vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv

oPREDELENIE. oB_EDINENIE A0 [ B0 PO-PREVNEMU NAZYWAETSQ SWOBODNYM OB_EDINENIEM MNOVESTW A I B I OBOZNA^AETSQ A `B.

sWOBODNOE OB_EDINENIE MNOVESTW NAZYWAETSQ TAKVE IH KOPROIZWE-

DENIEM, SWOBODNOJ SUMMOJ ILI (OBY^NO W TOPOLOGII) NESWQZNOJ SUMMOJ ILI PROSTO SUMMOJ. zNAK `, NAZYWAETSQ ZNAKOM KOPROIZWEDENIQ, A EGO TEXNI^ESKOE NAZWANIE ncoprod. |TA OPERACIQ LEGKO

OBOB]AETSQ NA L@BOE KONE^NOE ^ISLO SLAGAEMYH. nAPRIMER, WMESTO X1 £ : : : £ Xn OBY^NO PI[UT `n Xi.

DEJSTWITELXNOSTI SWOBODNOE OB_EDINENIQ POLNOSTX@ HARAKTERIZUET SQ UNIWERSALXNYM SWOJSTWOM, DWOJSTWENNYM UNIWERSALXNOMU SWOJSTWU PRQMOGO PROIZWEDENIQ.

oPREDELENIE. sWOBODNYM OB_EDINENIEM DWUH MNOVESTW A I B

NAZYWAETSQ MNOVESTWO A `B WMESTE S OTOBRAVENIQMI ¶1 : A ¡!

A `B I ¶2 : B ¡! A `B, NAZYWAEMYMI KANONI^ESKIMI WLOVENI-

QMI PERWOGO I WTOROGO SLAGAEMOGO W A `B, UDOWLETWORQ@]EE SLE- DU@]EMU UNIWERSALXNOMU SWOJSTWU. dLQ L@BOGO MNOVESTWA C I L@BYH OTOBRAVENIJ f : A ¡! C I g : B ¡! C

SU]ESTWUET EDINSTWENNOE OTOBRAVENIE f ] g : A `B ¡! C TAKOE,

^TO f = (f ] g) ± ¶1 I g = (f ] g) ± ¶2.

3. sWOBODNYE OB_EDINENIQ PROIZWOLXNYH SEMEJSTW. |TA KON-

STRUKCIQ LEGKO OBOB]AETSQ NA SLU^AJ L@BOGO SEMEJSTWA Ω = fA`i; i 2 Ig, W \TOM SLU^AE SWOBODNOE OB_EDINENIE OBOZNA^AETSQ OBY^NO Ai,

i 2 I. oDIN IZ ^ASTO ISPOLXZUEMYH SPOSOBOW OPREDELITX KOPROIZWEDENIE SOSTOIT W TOM, ^TOBY POLOVITX

a[

Ai = Ai £ fig:

i2I i2I

pREDOSTEREVENIE. w BOLX[INSTWE NAIBOLEE UPOTREBITELXNYH KONKRETNYH KATEGORIJ PRQMOE PROIZWEDENIE OB_EKTOW KAK MNOVESTWO SOWPADAET S TEORETIKOMNOVESTWENNYM PRQMYM PROIZWEDENIEM. w TO VE WREMQ KOPROIZWEDENIE, DAVE ESLI ONO SU]ESTWUET, PRINIMAET SAMYE RAZLI^NYE OBLI^IQ I KRAJNE REDKO SOWPADAET S NESWQZNOJ SUMMOJ. tAK, W KATEGORII MNOVESTW S OTME^ENNOJ TO^KOJ KOPROIZWEDENIE \TO BUKETNOE PROIZWEDENIE, W KATEGORIQH ABELEWYH GRUPP I MODULEJ \TO PRQMAQ SUMMA, W KATEGORII WSEH GRUPP \TO SWOBODNOE PROIZWEDENIE, W KATEGORII ALGEBR \TO TENZORNOE PROIZWEDENIE I T.D. wOT DLQ RAZNOOBRAZIQ PRIMER KATEGORII, GDE KOPROIZWEDENIE WSE VE SOWPADAET S NESWQZNYM OB_EDINENIEM: KATEGORIQ ^ASTI^NO UPORQDO^ENNYH MNOVESTW, GDE KOPROIZWEDENIEM QWLQETSQ KARDINALXNAQ SUMMA.

