LEMENTOW, \LEMENTY \LEMENTOW EGO \LEMENTOW I T.D. tOT FAKT, ^TO x WHODIT W y ^ASTO OBOZNA^AETSQ TAKVE ^EREZ x 2¤ y. w NEKOTORYH TEKSTAH SOSTAWLQ@]IE NAZYWA@TSQ TAKVE KONSTITUENTAMI.

uPRAVNENIE. s^ITAQ, ^TO x I y QWLQ@TSQ PRA\LEMENTAMI, NAJDITE, SKOLXKO SOSTAWLQ@]IH U MNOVESTWA ffx; fygg; fygg, ^TO \TO ZA SOSTAWLQ@]IE?

uPRAVNENIE. uBEDITESX, ^TO OTNO[ENIE WHOVDENIQ 22 TRANZITIWNO, T.E. ESLI x 22 y I y 22 z, TO x 22 z.

iNOGDA GOWORQT O GLUBINE WHOVDENIQ. |LEMENTY MNOVESTWA WHODQT W NEGO NA GLUBINE 1, \LEMENTY EGO \LEMENTOW — NA GLUBINE 2, I TAK DALEE. rAZUMEETSQ, W STANDARTNOJ TEORII ODNA I TA VE SOSTAWLQ@]AQ MOVET MNOGOKRATNO WHODITX W DANNOE MNOVESTWO, KAK NA ODNOJ I TOJ VE, TAK I NA RAZNYH GLUBINAH. nAPRIMER, x WHODIT W MNOVESTWO fx; fxg; fx; fxggg ^ETYRE RAZA, ODIN RAZ KAK \LEMENT, T.E. NA GLUBINE 1, DWA RAZA NA GLUBINE 2 I ODIN RAZ NA GLUBINE 3. w NEKOTORYH NESTANDARTNYH TEORIQH MNOVESTW, NAPRIMER, W TEORII TIPOW, GLUBINA WHOVDENIQ REGLAMENTIRUETSQ TIPAMI x I y, TAK ^TO WSE WHOVDENIQ x W y PROISHODQT NA ODNOJ I TOJ VE GLUBINE. s DRUGOJ STORONY, IME@TSQ I TAKIE NESTANDARTNYE TEORII MNOVESTW, KAK TEORIQ GIPERMNOVESTW, KOTORYE DOPUSKA@T NALI^IE SOSTAWLQ@]IH NA BESKONE^NOJ GLUBINE.

x 3. tABLI^NOE ZADANIE MNOVESTWA

1. tABLI^NAQ ZAPISX. ~ASTO MNOVESTWA ZADA@TSQ PERE^ISLENIEM SWOIH \LEMENTOW ILI UKAZANIEM PRAWILA, PO KOTOROMU \TI \LEMENTY OBRAZU@TSQ. pRI \TOM DLQ UKAZANIQ, ^TO \TI \LEMENTY RASSMATRIWA@TSQ KAK NEKOTOROE NOWOE EDINSTWO, ISPOLXZU@TSQ FIGURNYE SKOBKI ‘f,g’, NAZYWAEMYE W DALXNEJ[EM SKREPAMI. eSLI a; b; : : : ; c — WSE \LEMENTY MNOVESTWA A, TO GOWORQT, ^TO MNOVESTWO A SOSTOIT IZ \LEMENTOW a; b; : : : ; c I PI[UT A = fa; b; : : : ; cg. tABLI^NAQ ZAPISX OSOBENNO