vavilov_n_a_ne_sovsem_naivnaya_teoriya_mnozhestv
.pdfMNOVESTWA, OTOBRAVENIQ, OTNO[ENIQ: not entirely naive |
181 |
MATEMATIKI”. kAK UVE BYLO SKAZANO, W \LEMENTARNYH U^EBNIKAH SLOWA OTOBRAVENIE I FUNKCIQ ISPOLXZU@TSQ KAK SINONIMY. oDNAKO ALGEBRAISTY OBY^NO NAZYWA@T FUNKCIQMI TOLXKO OTOBRAVENIQ, PRINIMA@]IE ZNA^ENIQ W KOMMUTATIWNOM KOLXCE R (A W MATEMATI^ESKOM ANALIZE FUNKCIQMI OBY^NO NAZYWA@TSQ GORAZDO BOLEE SLOVNYE OBRAZOWANIQ, ^A]E WSEGO KLASSY OTOBRAVENIJ OTNOSITELXNO RAZLI^NYH OTNO[ENIJ \KWIWALENTNOSTI). kROME TOGO, WO MNOGIH RAZDELAH ANALIZA, W OSOBENNOSTI W KOMPLEKSNOM ANALIZE, PRINQTO GOWORITX O MNOGOZNA^NYH FUNKCIQH I ^A- STI^NYH FUNKCIQH. tAKOE OBY^NOE W MATEMATI^ESKOM ANALIZE SLOWOUPOTREBLENIE,
KAK WEKTORNOZNA^NAQ FUNKCIQ WEKTORNOGO ARGUMENTA BYLO BY KRAJNE UDIWITELXNO W ALGEBRAI^ESKOJ LITERATURE, GDE W \TOM KONTEKSTE PREDPO^ITA@T GOWORITX O PRE-
OBRAZOWANIQH, OPERATORAH I T.D. pO\TOMU DLQ NAS SLOWA OTOBRAVENIE I FUNKCIQ NE QWLQ@TSQ SINONIMAMI. pERWOE IZ NIH ESTX TERMIN, WYRAVA@]IJ TO^NYJ I USTOJ^IWYJ SMYSL, WTOROE ISPOLXZUETSQ W DESQTKAH ABSOL@TNO RAZLI^NYH SMYSLOW, W ^ASTNOSTI,
²kAK TO^NYJ ALGEBRAI^ESKIJ TERMIN, OZNA^A@]IJ OTOBRAVENIQ SO ZNA^ENIQMI W KOMMUTATIWNOM KOLXCE R;
²kAK UKAZANIE NA TO, ^TO OTOBRAVENIQ RASSMATRIWA@TSQ S POTO^E^NYMI
OPERACIQMI (SUMMA FUNKCIJ, PROIZWEDENIE FUNKCIJ);
²kAK OB]EPRINQTOE SOKRA]ENIE WYRAVENIQ ROSTOK FUNKCII (NAPRIMER, RA-
CIONALXNAQ FUNKCIQ, MEROMORFNAQ FUNKCIQ);
²kAK ^ASTX USTOJ^IWYH SLOWOSO^ETANIJ (HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ);
²w ANALITI^ESKIH PRIMERAH W TEH SMYSLAH, KAK \TO PRINQTO W ANALIZE (T.E. KAK KLASSY \KWIWALENTNOSTI FUNKCIJ ILI FUNKCIONALOW: FUNKCII IZ L2, OBOB]ENNYE FUNKCII);
²w PO\TI^ESKOM SMYSLE KAK WYRAVENIE NEKOJ INTENCII (WPRO^EM, \TU FUNKCI@ PAROLQ FUNKCIQ BYWAET TRUDNO OTLI^ITX OT EGO ISPOLXZOWANIQ W ANALIZE).
x 2. \o FUNKCIQH WOOB]E"
sEJ^AS MY KOROTKO OBSUDIM KLASSI^ESKOE PONQTIE FUNKCII, NA^INAQ S TOGO MOMENTA, KAK FON lEJBNIC WWEL \TOT TERMIN. s XVII WEKA DO KONCA XIX WEKA OT- ^ETLIWO PROSLEVIWA@TSQ TRI OSNOWNYH METAFORY FUNKCII, KOTORYE WYNUVDENY BYLI SOSU]ESTWOWATX, POKA ODNA IZ NIH POLNOSTX@ NE WYTESNQLA DRUGU@:
²PEREMENNAQ WELI^INA alias KRIWAQ (XVII — XVIII WEK);
²ANALITI^ESKOE WYRAVENIE (XVIII — XIX WEK);
²ZAKON alias SOOTWETSTWIE (XIX — XX WEK).
w SLEDU@]EM PARAGRAFE I W gLAWE IX MY OBSUVDAEM E]E DWE WOZNIK[IE W XX WEKE METAFORY FUNKCII, ALGORITMI^ESKU@ I KATEGORNU@:
²^ERNYJ Q]IK alias ORAKUL, PERERABATYWA@]IJ WHOD W WYHOD.
²MORFIZM alias STRELKA (arrow). pRI \TOM WOOB]E NE WAVNO, KAK FUNKCIQ DEJSTWUET NA INDIWIDUALXNYH \LEMENTAH, A LI[X KAK ONA WZAIMODEJSTWUET S DRUGIMI FUNKCIQMI.
mY NE ZNAEM, KAK BUDUT MYSLITX FUNKCI@ MATEMATIKI XXI WEKA I ^TO PRIDET NA SMENU NA[IM METAFORAM.