4. pRAWILO SUMMY. eSLI MNOVESTWA A I B KONE^NY, PRI^EM A`SODERVIT m \LEMENTOW, A B SODERVIT n \LEMENTOW, TO MNOVESTWO A B TOVE KONE^NO I SODERVIT m + n \LEMENTOW. wOOB]E, DLQ L@BYH DWUH MNOVESTW A I B MO]NOSTX IH SWOBODNOGO OB_EDINENIQ A £ B RAWNA SUMME MO]NOSTEJ MNOVESTW A I B, jA `Bj = jAj + jBj.

x 21 bUKETNOE PROIZWEDENIE MNOVESTW S OTME^ENNOJ TO^KOJ

sEJ^AS, ^TOBY POKAZATX, ^TO KOPROIZWEDENIE GORAZDO BOLEE DELIKATNAQ OPERACIQ, ^EM PROIZWEDENIE, MY POSTROIM KOPROIZWEDENIE W KATEGORII MNOVESTW S OTME^ENNOJ TO^KOJ. |TA KONSTRUKCIQ O^ENX ^ASTO ISPOLXZUETSQ W TOPOLOGII.

1. bUKETNOE PROIZWEDENIE. pUSTX TEPERX A I B – DWA MNOVESTWA S OTME^ENNOJ TO^KOJ.

oPREDELENIE. bUKETNYM PROIZWEDENIEM A _ B MNOVESTW A I B S OTME^ENNOJ TO^KOJ NAZYWAETSQ IH AMALXGAMIROWANNAQ SUMMA A `C B POD ODNO\LEMENTNYM MNOVESTWOM C = f¤g.

~TOBY A C B BYLO MNOVESTWOM S OTME^ENNOJ TO^KOJ, OTOBRAVENIQ f I g ZDESX

OTME^ENNAQ TO^KA ¤A 2 A OTOVDESTWLENA S OTME^ENNOJ TO^KOJ ¤B 2 B. pRIMERY BUKETNYH PROIZWEDENIJ.

zADA^A. nARISUJTE BUKETNOE PROIZWEDENIE i) DWUH OKRUVNOSTEJ, ii) DWUH OTREZKOW, WYDELENNYE TO^KI KOTORYH QWLQ@TSQ IH SEREDINAMI.

2. wLOVENIE BUKETNOGO PROIZWEDENIQ W PRQMOE PROIZWEDENIE. zAMETIM,

^TO BUKETNOE PROIZWEDENIE MNOVESTW S OTME^ENNOJ TO^KOJ MOVET BYTX ESTESTWENNYM OBRAZOM REALIZOWANO NE TOLXKO KAK FAKTOR-MNOVESTWO SWOBODNOGO OB_EDINENIQ SOOTWETSTWU@]IH MNOVESTW, NO I KAK PODMNOVESTWO IH PRQMOGO PROIZWEDENIQ. a IMENNO, BUKETNOE PROIZWEDENIE A I B PRO]E WSEGO PREDSTAWLQTX SEBE KAK

A _ B = f(a; ¤B) 2 A £ B j a 2 Ag [ f(¤A; b) 2 A £ B j b 2 Bg:

sOWER[ENNO QSNO, ^TO DWA MNOVESTWA, OB_EDINENIE KOTORYH RASSMATRIWAETSQ W PRAWOJ ^ASTI, PERESEKA@TSQ ROWNO PO ODNOMU \LEMENTU, A IMENNO, PO (¤A; ¤B).

3. sMQTOE PROIZWEDENIE MNOVESTW S OTME^ENNOJ TO^KOJ. sMQTYM PRO-

IZWEDENIEM (smash product) MNOVESTW S OTME^ENNOJ TO^KOJ A I B NAZYWAETSQ FAKTOR-MNOVESTWO A]B = A £ B= » IH PRQMOGO PROIZWEDENIQ A £ B PO NAIMENX- [EMU OTNO[ENI@ \KWIWALENTNOSTI », DLQ KOTOROGO WSE \LEMENTY A _ B POPADA@T W ODIN KLASS. |TO OTNO[ENIE \KWIWALENTNOSTI OPREDELQETSQ SLEDU@]IM OBRA-

ZOM: (a1; b1) » (a2; b2), W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE, KOGDA (a1; b1) = (a2; b2) ILI (a1; b1); (a2; b2) 2 A _ B. sMQTOE PROIZWEDENIE DOWOLXNO INTERESNAQ OPERACIQ.

zADA^A. uBEDITESX, ^TO S1]S1 » S2.

