geometry24

является уравнениями некоторой кривой γ .Эта кривая есть образ отрезка a < t < b при локально топологическом отображении,которое точке t отрезка сопоставляет точку пространства с координатами x(t), y(t), z(t).

Доказательство. Здесь в доказательстве нуждается только утверждение о локальной взаимно-однозначности данного отображения.Докажем это утверждение.

Если утверждение неверно,то существует такое t0 ,в сколь угодно малой окрестности которого можно указать такие t1 и t2 (t1 6= t2 ),что

x(t1) − x(t2) = 0, y(t1) − y(t2) = 0, z(t1) − z(t2) = 0.

По теореме о среднем отсюда получаем

x0( 1) = 0, y0( 2) = 0, z0( 3) = 0,

где 1, 2, 3 заключены между t1 и t2 .Так как t1 и t2 сколь угодно близки к t0 , то по непрерывности функций x0(t), y0(t), z0(t)

x0(t0) = 0, y0(t0) = 0, z0(t0) = 0,

и следовательно,

x02(t) + y02(t) + z02(t) = 0.

Получили противоречие,которое доказывает утверждение теоремы.

§83.Особые точки регулярных плоских кривых

Определение. Кривая называется плоской,если все ее точки принадлежат некоторой плоскости.

В дальнейшем будем считать,что кривая лежит в плоскости xy.

Определение. Пусть γ регулярная плоская кривая и P точка на ней.Точка P кривой γ называется обыкновенной точкой по отношению к данной степени регулярности k,если кривая допускает k раз дифференцируемую параметризацию в окрестности этой точки

x = x(t), y = y(t),

удовлетворяющую в точке P условию

x02 + y02 6= 0.

Если же такой параметризации не существует,то P называется особой точкой. Пример83.1. Точка t = 0 кривой

x = t3, y = t7 (−1 < t < 1)

обыкновенная по отношению к дважды дифференцируемым параметризациям,так как кривая допускает эквивалентное задание

x = , y = 7/3, (−1 < < 1).

Однако точка t = 0 является особой по отношению к аналитическим параметризациям(это будет доказано позже).

151

Рассмотрим особые точки плоских аналитических кривых по отношению к аналитическим параметризациям.

Лемма83.1. Пусть γ аналитическая кривая и O точка на ней.Тогда при подходящем выборе осей координат кривую можно параметризовать так,что ее уравнения в окрестности точки O будут иметь вид

x= a1tn1 ,

y= b1tm1 + b2tm2 + . . . , n1 m1.

Доказательство. Возьмем точку O за начало координат.Пусть

x= 1sn1 + 2sn2 + . . . ,

y= β1sm1 + β2sm2 + . . .

какая-нибудь аналитическая параметризация кривой.Не ограничивая общности, можно считать,что точке O соответствует значение параметра s = 0.Можно считать также,что n1 m1 (если это не так,то можно поменять x и y местами).Введем новый параметр t,связанный с s равенством

При таком выборе параметра при 1a1 > 0 t является аналитической функцией

s:

t = 1s + 2s2 + 3s3 + . . .

Однако s является аналитической функцией t.Действительно,если положить

s = 0 + 1t + 2t2 + . . . ,

то коэффициенты 0 = 0, 1, 2, . . . последовательно находятся из уравнений,получающихся сравнением коэффициентов при одинаковых степенях t в равенстве

t = 1( 1t + 2t2 + . . .) + 2( 1t + 2t2 + . . .)2 + . . .

При таком выборе параметра t уравнения кривой в окрестности точки O имеют

вид

x= a1tn1 ,

y= b1tm1 + b2tm2 + . . . , n1 m1,

что и требовалось доказать.

Теорема83.1. Пусть в окрестности точки O аналитическая кривая задана уравнениями

x= a1tn1 ,

y= b1tm1 + b2tm2 + . . . , n1 m1, n1 m1.

