geometry24

ЛЕКЦИЯ25.СОПРИКОСНОВЕНИЕ

§86.Соприкасающаяся плоскость кривой.Нормаль

Пусть γ кривая и P точка на ней, плоскость,проходящая через точку P .Обозначим через h расстояние от произвольной точки Q кривой до плоскости и через d расстояние от этой точки до точки P (рис. 1).

Определение. Плоскость называется соприкасающейся плоскостью кривой γ в

Таким образом,в каждой точке кривой существует соприкасающаяся плоскость. Очевидно,она будет единственной,если векторы r0(t) и r00(t) не параллельны.Если же эти векторы параллельны или вектор r00(t) = 0,то любая плоскость,проведенная через касательную к кривой,будет соприкасающейся плоскостью.

161

Если рассматривать параметр t как время,то r00 есть вектор ускорения при движении точки по кривой γ в соответствии с законом r = r(t).При любом способе движения по кривой вектор ускорения в данной точке расположен в соприкасающейся плоскости кривой в этой точке.В связи с этим соприкасающуюся плоскость иногда называют плоскостью ускорения.

Составим уравнение соприкасающейся плоскости.Пусть r = r(t) векторное уравнение кривой и t значение параметра,соответствующее точке P кривой. Пусть в этой точке r0(t) и r00(t) не параллельные векторы.Тогда [r0(t), r00(t)] будет вектором нормали соприкасающейся плоскости.Обозначим через R радиус-вектор произвольной точки соприкасающейся плоскости в точке P ,тогда векторы R − r(t) и [r0(t), r00(t)] перпендикулярны.Отсюда уравнение соприкасающейся плоскости

(R − r(t), [r0(t), r00(t)]) = 0

или

(R − r(t), r0(t), r00(t)) = 0.

Из этого уравнения для случая параметрического задания кривой получаем уравнение соприкасающейся плоскости в виде

В параметрическом виде уравнение соприкасающейся плоскости выглядит следующим образом:

R = r(t) + ur0(t) + vr00(t), u, v 2 R

поскольку соприкасающаяся плоскость проходит через точку r(t) параллельно векторам r0(t) и r00(t).

Определение. Каждая прямая,проходящая через точку касания перпендикулярно касательной,называется нормалью кривой.

Среди нормалей в случае,когда соприкасающаяся плоскость является единственной,выделяются две: главная нормаль нормаль,лежащая в соприкасающейся плоскости и бинормаль нормаль,перпендикулярная соприкасающейся плоскости.

Найдем уравнения главной нормали и бинормали кривой.

Направляющей вектор бинормали кривой в точке t ортогонален векторам r0(t) и r00(t),тем самым он параллелен вектору [r0, r00].Откуда получаем параметрическое уравнение бинормали

R = r(t) + u[r0, r00].

Направляющий вектор главной нормали ортогонален касательной и лежит в соприкасающейся плоскости,т.е.ортогонален вектору r0(t) и вектору нормали к соприкасающейся плоскости [r0, r00].Отсюда параметрическое уравнение главной нормали имеет вид:

R = r(t) + u[r0, [r0, r00]].

Определение. Плоскость,определяемая касательной к кривой и бинормалью в той же точке,называется спрямляющей плоскостью.

162

Обозначим через R радиус-вектор точки спрямляющей плоскости.Тогда ее уравнение имеет следующий вид:

(R − r(t), r0(t), [r0, r00]).

Можно записать то же самое уравнение в параметрической форме:

R = r(t) + ur0(t) + v[r0, r00].

§87.Соприкосновение кривых.Огибающая семейства кривых,зависящих от параметра

Пусть γ и γ0 элементарные кривые,имеющие общую точку O.Возьмем на кривой γ0 точку P и обозначим через h расстояние от нее до кривой γ ,а через d расстояние от нее до точки O (рис. 2).

Определение. Кривая γ0 имеет с кривой γ в точке O соприкосновение порядка n, если отношение dhn ! 0 при P ! O.