=

x 22. rASSLOENNOE PROIZWEDENIE

w NASTOQ]EM PARAGRAFE MY POSTROIM O^ENX [IROKOE OBOB]ENIE PONQTIQ PRQMOGO PROIZWEDENIQ DWUH MNOVESTW. a IMENNO, MY WWEDEM PONQTIE RASSLOENNOGO PROIZWEDENIQ, KOTOROE QWLQETSQ SOWMESTNYM OBOB]ENIEM TAKIH PONQTIJ, KAK PERESE^ENIE, PRQMOE PROIZWEDENIE, GRAFIK FUNKCII, POLNYJ PROOBRAZ, URAWNITELX I T.D.

1. nAIWNOE OPREDELENIE RASSLOENNOGO PROIZWEDENIQ. pREDPOLOVIM, ^TO NAM ZADANY DWA OTOBRAVENIQ f : A ¡! C I g : B ¡! C.

oPREDELENIE. rASSLOENNOE PROIZWEDENIE A I B NAD C MOVET BYTX OPRE-

DELENO KAK MNOVESTWO

A £C B = f(a; b) 2 A £ B j f(a) = g(b)g:

rASSLOENNOE PROIZWEDENIE ^ASTO NAZYWAETSQ TAKVE KOAMALXGAMOJ ILI PULLB- \KOM (pull-back) MNOVESTW A I B NAD C. sRAZU OTMETIM TRI WAVNYH OBSTOQTELXSTWA:

²kONE^NO, NA SAMOM DELE RASSLOENNOE PROIZWEDENIE ZAWISIT NE TOLXKO OT MNOVESTW A, B, C, NO I OT OTOBRAVENIJ f I g. oDNAKO WO WSEH SLU^AQH, KOGDA MY BUDEM EGO ISPOLXZOWATX, \TI OTOBRAVENIQ BUDUT QWNO OPREDELQTXSQ KONTEKSTOM.

²kAK I W SLU^AE PRQMOGO PROIZWEDENIQ, RASSLOENNOE PROIZWEDENIE — \TO NE

PROSTO MNOVESTWO A £C B, A MNOVESTWO A £C B WMESTE S PAROJ KANONI^ESKIH PROEKCIJ ¼1 : A £C B ¡! A I ¼2 : A £C B ¡! B, QWLQ@]IHSQ OGRANI^ENIQMI KANONI^ESKIH PROEKCIJ pr1 I pr2.

²tAK KAK PRQMYE PROIZWEDENIQ SU]ESTWU@T, SU]ESTWOWANIE RASSLOENNYH PROIZWEDENIJ GARANTIRUETSQ AKSIOMOJ PODMNOVESTW.

2. ~ASTNYE SLU^AI RASSLOENNOGO PROIZWEDENIQ. sEJ^AS MY POKAVEM, ^TO OBY^NYE PRQMYE PROIZWEDENIQ, PERESE^ENIQ, GRAFIKI OTOBRAVENIJ I POLNYE PROOBRAZY TO^EK WSE MOGUT BYTX ISTOLKOWANY KAK ^ASTNYE SLU^AI OPERACII RASSLOENNOGO PROIZWEDENIQ.

² pRQMOE PROIZWEDENIE. rASSMOTRIM SLU^AJ, KOGDA C = f¤g SOSTOIT IZ ODNOJ TO^KI. w \TOM SLU^AE SU]ESTWUET EDINSTWENNAQ WOZMOVNOSTX KAK DLQ f, TAK I DLQ g, PRI^EM f(a) = g(b) = f¤g DLQ L@BYH a 2 A I b 2 B. tAKIM OBRAZOM, W \TOM SLU^AE A £C B = A £ B.

² pERESE^ENIE. pUSTX C = A [ B, A f I g – ESTESTWENNYE WLOVENIQ A I B W A [ B, SOOTWETSTWENNO. tOGDA A £C B SOSTOIT IZ TEH PAR (a; b), DLQ KOTORYH a = b, T.E. KANONI^ESKI IZOMORFNO PERESE^ENI@ A \ B (IZOMORFIZM ZADAETSQ POSREDSTWOM (a; a) 7!a).

