geometry24

(x0, y0, z0) ни одна точка пространства,кроме самой точки (x0, y0, z0),не удовлетворяет уравнению '(x, y, z) = 0.Поэтому поверхность Φ не может быть задана уравнением ' = 0 в окрестности точки Q.

Замечание. Часто под поверхностью,заданной уравнением '(x, y, z) = 0 понимают геометрическое место точек пространства,удовлетворяющих уравнению ' = 0. При таком определении поверхности точку в рассмотренном только что случае называют изолированной особой точкой.

му,близкую к конусу второго порядка,уравнение которого '(x, y, z)R = 0.Если поверхность определяют как геометрическое место точек пространства,удовлетворяющих уравнению '(x, y, z) = 0,то в этом случае точку (x0, y0, z0) называют кони-

ческой точкой.

Пример97.5. Начало координат является конической точкой геометрического места точек,удовлетворяющего уравнению

(x2 + y2 + z2)2 − 2048(x2 − y2 − z2) = 0 (рис. 4).

Если квадратичная форма P aij i j распадается в произведение двух линейных форм,могут представиться различные случаи.Точка может быть особой(например, точка (0, 0, 0) поверхности xy − z3 = 0)или обыкновенной(например,точка (0, 0, 0) поверхности xy−xz2 = 0).В этом случае необходимо исследовать дальнейшие члены разложения функции '.

Везде в дальнейшем будем рассматривать только области поверхности с обыкновенными точками.Предполагается выполненным условие [ru, rv] 6= 0.

191

§98.Касательная плоскость к поверхности

Пусть Φ поверхность, P точка на ней и плоскость,проходящая через точку P .Возьмем на поверхности точку Q и обо- значим расстояния от нее до точки P и плоскости

через d и h соответственно(рис. 5).

Определение. Плоскость называется касатель-

ной плоскостью к поверхности в точке P ,если от-

ношение hd ! 0 при Q ! P .

Теорема98.1. Гладкая поверхность Φ имеет в каждой точке касательную плоскость,притом единственную.

Если r = r(u, v) какая-нибудь гладкая параметризация поверхности,то касательная плоскость в точке P (u, v) параллельна векторам ru(u, v) и rv(u, v).

Доказательство. Пусть поверхность Φ в точке P (u, v) имеет касательную плоскость .Пусть n единичный вектор,перпендикулярный плоскости .Расстояние

Таким образом,

(ru(u, v), n) = 0.

Так как ru(u, v) 6= 0, ([ru(u, v), rv(u, v)] 6= 0),то равенство (ru(u, v), n) = 0 возможно только в том случае,когда вектор ru(u, v) параллелен плоскости .

Аналогично доказывается,что и вектор rv(u, v) параллелен плоскости . А так как векторы ru(u, v) и rv(u, v) отличны от нуля и не параллельны ([ru(u, v), rv(u, v)] 6= 0),то касательная плоскость,если она существует,единственная.

Докажем теперь существование касательной плоскости.Пусть плоскость параллельна векторам ru(u, v) и rv(u, v).Покажем,что она является касательной плоскостью поверхности в точке P (u, v).

192

будут сходиться.Пусть и предельные значения этих выражений.Очевидно,что

Теперь нетрудно написать уравнение касательной плоскости.

Пусть R = (X, Y, Z) радиус-вектор произвольной точки касательной плоскости поверхности в точке P (u, v).Тогда векторы R − r, ru, rv параллельны касательной плоскости и,следовательно,их смешанное произведение равно нулю.Отсюда уравнение касательной плоскости

(R − r, ru, rv) = 0.

Пусть поверхность задана уравнениями

x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v).

Тогда уравнение касательной плоскости имеет вид

Уравнение касательной плоскости поверхности,заданной уравнением z = z(x, y) получается сразу же из приведенного выше уравнения,если заметить,что

x = u, y = v, z = z(u, v).

Отсюда уравнение касательной плоскости

или

Z − z − zx(X − x) − zy(Y − y) = 0.

Найдем теперь уравнение касательной плоскости для случая задания поверх-

метризация поверхности в окрестности этой точки.Если подставить вместо x, y, z в

193

уравнение поверхности x(u, v), y(u, v), z(u, v),то получим тождество относительно u и v.Дифференцируя это тождество,в точке (x, y, z) получим

'xxu + 'yyu + 'zzu = 0, 'xxv + 'yyv + 'zzv = 0.

Рассматривая эти равенства как систему уравнений относительно 'x, 'y, 'z и решая

ее,получим

""" yu'xzu """ = """ zu'yxu """ = """ xu'zyu """. " yv zv " " zv xv " " xv yv "

Для случая параметрического задания поверхности уравнение касательной плоскости будет

Принимая во внимание полученную выше пропорцию,получим уравнение касательной плоскости поверхности '(x, y, z) = 0 в точке P (x, y, z):

(X − x)'x + (Y − y)'y + (Z − z)'z = 0.