Определение. Пусть γ и γ0 общие кривые,имеющие общую точку O.Кривая γ0 имеет с кривой γ соприкосновение порядка n,если элементарная окрестность точки O кривой γ0 имеет соприкосновение порядка n с элементарной окрестностью точки O кривой γ .

Соприкосновение первого порядка касание.

Определение. Пусть S{γ } семейство гладких кривых на плоскости,зависящих от параметра .Гладкая кривая γ называется огибающей семейства S ,если она в каждой своей точке касается хотя бы одной кривой семейства и каждым своим отрезком касается бесконечного множества кривых семейства.

Пример огибающей приведен на рис. 3.

Пример87.1. Гладкая кривая,не имеющая прямолинейных участков,является огибающей своих касательных.

Теорема87.1. Пусть кривые γ семейства S в области G задаются уравнениями

'(x, y, ) = 0, a b,

где ' непрерывно-дифференцируемая функция по всем аргументам,удовлетворя-

в том смысле,что для каждой точки (x, y) огибающей можно указать такое , что системой значений x, y, будут удовлетворяться оба уравнения ' = 0, ' = 0.

163

Доказательство. Пусть P (x, y) произвольная точка огибающей γ .Возможны два случая:

1. В точке P огибающей касается бесконечное множество кривых семейства

γ 1 , γ 2 , . . .

2. В точке P огибающей касается только конечное множество кривых семейства

γ 1 , γ 2 , . . . , γ n .

Рассмотрим первый случай.Не ограничивая общности,можно считать,что последовательность чисел k сходится к некоторому 0 (a 0 b).Так как точка P принадлежит каждой кривой γ k , то '(x, y, k) = 0.Отсюда

одной из окрестностей !k" .Выберем последовательность отрезков δm ,стягивающихся в точку P .Обозначим через m значение параметра,соответствующего данному δm . Переходя к пределу при m ! 1 получим,что найдется кривая γ ( не принадлежит ни одной из окрестностей !k" ),касающаяся кривой γ в точке P .Тем самым, это еще одна кривая,отличная от кривых γ 1 , γ 2 , . . . , γ n .

Обозначим mk множество точек отрезка δ ,в которых его касаются кривые γ при 2 !k" .Очевидно, mk является замкнутым множеством.Действительно,иначе существовала бы последовательность значений параметра m ,сходящаяся к некоторой точке окрестности !k" ,для которой соответствующая последовательность точек касания стремилась бы к точке,не являющейся точкой множества mk .

Построим отрезок ¯ ,обладающий следующим свойством:либо каждое мно-

δ δ

Такой отрезок ¯ строится просто.Сначала строим отрезок 0 ,причем если отрезок

δ δ

δ содержится целиком в m1 ,то полагаем δ0 = δ ,если δ не покрывается множеством m1 ,то в качестве δ0 берем отрезок на дополнительном к m1 множестве δ−m1 .Дальше аналогично строим отрезок δ00 с помощью отрезка δ0 и множества m2 и т.д.Конеч-

ным числом таких операций мы приходим к отрезку ¯,обладающему указанными

δ

свойствами.

Пусть множество содержит отрезок ¯.При достаточно малом семейство mk δ "

кривых γ в окрестности точки P при 2 !k" может быть задано уравнением (x, y) = ,где (x, y) непрерывно дифференцируемая функция,удовлетворяющая условию x2+ y2 6= 0.Это следует из нашего предположения о том,что ' (x, y, k) 6= 0

в точке P .

Кривая на отрезке ¯ может быть задана уравнениями , где

γ δ x = x(t), y = y(t) x(t) и y(t) непрерывно дифференцируемые функции,удовлетворяющие условию

164

кривых.А по определению огибающей их должно быть бесконечное множество.Противоречие доказывает теорему.