182 |
NIKOLAJ WAWILOW |
1.fUNKCII DO |JLERA. nX@TON STOQL NA ^ISTO GEOMETRI^ESKOJ (MEHANI^E- SKOJ?) TO^KE ZRENIQ I NAZYWAL PEREMENNYE FL@\NTAMI, A FUNKCII — ORDINATAMI ILI KRIWYMI. sAMO SLOWO FUNKCIQ, KAK I DESQTKI DRUGIH OB]EPRINQTYH SEGODNQ TERMINOW I OBOZNA^ENIJ, BYLO WWEDENO FON lEJBNICEM. wPRO^EM, PO-WIDIMOMU, DAVE ALGEBRAI^ESKI NASTROENNYJ lEJBNIC S^ITAL WSE FUNKCII ANALITI^ESKIMI. wOT ODNO IZ KLASSI^ESKIH OPREDELENIJ TOGO PERIODA, PRINADLEVA]EE iOGANNU bERNULLI. “fUNKCIEJ PEREMENNOJ WELI^INY NAZYWAETSQ WELI^INA, SOSTAWLENNAQ KAKIM UGODNO SPOSOBOM IZ \TOJ PEREMENNOJ WELI^INY I POSTOQNNYH”. |TO UVE PO^TI SOWREMENNOE OPREDELENIE, ESLI PONQTX BUKWALXNO WYDELENNYE SLOWA ‘KAKIM UGODNO SPOSOBOM’. wPRO^EM, SOMNITELXNO, ^TOBY MATEMATIKI XVII — XVIII WEKOW PONIMALI EGO SOWSEM BUKWALXNO. tAK, E]E W 1813 GODU (!!!) W KNIGE “tEORIQ ANALITI^ESKIH FUNKCIJ” lAGRANV PRQMO UTWERVDAL, ^TO L@BAQ FUNKCIQ MOVET BYTX PREDSTAWLENA STEPENNYM RQDOM. wPRO^EM W \TOM SMYSLE ON LI[X PRODOLVAL POLUTORAWEKOWU@ TRADICI@. nAPRIMER, dANIIL bERNULLI U^IL, ^TO L@BAQ KRIWAQ PREDSTAWLQETSQ W WIDE RQDA, PRAWDA NE STEPENNOGO, A TRIGONOMETRI^ESKOGO.
2.fUNKCIQ PO |JLERU. ~TENIE KNIGI |JLERA “wWEDENIE W ANALIZ BESKONE^NO MALYH” I SEGODNQ PROIZWODIT SOWER[ENNO O[ELOMLQ@]EE WPE^ATLENIE119. iMEET MESTO PO KRAJNEJ MERE ODNO IZ SLEDU@]IH DWUH UTWERVDENIJ: \TA KNIGA UDIWITELXNO SOWREMENNA ILI WSE OSTALXNYE U^EBNIKI ANALIZA UDIWITELXNO STAROMODNY. mNE, WO WSQKOM SLU^AE, BYLO TRUDNO IZBAWITXSQ OT WPE^ATLENIQ, ^TO WSE [KOLXNYE U^EBNIKI, KAK I U^EBNIKI WYS[EJ MATEMATIKI, MATEMATI^ESKOGO ANALIZA, KALXKUL@SA I T.D. SPISANY S \TOJ KNIGI, WPLOTX DO OBOZNA^ENIJ I KONKRETNYH PRIMEROW. nA STR.30 \TOJ KNIGI DAETSQ SLEDU@]EE OPREDELENIE FUNKCII: ‘Functio quantitatis variabilis est expressio analytica quomodocunque composita ex illa quantitate variabili et numeris seu quantitatibus constantibus. Omnis ergo expressio analytica, in qua praeter quantitatem variabilem z omnes quantitates illam expressionem componentes sunt constantes, erit functio ipsius z’ (‘fUNKCIQ PEREMEN-
NOJ WELI^INY ESTX ANALITI^ESKOE WYRAVENIE, PROIZWOLXNYM OBRAZOM SOSTAWLENNOE IZ \TOJ PEREMENNOJ WELI^INY I ^ISEL ILI POSTOQNNYH WELI^IN. sLEDOWATELXNO, WSQKOE ANALITI^ESKOE WYRAVENIE, W KOTOROM ZA ISKL@^ENIEM PEREMENNOJ WELI^INY z WSE OSTALXNYE WELI^INY SUTX POSTOQNNYE, QWLQETSQ FUNKCIEJ \TOGO z.’). zAMETIM, ^TO DALEE |JLER SPECIALXNO GOWORIT O functiones multiformes W OTLI^IE O functiones uniformes. tO, ^TO WYRAVENIE MNOGOZNA^NYE FUNKCII U |J- LERA NE BYLO OGOWORKOJ, PODTWERVDAETSQ WSEM SODERVANIEM GLAWY “o FUNKCIQH WOOB]E”. tAK, ON T]ATELXNEJ[IM OBRAZOM OPREDELQET DWUZNA^NYE, TREHZNA^NYE I ^ETYREHZNA^NYE FUNKCII I SOPROWOVDAET SWOI OPREDELENIQ MNOGO^ISLENNYMI PRIMERAMI. w ^ASTNOSTI, “dWUZNA^NAQ FUNKCIQ z ESTX TAKAQ, KOTORAQ PRI L@BOM
OPREDELENNOM ZNA^ENII z IMEET DWA ZNA^ENIQ. tAKOGO RODA FUNKCII PREDSTAWLQ@T KWADRATNYE KORNI, KAK p2z + z2” (l.c. 110). nASKOLXKO \TO RAZUMNEE TOGO, ^TO
GOWORITSQ PO POWODU KWADRATNYH KORNEJ W [KOLXNOJ PROGRAMME SEGODNQ! e]E ODNO NEDWUSMYSLENNOE SWIDETELXSTWO DAET PUNKT 160 TOJ VE GLAWY: ‘Si fuerit y functio quaecunque ipsius z, tum vicissim z erit functio ipsius y’ (‘eSLI y BUDET FUNKCI-
EJ z, TO I, OBRATNO, z BUDET FUNKCIEJ y’). tAKIM OBRAZOM, O^EWIDNO, ^TO |JLER WKLADYWAL W SLOWO FUNKCIQ cKOREE TOT SMYSL, KOTORYJ MY SEGODNQ PRIDAEM SLOWU OTNO[ENIE, A NE SLOWU OTOBRAVENIE! bOLEE TOGO, TAM VE |JLER GOWORIT O functiones
119l.|JLER, wWEDENIE W ANALIZ BESKONE^NO MALYH, T.I. — onti, m.–l., 1936,
S.1–352.