Определение. Нормалью поверхности в точке P называется прямая,проходящая через точку P перпендикулярно касательной плоскости в этой точке.

Составим уравнение нормали к поверхности.

Пусть R = (X, Y, Z) радиус-вектор произвольной точки нормали к поверхности,заданной уравнением r = r(u, v) в точке P (u, v).Тогда нормаль к касательной плоскости к поверхности в точке P ортогональна векторам ru и rv .Иначе говоря, направляющий вектор нормали имеет вид [ru, rv].Отсюда сразу получаем уравнение нормали:

R = r + λ[ru, rv], λ 2 R.

В координатном виде это уравнение запишется следующим образом

194

ЛЕКЦИЯ30.ОГИБАЮЩАЯ СЕМЕЙСТВА ПОВЕРХНОСТЕЙ

§99.Огибающая семейства поверхностей,зависящего от одного или двух параметров

Определение. Пусть Φ поверхность и Q произвольная точка пространства. Расстоянием от точки Q до поверхности Φ называется точная нижняя граница расстояний от точки Q до точек поверхности.

Определение. Пусть Φ элементарная поверхность и γ элементарная кривая, имеющие общую точку O.Пусть h расстояние от произвольной точки кривой Q до поверхности, d расстояние между точками Q и O.Говорят,что кривая γ с поверхностью Φ имеет соприкосновение порядка n,если dhn ! 0 при Q ! O.

Соприкосновение общей кривой с общей поверхностью понимается как соприкосновение элементарных окрестностей их общей точки.

Аналогично определяется соприкосновение поверхностей.

Определение. Пусть Φ и элементарные поверхности,имеющие общую точку O.Пусть h расстояние от произвольной точки Q поверхности Φ до поверхности , d расстояние между точками Q и O.Говорят,что поверхность Φ имеет с

поверхностью соприкосновение порядка n,если dhn ! 0 при Q ! O.

Соприкосновение общих поверхностей понимается как соприкосновение элементарных окрестностей их общей точки.

Определение. Пусть S{F } однопараметрическое семейство гладких поверхностей,зависящее от параметра .Гладкая поверхность F называется огибающей семейства S ,если она в каждой своей точке касается по крайней мере одной поверхности семейства и каждым своим куском касается бесчисленного множества поверхностей семейства.

Теорема99.1. Пусть задано однопараметрическое семейство гладких поверхностей S{F }:

'(x, y, z, ) = 0, a b,

где ' непрерывно дифференцируемая по всем аргументам функция,удовлетворяющая условию '2x + '2y + '2z 6= 0.

Тогда,если гладкая поверхность F является огибающей этого семейства,она задается уравнениями

'(x, y, z, ) = 0, ' (x, y, z, ) = 0

в том смысле,что для каждой точки (x, y, z) поверхности F можно указать такое ,что четырьмя величинами x, y, z, будут удовлетворяться оба уравнения

' = 0 и ' = 0.

Доказательство. Аналогично доказательству соответствующей теоремы для кривых.

Пусть P (x, y) произвольная точка огибающей F .Возможны два случая:

1. В точке P поверхности F касается бесконечное множество поверхностей се-

мейства F 1 , F 2 , . . .

2. В точке P поверхности F касается только конечное множество поверхностей семейства F 1 , F 2 , . . . , F n .

195

Рассмотрим первый случай.Не ограничивая общности,можно считать,что последовательность чисел k сходится к некоторому 0 (a 0 b).Так как точка P принадлежит каждой поверхности F k , то '(x, y, k) = 0.Отсюда

'(x, y, z, k) − '(x, y, z, l) = ( k − l)' (x, y, z, ) = 0,

где заключено между k и l .Следовательно, ' (x, y, z, ) = 0.При k, l ! 1k, l ! 0 ,поэтому

и утверждение теоремы в первом случае доказано.

Рассмотрим теперь второй случай.Допустим,что теорема неверна,и следова-

тельно,при некотором k (k 2 {1, 2, . . . , n}) ' (x, y, z, k) 6= 0.

Обозначим !k" замкнутую "-окрестность точки k на отрезке (a, b) и δ малый кусок огибающей F ,содержащий точку P .Если " фиксировать,а δ взять достаточно малым,то для всякой кривой F ,которая касается δ , принадлежит одной из окрестностей !k" .

Действительно,предположим противное.Пусть для сколь угодно малого δ найдется соответсвующая поверхность F ,касающаяся δ ,такая,что не принадлежит ни одной из окрестностей !k" .Выберем последовательность кусков поверхности δm , стягивающихся в точку P .Обозначим через m значение параметра,соответсвующего данному δm .Переходя к пределу при m ! 1 получим,что найдется поверхность F ( не принадлежит ни одной из окрестностей !k" ),касающаяся поверхности F в точке P .Тем самым,есть еще одна такая поверхность,отличная от поверхности

F 1 , F 2 , . . . , F n .