Замечание. Системе уравнений

'(x, y, ) = 0, ' (x, y, ) = 0

вообще говоря могут удовлетворять кривые и не являющиеся огибающей.Например, уравнению огибающей семейства кривых

(x − )3 + (y − )3 − 3(x − )(y − ) = 0

удовлетворяет прямая x = y,которая,однако,не является огибающей.Эта прямая состоит из узловых точек семейства(рис. 4).

Определение. Кривая,задаваемая уравненияии

'(x, y, ) = 0, ' (x, y, ) = 0,

называется дискриминантной кривой.

Пусть дискриминантная кривая получена выражением x и y через : x = x( ), y = y( ).Следовательно,выполняется тождество

'(x( ), y( ), ) 0.

165

получим точки огибающей.Иначе,в случае 'x = 'y = 0 мы получим особые точки кривой.

Таким образом,дискриминантная кривая состоит из точек огибающей и особых точек кривой.

§88.Длина дуги кривой

Пусть γ элементарная кривая,являющаяся образом открытого отрезка g при топологическом отображении f .

Определение. Ломаная $ называется правильно вписанной в кривую γ ,если прообразы ее вершин на g следуют в таком же порядке,как и на ломаной.

Свойство ломаной быть правильно вписанной не зависит от гомеоморфизма f .

Определение. Семейство F функций f(x) называ-

ется равномерно ограниченным на данном множестве

E значений x,если существует такое число M ,что для каждого x 2 E и любой функции f(x) из F выполняется неравенство |f(x)| < M .

Определение. Функция f(x) называется равномерно непрерывной на множестве E , если для любого " > 0 существует δ > 0 такое,что |f(x1) − f(x2)| < " для любой пары чисел x1, x2 из множества E ,удовлетворяющей условию |x1 − x2| < δ .

Очевидно,что равномерно непрерывная функция на данном множестве непрерывна на нем.Обратное неверно.

Теорема88.1. (Гейне)Функция,непрерывная на замкнутом промежутке,раномерно непрерывна на этом промежутке.

Определение. Кривая называется спрямляемой в окрестности точки P ,если эта точка имеет элементарную окрестность такую,что все правильно вписанные в нее ломаные равномерно ограничены по длине.Кривая,спрямляемая в окрестности каждой своей точки,называется спрямляемой.

Определение. Отрезком кривой называется ее часть,гомеоморфная замкнутому прямолинейному отрезку.

Определение. Длиной отрезка кривой,или длиной дуги кривой будем называть супремум длин правильно вписанных в этот отрезок ломаных.

Теорема88.2. Гладкая кривая γ спрямляема.Если r = r(t) ее гладкая параметризация и γ˜ (a t b) отрезок кривой γ ,то длина этого отрезка

Z b

s(˜γ) = |r0(t)|dt.

a

166

Доказательство. Пусть P точка кривой и r = r(t) гладкая параметризация кривой в окрестности этой точки.Оценим длину правильно вписанной в окрестность< t < β точки P ломаной $.

Пусть t0, t1, t2, . . . , tn значения параметра,соответствующие последовательным вершинам ломаной.Длина звена ломаной,соединяющего вершины (ti−1) и (ti), равна |r(ti) − r(ti−1)|.Длина всей ломаной

Отсюда Z ti

|r(ti) − r(ti−1)| |r0(t)|dt (ti − ti−1)M,

ti−1

где M постоянная,удовлетворяющая условию |r0(t)| M .Следовательно,

Xn

s($) M (ti − ti−1) = M(β − ).

i=1

Таким образом,ломаные $,вписанные в достаточно малую окрестность точки P ,ограничены в совокупности и,следовательно,кривая γ спрямляема.

Найдем длину отрезка γ˜ кривой γ ,заданного уравнением

r = r(t), t β.