MNOVESTWA, OTOBRAVENIQ, OTNO[ENIQ: not entirely naive |
183 |
implicites: “tAK, Z BUDET NEQWNOJ IRRACIONALXNOJ FUNKCIEJ z, ESLI ONO OPREDELQETSQ URAWNENIEM Z7 = azz2 ¡ bz5, TAK KAK DAVE PRI POMO]I ZNAKOW RADIKALA NELXZQ POLU^ITX QWNOGO ZNA^ENIQ Z, POTOMU ^TO OBY^NAQ ALGEBRA E]E NE DOSTIG-
LA TAKOJ STEPENI SOWER[ENSTWA” (!!!). w TO VE WREMQ, W OTLI^IE OT SOWREMENNOGO ^ISTO \KSTENSIONALXNOGO PODHODA, |JLER WS@DU POD^ERKIWAET SU]ESTWOWANIE ANA- LITI^ESKOGO WYRAVENIQ, FORMULY, SWQZYWA@]EJ ARGUMENT I ZNA^ENIE FUNKCII.
3.fUNKCIQ PO fURXE. sOWER[ENNO ZAME^ATELXNO OPREDELENIE, KOTOROE DAET fURXE W SWOEJ KNIGE “aNALITI^ESKAQ TEORIQ TEPLOTY” (1822 GOD): “oB]AQ FUNKCIQ f(x) PREDSTAWLQET SOBOJ POSLEDOWATELXNOSTX ZNA^ENIJ ILI ORDINAT, KAVDAQ IZ KOTORYH PROIZWOLXNA. sOWSEM NE PREDPOLAGAETSQ, ^TO \TI ORDINATY POD^INQ@T- SQ OPREDELENNOMU ZAKONU; ONI MOGUT SLEDOWATX SOWER[ENNO PROIZWOLXNO I KAVDAQ IZ NIH ZADAETSQ KAK ESLI BY ONA BYLA EDINSTWENNOJ WELI^INOJ.” o^EWIDNO, ^TO ZDESX FUNKCIQ NE PREDPOLAGAETSQ NI ANALITI^ESKOJ, NI DIFFERENCIIRUEMOJ, NI DAVE NEPRERYWNOJ. |TO OPREDELENIE TEM BOLEE ZAME^ATELXNO, ESLI U^ESTX, ^TO S GOSPODSTWU@]EJ TO^KI ZRENIQ NA ISTORI@ MATEMATIKI fURXE IDEJNO CELIKOM PRINADLEVAL XVIII WEKU I ESLI SRAWNITX EGO S PONIMANIEM SOWREMENNIKOW fURXE, KOTORYH MY OBY^NO S^ITAEM GORAZDO BOLEE PRODWINUTYMI, TAKIH, KAK dIRIHLE.
4.fUNKCIQ PO dIRIHLE. o^ENX ^ASTO PRIORITET W OPREDELENII FUNKCII WOOB-
¨
]E OTDAETSQ dIRIHLE, PRI \TOM OBY^NO SSYLA@TSQ NA EGO STATX@ 1837 GODA “Uber die Darstellung ganz willk¨urlicher Funktionen : : : ”. oDNAKO, NASKOLXKO Q MOGU SUDITX,
\TO MNENIE OSNOWANO ISKL@^ITELXNO NA NAZWANII \TOJ STATXI. w TEKSTE VE WESXMA T]ATELXNO OPREDELQ@TSQ NEPRERYWNYE FUNKCII NA INTERWALE ]a; b[: “ESLI TEPERX KAVDOMU x SOOTWETSTWUET ODNO EDINSTWENNOE KONE^NOE y I PRITOM TAK, ^TO KOGDA x : : : ” zNAL LI dIRIHLE, ^TO NE WSE FUNKCII NEPRERYWNY? kAK POKAZYWAET PRIMER FUNKCII dIRIHLE, ZNAL.
5. oTOBRAVENIE PO dEDEKINDU. sOWREMENNOE OPREDELENIE OTOBRAVENIQ BYLO WPERWYE DANO dEDEKINDOM. wOT OTRYWOK IZ EGO KNIGI “~TO TAKOE ^ISLA I ZA^EM ONI NUVNY”: “pOD OTOBRAVENIEM Á KAKOJ-LIBO SISTEMY S MY BUDEM PONIMATX ZAKON, SOGLASNO KOTOROMU KAVDOMU OPREDELENNOMU \LEMENTU s \TOJ SISTEMY SOPOSTAWLQETSQ WPOLNE OPREDELENNAQ WE]X, KOTORAQ NAZYWAETSQ OBRAZOM s I OBOZNA- ^AETSQ SIMWOLOM Á(s); MOVNO TO VE OBSTOQTELXSTO WYRAZITX, DRUGIMI SLOWAMI: Á(s) SOOTWETSTWUET \LEMENTU s, ILI Á(s) POLU^AETSQ IZ s PUTEM OTOBRAVENIQ Á ILI s PEREHODIT W Á(s) PUTEM OTOBRAVENIQ Á”. oPREDELENIE dEDEKINDA I BLIZKIE K NEMU OPREDELENIQ kANTORA SODERVALI NEOPREDELENNOE SLOWO ZAKON (Gesetz). ~TOBY IZBAWITXSQ OT NEGO, pEANO PREDLOVIL PONIMATX OTOBRAVENIQ X ¡! Y ^ISTO \KSTENSIONALXNO, KAK PODMNOVESTWA PRQMOGO PROIZWEDENIQ X £ Y .