²gRAFIK OTOBRAVENIQ. pUSTX C = B, f — PROIZWOLXNOE OTOBRAVENIE, A

g = idB — TOVDESTWENNOE OTOBRAVENIE. tOGDA A£BB — \TO W TO^NOSTI MNOVESTWO TEH PAR (a; b), DLQ KOTORYH f(a) = b, T.E. GRAFIK OTOBRAVENIQ f.

²pOLNYJ PROOBRAZ TO^KI OTNOSITELXNO OTOBRAVENIQ. w \TOM PODPUNK-

TE MY SLEGKA IZMENIM OBOZNA^ENIQ I BUDEM OBOZNA^ATX ^EREZ B TO, ^TO MY RANX[E OBOZNA^ALI ^EREZ C, A ^EREZ f – PROIZWOLXNOE OTOBRAVENIE A ¡! B. pUSTX, KROME

TOGO, g : f¤g ¡! B — OTOBRAVENIE, PEREWODQ]EE ¤ W b0. tOGDA A £ Bf¤g SOSTOIT

IZ WSEH PAR (a; ¤), DLQ KOTORYH f(a) = g(¤) = b0. tAKIM OBRAZOM A £ Bf¤g KANONI^ESKI IZOMORFNO POLNOMU PROOBRAZU f¡1(b0) TO^KI b0 (IZOMORFIZM ZADAETSQ POSREDSTWOM (a; ¤) 7!a).

zADA^A. pUSTX A = B. wERNO LI, ^TO A £C A NAHODITSQ W BIEKTIWNOM SOOTWETSTWII S Eq(f; g)?

rE[ENIE. nET, W DEJSTWITELXNOSTI \KWALAJZER SOOTWETSTWUET A £A£C A, GDE OTOBRAVENIQ A W A £ C ZADA@TSQ, NAPRIMER, SLEDU@]IM OBRAZOM: (id; f); (id; g) : A ¡! A£C. kAKIE E]E PARY OTOBRAVENIJ A W A£C MOVNO ZDESX RASSMATRIWATX?

3. dEKARTOWY KWADRATY. dADIM TEPERX PRAWILXNOE OPREDELENIE RASSLOENNOGO PROIZWEDENIQ W TERMINAH UNIWERSALXNOGO SWOJSTWA. kWADRAT

¼1

D ¡¡¡¡¡! A

B ¡¡¡¡¡! C

g

NAZYWAETSQ DEKARTOWYM KWADRATOM (^ASTO GOWORQT TAKVE UNIWERSALXNYM KWAD-

RATOM), ESLI ON KOMMUTATIWEN I DLQ L@BOGO KOMMUTATIWNOGO KWADRATA

µ1

X ¡¡¡¡¡! A

B ¡¡¡¡¡! C

g

SU]ESTWUET EDINSTWENNOE OTOBRAVENIE ´ : X ¡! D TAKOE, ^TO µ1 = ¼1 ± ´ I µ2 =

¼2 ± ´. tAK WOT, RASSLOENNOE PROIZWEDENIE A I B NAD C \TO W TO^NOSTI

QWLQETSQ DEKARTOWYM. aWTOR OSTAWLQET ^ITATEL@ SAMOSTOQTELXNO SFORMULIROWATX (I DOKAZATX!) WSE OTNOSQ]IESQ S@DA UTWERVDENIQ, KOTORYE POLNOSTX@ PARALLELXNY TOMU, ^TO MY DOKAZYWALI DLQ DEKARTOWYH PROIZWEDENIJ.

zADA^A. dOKAVITE, ^TO ESLI W DEKARTOWOM KWADRATE OTOBRAVENIE ¼2 TOVE QWLQETSQ IN_EKCIEJ/S@R_EKCIEJ TO OTOBRAVENIE ¼2 TOVE QWLQETSQ IN_EKCIEJ/S@R_EKCIEJ. qSNO, ^TO f I ¼2 ZDESX MOVNO ZAMENITX NA g I ¼1, A WOT WERNA LI OBRATNAQ IMPLIKACIQ: ESLI ¼2 QWLQETSQ IN_EKCIEJ/S@R_EKCIEJ, TO f TOVE QWLQETSQ IN_EKCIEJ/S@R_EKCIEJ.