Впишем в отрезок γ˜ ломаную $,удовлетворяющую следующим условиям: 1) длина ломаной $ отличается от длины дуги отрезка γ˜ не более,чем на "; 2)для всех i |ti+1 − ti| < δ .Здесь " и δ любые положительные числа.Существование такой ломаной нетрудно доказать.В самом деле,существует ломаная $,удовлетворяющая первому условию по определению длины дуги отрезка кривой.Пополняя ее новыми вершинами,мы не нарушаем первого условия.Вместе с тем этим пополнением можно удовлетворить и второму условию.При этом можно считать,что начальной вершиной ломаной является точка,соответствующая t = ,а конечнойt = β .

Левая часть этого равенства отличается не более чем на " от s(˜γ) по построению $. Что касается правой части,то она сколь угодно близка к

Z b

|r0(t)|dt.

a

167

Действительно,второй член правой части мал вместе с δ по определению интеграла. Третий член допускает представление

где "(t) ! 0 при δ ! 0 в силу равномерной непрерывности функции r0(t).Итак, третий член равенства мал вместе с δ .

Таким образом,длина отрезка γ˜ сколь угодно мало отличается от

Z b

|r0(t)|dt,

a

а,следовательно,равна ему.

168

ЛЕКЦИЯ26.КРИВИЗНА И КРУЧЕНИЕ

§89.Вычисление длины дуги и естественная параметризация кривой

Приведем формулы для длины дуги кривой для различных случаев аналитического задания кривой.

Пусть σ(t) длина дуги отрезка кривой γ с концами,соответствующими значениям параметра t0 и t.Определим функцию s(t) условиями:

Функция s(t) строго монотонна.Поэтому s можно принять в качестве параметра на кривой.

Определение. Такая параметризация кривой называется естественной.

Теорема89.1. Естественная параметризация регулярной( k раз дифференцируемой,аналитической)кривой без особых точек является регулярной( k раз дифференцируемой,аналитической).Если r = r(s) естественная параметризация кривой,то |r0(s)| = 1.

Доказательство. Пусть r = ˜r(t) какая-нибудь регулярная параметризация кривой γ в окрестности произвольной точки,соответствующей значению параметра s1 . Для каждого отрезка,принадлежащего этой окрестности,имеем

t1

p

Так как dsdt = ˜r02(t) > 0, а ˜r(t) k раз дифференцируемая функция от t,то t является k раз дифференцируемой функцией s.Но для s,близких к s1 , r(s) = ˜r(t(s)).Отсюда следует,что r(s) регулярная( k раз дифференцируемая)функция. Имеем

Следовательно, |r0(s)| = 1.

169

§90.Кривизна кривой

Пусть P произвольная точка регулярной кривой γ и Q точка кривой, близкая к P .Обозначим угол между касательными к кривой в точках P и Q, а

s длину дуги отрезка P Q кривой(рис. 1).

Определение. Кривизной кривой γ в точке P называется предел отношения / s при Q ! P .

Тем самым,кривизна это скорость поворота касательной по отношению к длине дуги.

Теорема90.1. Регулярная(дважды непрерывно дифференцируемая)кривая имеет в каждой точке кривизну k.Если r = r(s) естественная параметризация кривой,то

k = |r00(s)|.

Доказательство. Пусть точкам P и Q соответствуют значения параметра s и s + s.Угол равен углу между единичными касательными векторами t(s) = r0(s) и

Пусть в данной точке кривой кривизна отлична от нуля.Рассмотрим вектор n = k1 r00(s).Вектор n единичный и лежит в соприкасающейся плоскости кривой. Кроме того,этот вектор перпендикулярен касательному вектору t,так как t2 = 1 и, следовательно, (t, t0) = (t, nk) = 0.Таким образом,этот вектор направлен по главной нормали кривой.Очевидно,направление вектора n не изменится,если изменить начало отсчета дуг s или направление отсчета.В дальнейшем вектор n будем называть

единичным вектором главной нормали кривой.

Очевидно,вектор [t, n] = b направлен по бинормали кривой.Этот вектор мы будем называть единичным вектором бинормали кривой.

170