qSNO, ^TO OPREDELENIE dEDEKINDA WOZNIKLO W KONTEKSTE EGO ZANQTIJ TEORIEJ ^ISEL, ALGEBROJ I TEORIEJ MNOVESTW, A WOWSE NE KAK OBOB]ENIE ANALITI^ESKOGO PONQTIQ FUNKCII. iMENNO PO\TOMU dEDEKIND I kANTOR O]U]ALI NEOBHODIMOSTX WWEDENIQ NOWOGO TERMINA OTOBRAVENIE (Abbildung) DLQ \TOGO NOWOGO BOLEE OB]EGO PONQTIQ. pO\TOMU MNE SOWER[ENNO NEPONQTNO STREMLENIE [KOLXNYH METODISTOW SNOWA SDELATX — WOPREKI TRADICII, UDOBSTWU I ZDRAWOMU SMYSLU — TERMIN FUNKCIQ SINONIMOM TERMINA OTOBRAVENIE.
x 3. mETAFORA FUNKCII: stimulus and response
pOD PSIHOLOGI^ESKOJ FUNKCIEJ Q PONIMA@ IZWESTNU@ FORMU PSIHI^ESKOJ DEQTELXNOSTI, KOTORAQ PRINCIPIALXNO OSTAETSQ
184 |
NIKOLAJ WAWILOW |
RAWNOJ SEBE PRI RAZLI^NYH OBSTOQTELXSTWAH. kARL gUSTAW `NG, “pSIHOLOGI^ESKIE TIPY”, x 831.
sEKRETNAQ SISTEMA OPREDELQETSQ ABSTRAKTNO KAK NEKOTOROE MNOVESTWO OTOBRAVENIJ ODNOGO PROSTRANSTWA X (MNOVESTWA WOZMOVNYH SOOB]ENIJ) W DRUGOE PROSTRANSTWO Y (MNOVESTWO WOZMOVNYH KRIPTOGRAMM). kAVDOE KONKRETNOE OTOBRAVENIE IZ \TOGO MNOVESTWA SOOTWETSTWUET SPOSOBU [IFROWANIQ PRI POMO]I KONKRETNOGO KL@^A.
kLOD {ENNON120
Function (n.) The way in which an object, or an artifact or part of an artifact, or part of an organism acts to carry out its purpose, e.g. a the function of a clutch in a motor car is to connect and disconnect, as needed, the engine from the gearbox; b the function of a galvanometer is to detect the flow of an electric current; c a function of the liver is to convert glucose to glycogen for the storage of carbohydrate.
Longman Dictionary of Scientific Usage, AJ043.
sEJ^AS MY OPI[EM FUNKCI@ KAK ^ERNYJ Q]IK (black box), PERERABATYWA@]IJ WHOD (input, STIMUL, ARGUMENT) W WYHOD (output, OTKLIK, ZNA^ENIE):
WHOD x ¡! FUNKCIQ ¡! WYHOD f(x) f
iMENNO \TA METAFORA STALA OSNOWNYM INTUITIWNYM OBRAZOM FUNKCII W XX WEKE. pOLEZNO OSOZNATX, ^TO \TA METAFORA OTLI^AETSQ OT METAFORY XIX WEKA TAK VE, KAK KWANTOWAQ MEHANIKA OTLI^AETSQ OT KLASSI^ESKOJ!
oTLI^IE \TOJ TO^KI ZRENIQ OT TO^KI ZRENIQ XIX WEKA SOSTOIT W TOM, ^TO MY NE ZNAEM, ^TO W DEJSTWITELXNOSTI NAHODITSQ WNUTRI ^ERNOGO Q]IKA. w XIX WEKE FUNKCIQ MYSLILASX KAK ZAKON, KOTORYJ MY POLNOSTX@ KONTROLIRUEM ILI, HOTQ BY, MOVEM POLNOSTX@ PONQTX! sU]ESTWENNO, ^TO \TO OPISANIE QWLQETSQ ^ISTO FENOMENOLOGI^ESKIM.
120tEORIQ SWQZI W SEKRETNYH SISTEMAH. – SEKRETNYJ DOKLAD, DATIROWANNYJ 1 SENTQBRQ 1945 GODA, RASSEKRE^ENNYJ I OPUBLIKOWANNYJ W 1949 GODU. rUSSKIJ PEREWOD MOVNO NAJTI W KNIGE k.{ENNON, rABOTY PO TEORII INFORMACII I KIBERNETIKE.
— il, m., 1963, S.1–829. STR.333–402. bOLX[OJ FRAGMENT \TOJ RABOTY WOSPROIZWODITSQ TAKVE W KNIGE ‘wWEDENIE W KRIPTOGRAFI@’, POD RED. w.w.q]ENKO. mcnmo, m., 1998, S.1–271, NA STR.234–271.
MNOVESTWA, OTOBRAVENIQ, OTNO[ENIQ: not entirely naive |
185 |
mOVET BYTX GENERALXNYJ KONSTRUKTOR I ZNAET, ^TO NAHODITSQ WNUTRI ^ERNOGO Q]IKA, KAK ON RABOTAET I PO^EMU REAGIRUET OPREDELENNYM OBRAZOM NA OPREDELENNYE ZAPROSY. oDNAKO S TO^KI ZRENIQ BOLX- [INSTWA @ZEROW, DAVE SAMYH PRODWINUTYH, WSE \TO NE IMEET NIKAKOGO ZNA^ENIQ.