pREDOSTEREVENIE. zDESX SAMYM SU]ESTWENNYM OBRAZOM ISPOLXZOWANA SPECIFIKA TEORII MNOVESTW. w OB]EM SLU^AE IN_EKCII ZDESX MOVNO ZAMENITX NA MONOMORFIZMY, NO NE NA \PIMORFIZMY. tO, ^TO \TO TAK DLQ MNOVESTW, SWQZANO ISKL@^ITELXNO S TEM OBSTOQTELXSTWOM, ^TO W KATEGORII MNOVESTW \PIMORFIZM QWLQETSQ RETRAKCIEJ (AKSIOMA WYBORA!)

oBOBZIM TEPERX PRIMER S POLNYM PROOOBRAZOM TO^KI. zADA^A. pUSTX B µ C, D µ A. pOKAVITE, ^TO

,!

D ¡¡¡¡¡! A

B ¡¡¡¡¡! C

,!

W TOM I TOLXKO TOM SLU^AE QWLQETSQ DEKARTOWYM KWADRATOM (T.E. D = A £C B), KOGDA D = f¡1(B) I h = fjD.

x 23. aMALXGAMIROWANNAQ SUMMA

w NASTOQ]EM PARAGRAFE MY RASSMOTRIM KONSTRUKCI@ AMALXGAMIROWANNOJ SUMMY, DWOJSTWENNU@ K KONSTRUKCII RASSLOENNOGO PROIZWEDENIQ. aMALXGAMIROWANYE SUMMY QWLQ@TSQ O^ENX [IROKIM SOWMESTNYM OBOB]ENIEM SWOBODNYH OB_EDINENIJ, OB_EDINENIJ, KOURAWNITELEJ I T.D.

1. nAIWNOE OPREDELENIE AMALXGAMIROWANNOJ SUMMY. aMALXGAMIROWANNAQ SUMMA PREDSTAWLQET SOBOJ PONQTIE DWOJSTWENNOE K PONQTI@ RASSLOENNOGO PROIZWEDENIQ. tAKIM OBRAZOM, DOSTATO^NO ZAMENITX WO WSEH OPREDELENIQH I PRIMERAH NAPRAWLENIE WSEH OTOBRAVENIJ NA PROTIWOPOLOVENOE I POMENQTX MESTAMI PRQMYE PROIZWEDENIQ I SWOBODNYE OB_EDINENIQ, OB_EDINENIQ I PERESE^ENIQ, PODMNOVESTWA I FAKTOR-MNOVESTWA I T.D. iTAK, NA^NEM S TOGO, ^TO ZADADIM OTOBRAVENIQ f : C ¡! A I g : C ¡! B. rASSLOENNOE PROIZWEDENIE BYLO PODMNOVESTWOM PRQMOGO PROIZWEDENIQ A£B. |TO ZNA^IT, ^TO AMALXGAMIROWANNAQ SUMMA DOLVNA BYTX FAKTOR-MNOVESTWOM SWOBODNOGO OB_EDINENIQ A `B.

SU]ESTWUET EDINSTWENNOE OTOBRAVENIE ´ : D ¡! X TAKOE, ^TO µ1 = ´ ± ¶1 I µ2 =

´ ± ¶2. tAK WOT, AMALXGAMIROWANNAQ SUMMA A I B POD C \TO W TO^NOSTI

MNOVESTWO A C B WMESTE S OTOBRAVENIQMI ¶1 : A ¡! A£C B, ¶2 : B ¡! A£C B,

zADA^A. CFORMULIRUJTE I DOKAVITE ANALOGI WSEH UTWERVDENIJ, WYSKAZANNYH W PREDYDU]EM PARAGRAFE DLQ RASSLOENNYH PROIZWEDENIJ.

SEMEJSTWAMI, POSLEDOWATELXNOSTQMI, SLOWAMI, TRANSFORMACIQMI, WEKTORAMI, MATRICAMI I T.D.

nAIWNOE OPREDELENIE. oTOBRAVENIE f : X ¡! Y SOPOSTAWLQET KAVDOMU \LEMENTU x MNOVESTWA X EDINSTWENNYJ \LEMENT y MNO- VESTWA Y , OBOZNA^AEMYJ f(x) I NAZYWAEMYJ OBRAZOM \LEMENTA x POD DEJSTWIEM f.