Обозначим mk множество точек куска δ ,в которых его касаются поверхности F при !k" .Очевидно, mk является замкнутым множеством.Действительно, иначе существовала бы последовательность значений параметра m ,сходящаяся к некоторой точке окрестности !k" ,для которой соответсвующая последовательность точек касания стремилась бы к точке,не являющейся точкой множества mk .

Построим кусок поверхности ¯ ,обладающий следующим свойством:либо

F δ δ

множество содержит полностью кусок ¯,либо оно не содержит ни одной его mk δ

точки.Такой кусок ¯ строится просто.Сначала строим кусок 0 ,причем если

δ δ δ

содержится целиком в m1 ,то полагаем δ0 = δ ,если δ не покрывается множеством m1 ,то в качестве δ0 берем кусок на дополнительном к m1 множестве δ −m1 .Дальше аналогично строим δ00 с помощью δ0 и множества m2 и т.д.Конечным числом таких

' (x, y, z, k) 6= 0 в точке P .

Поверхность на ¯ может быть задана уравнениями

F δ x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), где x(u, v), y(u, v) и z(u, v) непрерывно дифференцируемые функции,в точке P и некоторой ее окрестности удовлетворяющие условию

196

ность F семейства при !k" ,следовательно,во всем семействе S найдется не более n таких кривых.А по определению огибающей их должно быть бесконечное множество.Полученное противоречие доказывает теорему.

Определение. Пусть S{Fβ} двупараметрическое семейство гладких поверхностей.Гладкая поверхность F называется огибающей семейства S ,если она в каждой своей точке касается по крайней мере одной поверхности семейства и вдоль каждой кривой на поверхности F ее касается бесчисленноeмножество поверхностей семейства.

Теорема99.2. Огибающая двупараметрического семейства поверхностей

'(x, y, z, ,β ) = 0, a b, c β d,

если '2x + '2y + '2z 6= 0,задается уравнениями

' = 0, ' = 0, 'β = 0.

§100.Огибающая семейства плоскостей,зависящих от одного параметра

Запишем уравнения плоскостей однопараметрического семейства в векторной форме

(r, b( )) + a( ) = 0,

что соответствует скалярной записи

xb1( ) + yb2( ) + zb3( ) + a( ) = 0.

Не ограничивая общности,можно считать вектор b единичным,так как уравнение всегда можно разделить на |b( )| (b( ) 6= 0).Относительно вектор-функции b( ) и скалярной функции a( ) мы будем предполагать двукратную дифференцируемость и,кроме того,будем считать,что b0( ) и b00( ) отличны от нуля.

Справедлива следующая теорема.

Теорема100.1. Огибающая однопараметрического семейства плоскостей в основных случаях представляет собой область либо на цилиндрической поверхности,либо на конической поверхности,либо на поверхности,образованной касательными к пространственной кривой.

Доказательство. Огибающая F семейства плоскостей удовлетворяет уравнениям

197

При фиксированном эти уравнения определяют прямую g .Таким образом,поверхность F описывается прямой g .

Рассмотрим три плоскости:

(r, b) + a = 0, (r, b0) + a0 = 0, (r, b00) + a00 = 0, ( )

из которых первые две определяют огибающую.Относительно этих трех плоскостей можно сделать три основных предположения:

1.Три плоскости ( ) не имеют общих точек ни при каком .

2.Три плоскости ( ) пересекаются в единственной точке S ,одной и той же для всех .

3.Три плоскости ( ) пересекаются в точке S( ),положение которой существенно зависит от в том смысле,что если R( ) радиус-вектор точки S( ),то

R0( ) 6= 0.

Замечание. Мы не рассматриваем случай,когда все три плоскости принадлежат одному собственному пучку,т.е.когда одновременно

b001 = λb1 + µb01, b002 = λb2 + µb02, b003 = λb3 + µb03, a00 = λa + µa0.

Здесь,как видим,вектор b и функция a должны быть связаны линейным дифференциальным уравнением второго порядка.

Рассмотрим первый случай.Пусть n( ) единичный вектор прямой g .Имеем

(b, n) = 0, (b0, n) = 0, (b00, n) = 0.

Дифференцируя первые два равенства,получим

(b0, n) + (b, n0) = 0, (b00, n) + (b0, n0) = 0.

Отсюда (b, n0) = 0, (b0, n0) = 0.Так как,кроме того (n0, n) = 0,то n0 = 0 и, следовательно, n не зависит от .Итак,в этом случае все прямые g параллельны и поверхность F ,будучи образована прямыми g ,является цилиндрической(рис. 1).