wOZNIKNOWENIE TAKOGO PREDSTAWLENIQ O FUNKCII PODDERVIWAETSQ TEM, ^TO KAK TOLXKO MY NA^ALI WSERXEZ ^TO-TO WY^ISLQTX, MY WDRUG OSOZNALI, ^TO ^ERNYJ Q]IK IMEET WNUTRENN@@ STRUKTURU. dO-
PUSTIM, MY RASSMATRIWAEM FUNKCI@ f : x 7!x1000 ILI, DLQ KRUGLOGO S^ETA, f : x 7!x1024 I HOTIM REALXNO WY^ISLITX KAKOE-TO IZ EE ZNA^E- NIJ, NU HOTQ BY
21024 =1797693134862315907729305190789024733617976978942306
5727343008115773267580550096313270847732240753602112
0113879871393357658789768814416622492847430639474124
3777678934248654852763022196012460941194530829520850
0576883815068234246288147391311054082723716335051068
4586298239947245938479716304835356329624224137216
w \TOM SLU^AE S WY^ISLITELXNOJ TO^KI ZRENIQ SOWER[ENNO NE BEZRAZLI^NO, KAK IMENNO PREDSTAWLQETSQ FUNKCIQ f, I KAK IMENNO WY^ISLQETSQ \TO ZNA^ENIE: x1024 = x ¤ x ¤ : : : ¤ x, GDE SOMNOVITELX x POWTOREN 1024 RAZA, ILI, WSE VE
x1024 = ((((((((((x " 2) " 2) " 2) " 2) " 2) " 2) " 2) " 2) " 2) " 2):
nO WEDX S ^ISTO \KSTENSIONALXNOJ TO^KI ZRENIQ \TO ODNA I TA VE FUNKCIQ! w NA[E WREMQ WSE BOLX[E MATEMATIKOW NA^INA@T U^ITYWATX TO^KU ZRENIQ WY^ISLITELEJ I PROGRAMMISTOW, SOSTOQ]U@ W TOM, ^TO SOWER[ENNO NE BEZRAZLI^NO, ^TO W TO^NOSTI NAHODITSQ W ^ERNOM Q]IKE. nEPOSWQ]ENNYM KAVETSQ, ^TO S ROSTOM WY^ISLITELXNYH WOZMOVNOSTEJ SKOROSTX ALGORITMOW NE IMEET BOLX[E ZNA^ENIQ, ODNAKO W DEJSTWITELXNOSTI DELO OBSTOIT PRQMO PROTIWOPOLOVNYM OBRAZOM.
bOLEE TOGO, WO MNOGIH SLU^AQH \TOT ^ERNYJ Q]IK MOVET DEJSTWOWATX KAK ORAKUL, T.E. WYDAWATX PO NA[EMU ZAPROSU ZNA^ENIE FUNKCII TAKIM OBRAZOM, ^TO MY NE TOLXKO NE ZNAEM, NO NE MOVEM I NE DOLVNY ZNATX, KAK IMENNO WY^ISLQETSQ \TA FUNKCIQ. tIPI^NYM PRIMEROM ORAKULA QWLQETSQ [IFROWALXNAQ MA[INA. w NASTOQ]EE WREMQ ORAKULY [IROKO PRIMENQ@TSQ W SISTEMAH SWQZI, KOMPX@TERNYH I BANKOWSKIH SETQH, I T.D. nET SOMNENIQ, ^TO W GENERATORAH PAROLEJ, KL@^EJ,
186 |
NIKOLAJ WAWILOW |
PIN’OW I TOMU PODOBNOGO ISPOLXZUETSQ KAKOJ-TO ALGORITM — NO TOMU, KTO SOOB]AET NOMER SWOEJ KREDITNOJ KARTO^KI INTERNET MAGAZINU, SOWER[ENNO NE OBQZATELXNO ZNATX, KAKOJ IMENNO.
² aWTOMAT PO PRODAVE GAZIROWANNOJ WODY. w GODY MOEGO DET-
STWA NA ULICAH sANKT-pETERBURGA STOQLI AWTOMATY PO PRODAVE GAZIROWANNOJ WODY121, DOPUSKAW[IE DWA\ WOZMOVNYH INPUTA:
A — OPUSKANIE W SPECIALXNYJ SLOT MONETY NOMINALOM 1 KOPEJKA, B — OPUSKANIE TUDA VE MONETY NOMINALOM 3 KOPEJKI.
tEORETI^ESKI ISPRAWNYJ AWTOMAT f REAGIROWAL NA \TI INPUTY SLEDU- @]IM PREDSKAZUEMYM OBRAZOM: f(A) — STAKAN WODY BEZ SIROPA, f(B)
—STAKAN WODY S SIROPOM.
²uPRAWLENIE BYTOWYMI PRIBORAMI. w PERWOM PRIBLIVENII KASSETNYJ MAGNITOFON^IK MOVNO PREDSTAWLQTX KAK ^ERNYJ Q]IK, KOTORYJ W OTWET NA NAVATIE ODNOJ IZ PQTI KNOPOK Rewind, Play, FastForward, Stop, Eject PROIZWODIT ODNU IZ PQTI NAZWANNYH ZDESX OPERACIJ.
x 4. oBLASTX, KOOBLASTX I GRAFIK OTOBRAVENIQ
gEOMETRI^ESKIE PREOBRAZOWANIQ (WRA]ENIQ, OTRAVENIQ, RASTQVENIQ I T.D.) QWLQ@TSQ FUNKCIQMI, KOTORYE PRAKTI^E- SKI BUKWALXNO OPISYWA@T DWIVENIE, A W PRIKLADNOJ MATEMATIKE SILY FAKTI^ESKI MODELIRU@TSQ FUNKCIQMI. oPISANNYE ZDESX DINAMI^ESKIE SWOJSTWA PREDSTAWLQ@T SOBOJ SU]E- STWENNU@ ^ASTX ZNA^ENIQ SLOWA “FUNKCIQ”, KAK ONO UPOTREBLQETSQ W MATEMATIKE. oPREDELENIE FUNCII ^EREZ UPORQDO- ^ENNYE PARY NE OTRAVAET \TOGO. oNO QWLQETSQ FORMALXNOJ TEORETIKO-MNOVESTWENNOJ MODELX@ INTUITIWNOJ IDEI FUNKCII — MODELX@, KOTORAQ OHWATYWAET LI]X ODIN ASPEKT \TOJ IDEI, A NE WSE EE ZNA^ENIE W CELOM.
rOBERT gOLDBLATT, [Go], STR.32.
zDESX MY DADIM \KSTENSIONALXNOE OPREDELENIE OTOBRAVENIQ PO pEANO I dEDEKINDU: OTOBRAVENIE S^ITAETSQ POLNOSTX@ OPREDELENNYM, TOLXKO ESLI ZADANO ^TO, KUDA I KAK OTOBRAVAETSQ. wSE OBSUVDAEMYE
121w.p.hAWIN, oSNOWY MATEMATI^ESKOGO ANALIZA. — lANX, spB, 1998, S.1–446,
STR.32.