~ASTO, W ZAWISIMOSTI OT KONTEKSTA, OBRAZ \LEMENTA x POD DEJSTWIEM f OBOZNA^AETSQ INA^E, NAPRIMER, f[x], fx, fx, f x , xf , xf, (f; x), (x; f) I DAVE (x)f — ^TO, W OB]EM-TO, ABSOL@TNO OPRAWDANNO, ESLI OSX ABSCISS NAPRAWLENA WERTIKALXNO WWERH, SM. PO \TOMU POWODU ZAME^ANIQ lITTLWUDA W “mATEMATI^ESKOJ SMESI”).

rAWENSTWO y = f(x) ZAPISYWAETSQ TAKVE W WIDE f : x 7!y I ^ITAETSQ, NAPRIMER, KAK:

²x OTOBRAVAET x W y,

²f PEREWODIT x W y,

²f SOPOSTAWLQET \LEMENTU x \LEMENT y,

²f PREOBRAZUET x W y,

²f TRANSFORMIRUET x W y,

²x PEREWODITSQ W y OTOBRAVENIEM f,

²x PEREHODIT W y POD DEJSTWIEM f,

²y QWLQETSQ OBRAZOM x POD DEJSTWIEM f,

²y POLU^AETSQ IZ x PRIMENENIEM OTOBRAVENIQ f,

²y SOOTWETSTWUET x PRI OTOBRAVENII f,

I MILLIONOM DRUGIH SPOSOBOW. oBRATITE WNIMANIE, ^TO PRI \TOM ISPOLXZUETSQ DRUGAQ STRELKA, ‘7!’, NAZYWAEMAQ nmapsto NA TEXNI^ESKOM VARGONE, W OTLI^IE OT OBY^NOJ STRELKI ‘¡!’, NAZYWAEMOJ nlongrightarrow. pOLNOSTX@ OTOBRAVENIE f ZAPISYWAETSQ KAK TROJKA (X; Y; ) I W x ? MY DADIM FORMALXNOE OPREDELENIE OTOBRAVENIJ, OB_QSNQ@]EE, ^TO TAKOE NA SAMOM DELE f S TEORETIKO-MNOVESTWENNOJ

(T.E. ^ISTO \KSTENSIONALXNOJ) TO^KI ZRENIQ.

2. zAME^ANIQ O TERMINOLOGII. kAK UVE BYLO SKAZANO, IMEET-

SQ MNOGO RAZLI^NYH NAZWANIJ OTOBRAVENIJ W SPECIALXNYH SLU^AQH. eDINSTWENNYM TERMINOM, POLNOSTX@ SINONIMI^NYM SLOWU OTOBRAVENIE QWLQETSQ WYRAVENIE MORFIZMY MNOVESTW ILI, ESLI NUVNA SOWSEM ISKL@^ITELXNAQ TO^NOSTX, MORFIZMY W KATEGORII MNOVESTW. w [KOLXNOJ PROGRAMME OTOBRAVENIQ f OBY^NO NAZYWA@TSQ FUNKCIQMI, PRI \TOM OBRAZ y = f(x) POD DEJSTWIEM f OBY^NO NAZYWAETSQ

ZNA^ENIEM f W TO^KE x ILI OTWE^A@]IM ARGUMENTU x, A x TRADI-

CIONNO NAZYWAETSQ TAKVE PEREMENNOJ (variable). eSLI f(x) = y, TO TRADICIONNO GOWORQT E]E, ^TO f OBRA]AETSQ W y W TO^KE x. w STA-