Во втором случае прямые g проходят через фиксированную точку пространства,и,следовательно,поверхность F коническая (рис. 2).

Рассмотрим третий случай.Покажем,что прямые g ,образующие поверхность F ,касаются некоторой кривой(рис. 3).

Пусть R( ) радиус-вектор точки пересечения плоскостей ( ).Имеем

(R, b) + a = 0, (R, b0) + a0 = 0, (R, b00) + a00 = 0.

198

Дифференцируя первое равенство и вычитая из него второе,получим (R0, b) = 0. Аналогично из второго и третьего получается (R0, b0) = 0.Отсюда R0k[b, b0].

Так как прямая g проходит через точку S( ) и перпендикулярна векторам b и b0 ,то она параллельна вектору [b, b0]kR0 и является,таким образом,касательной к кривой

r = R( ),

описываемой точкой S( ).Эта кривая называется ребром возврата поверхности.

Верно и обратное утверждение:

В каждом из этих случаев касательные плоскости образуют однопараметрическое семейство.

§101.Первая квадратичная форма поверхности

Пусть Φ регулярная поверхность, r = r(u, v) какая-нибудь ее регулярная параметризация и n единичный вектор нормали к поверхности в точке (u, v). Рассмотрим первую квадратичную форму поверхности I = dr2 .Эта квадратичная форма является положительно определенной,так как она принимает только неотрицательные значения и обращается в нуль только при du = dv = 0.В самом деле,

если dr2 = 0, то dr = rudu + rvdv = 0.А так как [ru, rv] 6= 0,то это возможно только при условии du = dv = 0.

Для коэффициентов первой квадратичной формы поверхности будем употреблять обозначения

r2u = E, (ru, rv) = F, r2v = G.

Таким образом,

dr2 = (rudu + rvdv)2 =

r2udu2 + 2(ru, rv)dudv + r2vdv2 = Edu2 + 2F dudv + Gdv2.

§102.Длина кривой на поверхности

Пусть Φ простая поверхность, γ лежащая на ней кривая, P0 точка кривой γ , r = r(u, v) какая-нибудь параметризация поверхности в окрестности точки P0 , а r = r(t) какая-нибудь параметризация кривой в окрестности этой точки.Пусть u0, v0 и t0 значения параметров,соответствующие точке P0 .

При достаточно малом δ каждая точка P (t) кривой( |t − t0| < δ )принадлежит параметризованной окрестности точки P0 поверхности.Следовательно,каждой точке P (t) однозначно соответствуют значения u(t) и v(t) так,что r(t) = r(u(t), v(t)).

Определение. Равенства u = u(t), v = v(t) называются уравнениями кривой на поверхности.

Пусть Φ регулярная поверхность и γ регулярная кривая на ней.Пусть r = r(u, v) и r = r(t) их регулярные параметризации в окрестности точки P0 , удовлетворяющей обычным условиям [ru, rv] 6= 0, r02(t) 6= 0.

Утверждение. В уравнениях кривой на поверхности u = u(t), v = v(t)

функции u(t) и v(t) регулярные,причем u02(t) + v02(t) 6= 0.

Доказательство. Получается применением теоремы о неявной функции к системе уравнений

x(t) = x(u, v), y(t) = y(u, v), z(t) = z(u, v),

199

причем известно,что функции u(t) и v(t) им удовлетворяют.

Пусть теперь Φ общая поверхность и γ общая кривая.Поверхность Φ

является образом некоторой простой поверхности ¯ при локально топологическом

Φ

отображении f в пространство.

Определение. Говорят,что кривая γ лежит на поверхности Φ,если на поверхности

Тогда если r = r(u, v) параметризация поверхности Φ в окрестности точки

функции u = u(t), v = v(t),удовлетворяющие равенству r(t) = r(u(t), v(t)).Таким образом,кривую на поверхности можно задать в окрестности каждой точки равенствами u = u(t), v = v(t),причем,если поверхность и кривая регулярны,то функции u(t), v(t) регулярные.

Пусть Φ регулярная поверхность и r = r(u, v) ее регулярная параметризация.Пусть γ регулярная кривая на поверхности,заданная уравнениями u = u(t), v = v(t).Найдем выражение длины дуги отрезка кривой с концами в точках

P0(t0) и P (t).

Z t Z t

s(t0, t) = |r0(t)|dt = |r0(u(t), v(t))|dt =

Z t0 t0 Z p

= |dr(u, v)| = I,

γ(P0,P ) γ(P0,P )

где I первая квадратичная форма поверхности.

Для измерения длин кривых на поверхности достаточно знать первую квадратичную форму поверхности.Поэтому говорят,что первая квадратичная форма за-

дает метрику поверхности и называют ее линейным элементом поверхности.

200