\mY NE OBSUVDAEM BOLEE PRODWINUTYE AWTOMATY S NESKOLXKIMI SLOTAMI, GDE MOVNO BYLO POLU^ITX GAZIROWANNU@ WODU S RAZNYMI WIDAMI SIROPA. mY NE OBSUVDAEM TAKVE NENORMATIWNYE INPUTY TAKIE KAK ZASOWYWANIE W SLOT DRUGIH PREDMETOW, SILXNYJ UDAR KULAKOM ILI NOGOJ I T.D.
MNOVESTWA, OTOBRAVENIQ, OTNO[ENIQ: not entirely naive |
187 |
W \TOM PARAGRAFE PONQTIQ BUDUT PROILL@STRIROWANY W SLEDU@]IH 10 PARAGRAFAH.
1. oBLASTX I KOOBLASTX OTOBRAVENIQ. w TEORETIKO-MNOVESTWEN-
NOJ TRAKTOWKE OTOBRAVENIJ MY OBQZANY \KSPLICIROWATX* WSE \LEMENTY OTOBRAVENIQ, W ^ASTNOSTI, OBLASTX OPREDELENIQ I OBLASTX ZNA^E- NIJ. sTOIT OTMETITX, ^TO PRI \TOM NIKAKOJ SIMMETRII MEVDU OBLASTX@ OPREDELENIQ I OBLASTX@ ZNA^ENIJ NET. ~TO OTOBRAVAETSQ E]E MOVNO WOSSTANOWITX PO GRAFIKU — NO, KONE^NO, NE PO FORMULE, PO- \TOMU BESSMYSLENNO I OPASNO GOWORITX O “FUNKCII f(x)”. s DRUGOJ STORONY, KUDA \TO OTOBRAVAETSQ, WOOB]E NIKOGDA NE WOSSTANAWLIWAETSQ PO GRAFIKU I DOLVNO WO WSEH SLU^AQH QWNO ZADAWATXSQ!
oPREDELENIE. mNOVESTWO X NAZYWAETSQ OBLASTX@ OPREDELENIQ
OTOBRAVENIQ f : X ¡! Y I OBOZNA^AETSQ D(f), A MNOVESTWO Y NAZYWAETSQ OBLASTX@ ZNA^ENIJ OTOBRAVENIQ f I OBOZNA^AETSQ
R(f).
w POSLEDNEE WREMQ POLU^AET WSE BOLX[EE RASPROSTRANENIE ALXTERNATIWNAQ TERMINOLOGIQ, PRI[ED[AQ IZ TEORII KATEGORIJ, KOGDA D(f) NAZYWAETSQ PROSTO OBLASTX@ OTOBRAVENIQ f, A R(f) KOOBLASTX@ — I W \TOM SLU^AE OBOZNA^AETSQ C(f). gOWORQT TAKVE, ^TO f DEJSTWUET IZ X W Y . eSTESTWENNO, OBOZNA^ENIQ D(f), R(f) I C(f) PROISHODQT PROSTO OT PERWYH BUKW ANGLIJSKIH SLOW domain, range I codomain.
2. gRAFIK OTOBRAVENIQ. oDNAKO OSNOWNYM W OPREDELENII OTOBRAVENIQ QWLQETSQ SAM SPOSOB, KOTORYM \LEMENTAM X SOPOSTAWLQ@TSQ \LEMENTY Y . s ^ISTO \KSTENSIONALXNOJ TO^KI ZRENIQ \TOT SPOSOB TOVE DOLVEN ZADAWATXSQ NEKOTORYM MNOVESTWOM (POSKOLXKU W ORTODOKSALXNOJ TEORII WOOB]E NE SU]ESTWUET NI^EGO, KROME MNOVESTW!)
oPREDELENIE. pODMNOVESTWO (f) µ X £Y , SOSTOQ]EE IZ WSEH PAR (x; f(x)), x 2 X, NAZYWAETSQ GRAFIKOM OTOBRAVENIQ f : X ¡! Y .
wSPOMNIW GRAFIK KAKOJ-NIBUDX FUNKCII, IZ TEH, ^TO wY RISOWALI W [KOLE, wY NEMEDLENNO POJMETE, ^TO ON KAK RAZ I QWLQETSQ GRAFIKOM \TOJ FUNKCII S TO^KI ZRENIQ \TOGO OPREDELENIQ, ESLI, KONE^NO, OTOVDESTWITX TO^KU PLOSKOSTI S UPORQDO^ENNOJ PAROJ EE KOORDINAT.