RINNYH ISTO^NIKAH PEREMENNAQ NAZYWAETSQ PEREMENNOJ WELI^INOJ, NO,

POSKOLXKU Q NE ZNA@, ^TO TAKOE WELI^INA (GrÄosse), I ^EM ONA OTLI^A- ETSQ OT KOLI^ESTWA (quantity), I NE SMOG NAJTI NI ODNOGO OPREDELENIQ \TIH PONQTIJ W DOSTUPNOJ MNE LITERATURE, Q WOOB]E NE BUDU POLXZOWATXSQ WOKABULOJ WELI^INA KAK MATEMATI^ESKIM TERMINOM. iNOGDA X RASSMATRIWAETSQ KAK MNOVESTWO INDEKSOW, I W \TOM SLU^AE f NAZYWAETSQ SEMEJSTWOM \LEMENTOW Y , OBRAZ x 2 X POD DEJSTWIEM f OBOZNA^AETSQ fx, A SAMO OTOBRAVENIE f IZOBRAVAETSQ W \TOM SLU^AE POSREDSTWOM (fx)x2X. w x 3 MY PODROBNO OBSUDIM PONQTIQ, SWQZANNYE S SEMEJSTWAMI, POSLEDOWATELXNOSTQMI, etc. oTOBRAVENIQ IZ MNOVESTWA X W SEBQ OBY^NO NAZYWA@TSQ PREOBRAZOWANIQMI \TOGO MNOVESTWA ILI OPERATORAMI NA \TOM MNOVESTWE, ALGEBRAISTY ^A- STO NAZYWA@T IH \NDOMORFIZMAMI \TOGO MNOVESTWA (OSOBENNO, ESLI ONO SNABVENO KAKOJ-LIBO DOPOLNITELXNOJ STRUKTUROJ). wPRO^EM, SOWETSKAQ [KOLA FUNKCIONALXNOGO ANALIZA NAZYWALA OPERATORAMI PROIZWOLXNYE OTOBRAVENIQ IZ ODNOGO WEKTORNOGO PROSTRANSTWA W DRUGOE,

I PRI \TOM GOWORILA DAVE O NE WS@DU OPREDELENNYH I MNOGOZNA^NYH

OPERATORAH.

3.fUNKCIQ, ZNA^ENIE FUNKCII I IMQ FUNKCII. sLEDUET T]A-

TELXNEJ[IM OBRAZOM RAZLI^ATX FUNKCI@ I EE ZNA^ENIE. tRADICIONNYE U^EBNIKI IZOBILU@T NELEPOSTQMI\ TIPA ‘FUNKCIQ x2’, ‘FUNKCIQ sin(x)’ I T.D. w DEJSTWITELXNOSTI, sin UVE QWLQETSQ IMENEM FUNKCII I PO\TOMU PRAWILXNO GOWORITX ‘sin’ LIBO ‘FUNKCIQ x 7!sin(x)’, A sin(x) PREDSTAWLQET ZNA^ENIE \TOJ FUNKCII W TO^KE x. zAMETIM, ^TO W [KOLE PI[UT sin x WMESTO sin(x), ^TO BYLO BY LOGI^NO, ESLI BY ZNA^ENIE FUNKCII f OBOZNA^ALOSX ^EREZ fx. oDNAKO MY TRAKTUEM sin, cos, ln TO^NO TAK VE, KAK WSE DRUGIE IMENA FUNKCIJ I, SOOTWETSTWENNO, PI- [EM cos(x), ln(x) I T.D. pROBLEMA SOSTOIT W TOM, ^TO BOLX[INSTWO FUNKCIJ WOOB]E NE IME@T OB]EPRINQTYH IMEN, NE SODERVA]IH PEREMENNYH. kAK, NAPRIMER, NAZYWAETSQ FUNKCIQ x 7!(x ¡ 1)(x + 1)¡1?

4.oTOBRAVENIQ I FUNKCII. tAK KAK NA[A TERMINOLOGIQ OSNOWANA NA TRADICI-

QH PROFESSIONALXNOJ ALGEBRY, ONA ZAMETNO OTLI^AETSQ KAK OT [KOLXNOJ TERMINOLOGII, TAK I OT SLOWOUPOTREBLENIQ, PRINQTOGO W BOLX[INSTWE U^EBNIKOW “WYS[EJ

\w.p.hAWIN S^ITAET, ^TO x QWLQETSQ IMENEM TOVDESTWENNOJ FUNKCII idR I TOGDA WYRAVENIE ‘FUNKCIQ x2’ STANOWITSQ WPOLNE OSMYSLENNYM! oDNAKO ISPOLXZOWANIE PODOBNOGO \KSTRAWAGANTNOGO SOGLA[ENIQ NUVNO, KONE^NO, SPECIALXNO OGOWARIWATX. kROME TOGO, DAVE PRI \TOM SOGLA[ENII x W WYRAVENII ‘FUNKCIQ sin(x)’ ABSOL@TNO IZLI[NE!