Тогда,для того чтобы точка O была особой точкой кривой необходимо и достаточно,чтобы хотя бы одно mk не делилось на n1 .

Доказательство. Необходимость. Заметим,что все mk и n1 не могут быть четными,так как тогда при сколь угодно малых t x(t) = x(−t), y(t) = y(−t),то есть нарушено условие одно-однозначности отображения в сколь угодно малой окрестности точки t = 0.

152

.

.

Пусть все mk.n1 (n1 очевидно нечетно).Введем вместо t параметр s = tn1 .Тогда уравнения кривой в окрестности точки O примут вид

x= a1s,

y= b1sk1 + b2sk2 + . . .

Очевидно,точка O,соответствующая значению параметра s = 0,является обыкновенной точкой кривой.

Достаточность. Пусть O обыкновенная точка кривой.Тогда в окрестности этой точки кривая допускает параметризацию(в случае необходимости делаем сдвиг так,чтобы точка O соответствовала значению параметра & = 0)

x = f1(&) = p1&k1 + p2&k2 + . . . , y = f2(&) = q1&l1 + q2&l2 + . . . ,

получаем параметризацию

x= a1 ,

y= r1 l1 + r2 l2 + . . .

Тогда y является аналитической функцией x в окрестности O:

y = 1xl1 + 2xl2 + . . .

Подставляя в это равенство выражения для x и y из условия теоремы,получаем тождество

b1tm1 + b2tm2 + · · · = 1al11 tn1l1 + 2al12 tl2n1 + . . . ,

откуда следует,что все mk кратны n1 .Получили противоречие.

Замечание. Если точка O особая,причем n1 и m1 четные,то она называется точкой возврата второго рода.Кривая в окрестности этой точки имеет вид как на рис. 3.

Если точка O особая,причем n1 четное,а m1 нечетное,то O называется точкой возврата первого рода.Кривая в окрестности этой точки имеет вид,как на рис. 4.

Приведем простой достаточный признак того,чтобы точка кривой была особой.

153

Теорема83.2. Пусть аналитическая кривая γ в окрестности точки O задана уравнениями

x = x(t), y = y(t),

где x(t) и y(t) аналитические функции параметра t.Пусть первые отличные от нуля производные функций x(t) и y(t) имеют порядки n1 и m1 соответственно,

причем n1 < m1 .

Тогда точка O будет особой,если m1 не делится на n1 ,причем O будет точкой возврата второго рода,если m1 и n1 оба четные,и точкой возврата первого рода,если n1 четно,а m1 нечетно.

Эта теорема непосредственно следует из предыдущей.

154

ЛЕКЦИЯ24.КАСАТЕЛЬНАЯ

§84.Касательная к кривой

Пусть γ кривая, P точка на ней и g прямая,проходящая через точку P . Возьмем на кривой точку Q и обозначим расстояния от нее до точки P и прямой g через d и h соответственно.

Определение. Прямая g называется касательной к кривой γ в точке P ,если hd ! 0, когда Q ! P .

между этими прямыми стремится к нулю при Q !

P .

Если кривая γ в точке P имеет касательную,то прямая P Q при Q ! P сходится к этой касательной.Обратно,если прямая P Q при Q ! P сходится к некоторой прямой g,то эта прямая является каса-

Теорема84.1. Гладкая кривая γ имеет в каждой точке касательную и притом единственную.Если r = r(t) векторное уравнение кривой,то касательная в точке P ,соответствующей значению параметра t,имеет направление вектора r0(t).

Доказательство. Пусть кривая γ в точке P ,соответствующей значению параметра t,имеет касательную g.Пусть единичный вектор,имеющий направление прямой g.Расстояние d от точки Q,соответствующей значению параметра t + t, до точки P равно |r(t + t) − r(t)|.Расстояние h от точки Q до касательной равно |[r(t + t) − r(t), ]|.По определению касательной

А это возможно только тогда,когда вектор имеет направление вектора r0(t).Таким образом,если касательная существует,то она имеет направление вектора r0(t) и, следовательно,единственна.