3. oPREDELENIE OTOBRAVENIQ. tEPERX MY W SOSTOQNII DATX FOR-
MALXNOE OPREDELENIE OTOBRAVENIQ KAK TROJKI, SOSTOQ]EJ IZ OBLASTI
*|KSPLICIROWATX — PROGOWARIWATX, WYWODITX IZ PODSOZNANIQ W SOZNANIE, OB_QSNQTX, PROQSNQTX, IZLAGATX, INTERPRETIROWATX, PROGOWARIWANIE O^EWIDNYH DETALEJ
\KSPLICIROWANIE, \KSPLIKACIQ,
188 |
NIKOLAJ WAWILOW |
OPREDELENIQ, OBLASTI ZNA^ENIJ I GRAFIKA. sLEDU@]EE OPREDELENIE BYLO DANO pEANO.
oPREDELENIE. oTOBRAVENIEM IZ MNOVESTWA X W MNOVESTWO Y
NAZYWAETSQ TROJKA f = (X; Y; ), GDE µ X £ Y PODMNOVESTWO PROIZWEDENIQ X £ Y OBLADA@]EE SLEDU@]IM SWOJSTWAMI:
F f WS@DU OPREDELENO: DLQ KAVDOGO x 2 X SU]ESTWUET TAKOE y 2 Y , ^TO (x; y) 2 ;
F f ODNOZNA^NO: ESLI (x; y1); (x; y2) 2 DLQ NEKOTORYH x 2 X I y1; y2 2 Y , TO y1 = y2.
w \TOM OPREDELENII IS^EZLO WSQKOE UPOMINANIE O ZAKONE, PRAWILE, etc.
4. rAWENSTWO OTOBRAVENIJ. nAPOMNIM, ^TO D(f) I R(f) WHODQT W OPREDELENIE OTOBRAVENIQ f. tAKIM OBRAZOM, NA[E OB]EE OPREDELENIE RAWENSTWA UPORQDO^ENNYH TROEK DAET NAM SLEDU@]EE PONQTIE RAWENSTWA OTOBRAVENIJ.
oPREDELENIE. dWA OTOBRAVENIQ f I g RAWNY, ESLI I TOLXKO ESLI
1)IH OBLASTI SOWPADA@T, D(f) = D(g) = X,
2)IH KOOBLASTI SOWPADA@T, R(f) = R(g) = Y ,
3)DLQ L@BOGO x 2 X WYPOLNENO RAWENSTWO f(x) = g(x).
pOQSNIM WWEDENNYE W \TOM PARAGRAFE PONQTIQ NA SLEDU@]EM PRIMERE.
kONTROLXNYJ PRIMER. rASSMOTRIM SLEDU@]IE ^ETYRE OTOBRAVENIQ:
i)R ¡! R, x 7!x2;
ii)R+ ¡! R, x 7!x2;
iii)R ¡! R+, x 7!x2;
iv)R+ ¡! R+, x 7!x2.
|TO ^ETYRE RAZNYH OTOBRAVENIQ S ABSOL@TNO RAZLI^NYMI SWOJSTWAMI:
²oTOBRAVENIE i) NE QWLQETSQ NI IN_EKTIWNYM, NI S@R_EKTIWNYM.
²oTOBRAVENIE ii) IN_EKTIWNO, NO NE S@R_EKTIWNO.
²oTOBRAVENIE iii) S@R_EKTIWNO, NO NE IN_EKTIWNO.
²nAKONEC, OTOBRAVENIE iv) BIEKTIWNO.
MNOVESTWA, OTOBRAVENIQ, OTNO[ENIQ: not entirely naive |
189 |
tAKIM OBRAZOM, IZ \TIH ^ETYREH OTOBRAVENIJ TOLXKO POSLEDNEE DOPUSKAET OBRATNOE OTOBRAVENIE R+ ¡! R+, x 7!px. mY WIDIM, NASKOLXKO BESSMYSLENNO I PRESTUPNO PRINQTOE W \LEMENTARNYH U^EBNIKAH WYRAVENIE “FUNKCIQ f(x) = x2”, NE SODERVA]EE QWNOGO UKAZANIQ OBLASTI I KOOBLASTI OTOBRAVENIQ.
x 5. sEMEJSTWA, POSLEDOWATELXNOSTI, SLOWA
w \TOM PARAGRAFE MY POQSNIM ISPOLXZOWANIE TERMINOW SEMEJSTWO,
POSLEDOWATELXNOSTX I SLOWO.
1. CEMEJSTWA. oBY^NOE RAZLI^IE W PONIMANII SLOW OTOBRAVENIE I SEMEJSTWO ^ISTO SOCIOLOGI^ESKOE. iNDIWIDUALXNO SEMEJSTWO \TO PROSTO OTOBRAVENIE. nO PONQTIE RAWENSTWA DWUH SEMEJSTW OTLI^AETSQ OT PONQTIQ RAWENSTWA OTOBRAVENIJ[. a IMENNO, KOOBLASTX NE WHODIT W OPREDELENIE RAWENSTWA SEMEJSTW.
oPREDELENIE. dWA SEMEJSTWA f I g S^ITA@TSQ RAWNYMI, ESLI
1)IH OBLASTI SOWPADA@T, D(f) = D(g) = X;
2)DLQ L@BOGO x 2 X WYPOLNENO RAWENSTWO f(x) = g(x).
oBLASTX OPREDELENIQ SEMEJSTWA NAZYWAETSQ OBY^NO MNOVESTWOM INDEKSOW, A WMESTO f(x) ISPOLXZU@T INDEKSNU@ ZAPISX fx. mNOGIE AWTORY PRIDERVIWA@TSQ SLEDU@]EGO SOGLA[ENIQ: INDEKSY SEMEJSTW OBOZNA^A@TSQ MALYMI LATINSKIMI BUKWAMI ‘i; j; h’ I TAK DALEE, ESLI MNOVESTWO INDEKSOW X KONE^NO ILI S^ETNO, I MALYMI GRE^ESKIMI BUKWAMI ‘®; ¯; °’ I TAK DALEE, ESLI PRO MO]NOSTX MNOVESTWA INDEKSOW NI^EGO NE PREDPOLAGAETSQ. mY NE BUDEM, KAK PRAWILO, POD^ERKIWATX \TO RAZLI^IE, TAK KAK W ALGEBRE ONO REDKO IGRAET ROLX. sEMEJSTWO f OBY^NO ZAPISYWAETSQ KAK ffx; x 2 Xg ILI ffxgx2X.
2. pOSLEDOWATELXNOSTI. dLQ MNOGIH MATEMATIKOW SLOWO POSLEDOWATELXNOSTX QWLQETSQ PROSTO SINONIMOM SEMEJSTWA, \TO PRINQTO, NAPRIMER, W TOPOLOGII. oDNAKO, MY BUDEM SLEDOWATX TERMINOLOGII, PRINQTOJ W MATEMATI^ESKOM ANALIZE, I NAZYWATX POSLEDOWATELXNOSTQMI LI[X TAKIE SEMEJSTWA, OBLASTX OPREDELENIQ (MNOVESTWO INDEKSOW) KOTORYH KONE^NA ILI S^ETNA, W TO WREMQ KAK OBLASTX OPREDELENIQ SEMEJSTWA MOVET BYTX PROIZWOLXNOJ. pOSLEDOWATELXNOSTX OBY^NO ZADAETSQ PROSTO PERE^ISLENIEM SWOIH ZNA^ENIJ, NAPRIMER, KONE^NAQ
[w KA^ESTWE KURXEZA OTMETIM, ^TO W “mATEMATI^ESKOJ \NCIKLOPEDII” (T.IV, c.153) RAWENSTWO OTOBRAVENIJ OPREDELQETSQ KAK RAWENSTWO SEMEJSTW, PRI \TOM PROIZNOSITSQ SLEDU@]AQ ZAGADO^NAQ FRAZA: “w \TOM SLU^AE SOWPADA@T I OBLASTI ZNA- ^ENIJ \TIH o.”.
190 |
NIKOLAJ WAWILOW |
POSLEDOWATELXNOSTX f DLINY n, ZAPISYWAETSQ KAK f1; f2; : : : ; fn, A BESKONE^NAQ POSLEDOWATELXNOSTX KAK f1; f2; : : : ; fn; : : : . pRI \TOM POSLEDOWATELXNOSTX f, DLQ KOTOROJ D(f) = n, NAZYWAETSQ KONE^NOJ, TO^NEE, POSLEDOWATELXNOSTX@ DLINY n, A POSLEDOWATELXNOSTX f, DLQ KOTOROJ D(f) = N, — BESKONE^NOJ. tAKIM OBRAZOM, GOWORQ O KONE^NOSTI POSLEDOWATELXNOSTI OBY^NO IME@T W WIDU KONE^NOSTX MNOVESTWA IN- DEKSOW, A NE ZNA^ENIJ, POSLEDOWATELXNOSTX 0; 1; 0; 1; 0; 1; : : : BESKONE^NA. pOSLEDOWATELXNOSTI, DLQ KOTORYH D(f) = Z, NAZYWA@TSQ BESKONE^- NYMI W OBE STORONY POSLEDOWATELXNOSTQMI.
3. sLOWA. w ALGEBRE KONE^NYE POSLEDOWATELXNOSTI SO ZNA^ENIQMI W MNOVESTWE Y ^ASTO NAZYWA@TSQ SLOWAMI W ALFAWITE Y . pRI \TOM SLOWO x1; : : : ; xn OBY^NO ZAPISYWAETSQ PROSTO KAK x1 : : : xn. nAPRIMER, w = blablabla QWLQETSQ SLOWOM DLINY 9 W ALFAWITE fa; b; lg (ILI KAKOM-TO BOLX[EM ALFAWITE, NAPRIMER, LATINSKOM – NAPOMNIM, ^TO PONQTIE RAWENSTWA SLOW NE ZAWISIT OT ALFAWITA!) TAKIM, ^TO w1 = b, w2 = l, w3 = a I TAK DALEE. tAKIM OBRAZOM, MNOVESTWO SLOW DLINY n W ALFAWITE Y — \TO, PO-SU]ESTWU, TO VE SAMOE, ^TO n-Q DEKARTOWA STEPENX Y n MNOVESTWA Y , NO PRI \TOM \LEMENT (x1; : : : ; xn) ZAPISYWAETSQ KAK x1 : : : xn. oSOBENNO ^ASTO \TA ZAPISX ISPOLXZUETSQ KOGDA ODNOWREMENNO RASSMATRIWA@TSQ WSE SLOWA KONE^NOJ DLINY W ALFAWITE Y . w L@BOM ALFAWITE Y IMEETSQ EDINSTWENNOE SLOWO DLINY 0 (EDINSTWENNOE OTOBRAVENIE 0 = ? W Y ), NAZYWAEMOE OBY^NO PUSTYM SLOWOM I OBOZNA^AEMOE Λ = (). zAMETIM, ^TO ZDESX Λ PREDSTAWLQET SOBOJ NE GRE^ESKU@ BUKWU Lambda, A PEREWERNUTU@ BUKWU V, PERWU@ BUKWU SLOWA void — NA SAMOM DELE, KONE^NO, vuoto. mNOVESTWO WSEH SLOW KONE^NOJ DLINY W ALFAWITE Y OBOZNA^AETSQ W (Y ), QSNO, ^TO OBOZNA^ENIE ‘W ’ UKAZYWAET NA PERWU@ BUKWU SLOWA Wort — ILI word. tAKIM OBRAZOM,
PO OPREDELENI@
W (Y ) = Y 0 [ Y 1 [ Y 2 [ : : :
iNOGDA RASSMATRIWA@T I BESKONE^NYE SLOWA W ALFAWITE Y , T.E. POSLEDOWATELXNOSTI N ¡! Y , TAKVE ZAPISYWAEMYE W \TOM SLU^AE
x1x2 : : : xn : : :
x 6. pERWYE PRIMERY OTOBRAVENIJ
nA^NEM S TEH PRIMEROW, KOTORYE ESTESTWENNO WOZNIKA@T W SAMOJ TEORII MNOVESTW.
1. uNIWERSALXNYE OB_EKTY KATEGORII MNOVESTW. w KATEGO-
RII MNOVESTW ESTX TRI OB_EKTA, IGRA@]IE SOWER[ENNO OSOBU@ ROLX S TO^KI ZRENIQ OTOBRAVENIJ.