То,что прямая g,проходящая через точку P и имеющая направление вектора r0(t),является касательной также справедливо,так как для этой прямой

155

Теперь нетрудно составить уравнение касательной.Действительно,если кривая задана векторным уравнением r = r(t),то радиус-вектор R произвольной точки на касательной можно представить так:

R(λ) = r(t) + λr0(t).

Здесь параметр λ 2 (−1, +1) определяет положение точки на касательной,параметр t определяет положение точки P на кривой γ .Это и есть уравнение касательной в параметрической форме.

Пусть кривая задана уравнениями в параметрической форме

x = x(t), y = y(t), z = z(t).

Такое задание кривой эквивалентно векторному заданию

r = r(t) = x(t)e1 + y(t)e2 + z(t)e3,

где e1, e2, e3 единичные векторы,направленные по осям координат.Тогда имеем уравнения касательной,соответствующие параметрическому способу задания

X(λ) = x(t) + λx0(t), Y (λ) = y(t) + λy0(t), Z(λ) = z(t) + λz0(t),

или,в эквивалентной форме(канонические уравнения касательной)

Уравнение касательной в случае задания кривой уравнениями y = y(x), z = z(x)

просто получается из уравнения касательной для случая параметрического задания кривой,поскольку оно эквивалентно параметрическому заданию

или в эквивалентной форме

Y= y(x) + y0(x)(X − x),

Z= z(x) + z0(x)(X − x).

Вчастности,для плоской кривой y = y(x) уравнение касательной имеет вид

Y= y(x) + y0(x)(X − x).

Определение. Нормальной плоскостью кривой в точке P называется плоскость, проходящая через точку P перпендикулярно касательной в этой точке.

156

Векторное уравнение нормальной плоскости в точке P с радиус-вектором r(t) имеет вид

(R − r(t), r0(t)) = 0,

где R радиус-вектор произвольной точки нормальной плоскости.

§85.Касательная к кривой,заданной неявными уравнениями

Для дальнейшего нам понадобится теорема о неявной функции,доказательство которой будет приведено в курсе математического анализа.

Определение. Пусть точка X точка некоторого подмножества M точек на прямой,плоскости или в пространстве.Точка X называется точкой сгущения множества M ,если в любой окрестности этой точки есть точки множества M ,отличные от нее.

Пусть функцияf(x1, . . . , xn) определена в некотором множестве M точек n- мерного пространства,и M0(x01, . . . , x0n) есть точка сгущения этого множества,принадлежащая самому множеству.

что

|f(x1, . . . , xn) − f(x01, . . . , x0n)| < "

лишь только

|x1 − x01| < δ , . . . ,|xn − x0n| < δ .

Иначе:если имеет место равенство

! 0lim ! 0 f(x1, . . . , xn) = f(x01, . . . , x0n).

x1 x1,...,xn xn

Теорема85.1. (о неявной функции)Пусть имеется система функций

8

< z1 = f1(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym),

. . .

: zm = f1(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym),

определенных в некоторой области пространства Rn+m .Предположим,что выполнены следующие условия:

(1)Существует точка (a1, . . . , an, b1, . . . , bm) такая,что

8

< f1(a1, . . . , an, b1, . . . , bm) = 0,

. . .

: fm(a1, . . . , an, b1, . . . , bm) = 0.

(2)Существует окрестность W этой точки,в которой определены и непрерывны частные производные

157

отличен от нуля.

Тогда существует окрестность Uδ точки (a1, . . . , an) 2 Rn и в ней система

y1(a1, . . . , an) = b1, . . . , ym(a1, . . . , an) = bm,

8

< f1(x1, . . . , xn, y1(x1, . . . , xn), . . . , ym(x1, . . . , xn)) 0,

. . . ,

: fm(x1, . . . , xn, y1(x1, . . . , xn), . . . , ym(x1, . . . , xn)) 0.

Система функций с указанными свойствами может быть лишь единственной. Если в дополнение к предыдущему известно,что в окрестности W существу-

Рассмотрим теперь неявное задание плоской кривой.Будем говорить,что плоская кривая задана уравнением

'(x, y) = 0,

выражая этим только то,что координаты точек кривой удовлетворяют данному уравнению.При этом могут существовать точки плоскости,удовлетворяющие данному уравнению и не принадлежащие кривой,а множество всех точек плоскости, удовлетворяющих уравнению '(x, y) = 0,может и не быть кривой в смысле нашего определения.

Теорема85.2. Пусть '(x, y) регулярная функция переменных x, y.Пусть M множество точек плоскости xy,удовлетворяющих уравнению '(x, y) = 0; (x0, y0)точка этого множества,удовлетворяющая условию '2x(x0, y0) + '2y(x0, y0) 6= 0. Тогда у точки (x0, y0) есть окрестность такая,что все принадлежащие ей точки множества M образуют регулярную элементарную кривую.

Доказательство. Пусть для определенности в точке (x0, y0) 'y 6= 0.По теореме о неявной функции существуют числа δ,"> 0 и регулярная функция (x),определен-

ная в интервале x0 −δ < x < x0 +δ ,такая,что все точки (x, (x)), x0 −δ < x < x0 +δ , удовлетворяют уравнению '(x, y) = 0,причем этими точками исчерпываются все

точки прямоугольника x0 − δ < x < x0 + δ; y0 − " < y0 < y0 + ",удовлетворяющие уравнению '(x, y) = 0.Элементарная кривая,о которой идет речь в теореме, задается уравнением

y = (x), (x0 − δ < x < x0 + δ).

Соответствующая теорема для пространственных кривых состоит в следующем.

158

(x0, y0, z0) точка этого множества,в которой ранг матрицы

'x 'y 'z

x y z

равен двум.Тогда у точки M есть окрестность,такая,что все принадлежащие ей точки множества M образуют регулярную элементарную кривую.

Доказательство. Поскольку

то у этой матрицы есть ненулевой минор второго порядка.Не умаляя общности,

'(x, y, z) = 0,причем этими точками исчерпываются все точки параллелепипеда

x0 − δ < x < x0 + δ; y0 − " < y0 < y0 + ", z0 − " < z0 < z0 + ",удовлетворяющие уравнению '(x, y, z) = 0.Элементарная кривая,о которой идет речь в теореме,

задается уравнениями

x = χ(z), y = (z) (z0 − δ < z < z0 + δ).

Следствие85.1. Особыми точками кривой,заданной неявно,могут быть только точки,в которых выполняются условия в случае плоской кривой

'x = 'y = 0,

вслучае пространственной кривой

Составим теперь уравнение касательной к кривой,заданной уравнениями

'(x, y, z) = 0, (x, y, z) = 0

вточке (x0, y0, z0),где ранг матрицы

'x 'y 'z

x y z

равен двум.Пусть

x = x(t), y = y(t), z = z(t)

какая-нибудь регулярная параметризация кривой в окрестности точки (x0, y0, z0). Уравнение касательной к кривой в точке (x0, y0, z0)

x − x0 = y − y0 = z − z0 . x00 y00 z00

159

Таким образом,для получения уравнения касательной достаточно знать x00 : y00 : z00 . Вычислим эти отношения.Имеем тождества

'(x(t), y(t), z(t)) 0, (x(t), y(t), z(t)) 0.

Дифференцируя эти тождества по t,будем иметь:

Для вывода этого уравнения достаточно заметить,что задание кривой в плоскости xy уравнением '(x, y) = 0 эквивалентно заданию ее в пространстве уравнениями

'(x, y) = 0, z = 0.

Замечание. Заметим также,что вектор ('x, 'y) ортогонален направляющему вектору касательной ('y, −'x).Следовательно,он является направляющим вектором нормали кривой '(x, y) = 0.

160