все зависимости отношения R, а именно: pA Ñ Bq ^ pB Ñ Cq ñ pA Ñ Cq по аксиоме транзитивности. При этом общий атрибут B является потенциальным ключом в R2, т. е. такая декомпозиция удовлетворяет теореме Риссанена, а значит, проекции независимы.
3.R1 A;CpRq с первичным ключом A и R2 B;CpRq с потенциальным ключом B. В этом случае общий атрибут C не является потенциальным ключом ни в одном отношении-проекции, а значит, проекции зависимы. К тому же из зависимостей A Ñ C (из R1) и B Ñ C (из R2) не вывести зависимость A Ñ B. При этом такая декомпозиция имеет потери — исходное отношение не восстановить.
7.3. Многозначные зависимости
Для определения четвертой нормальной формы необходимо ввести понятие многозначных зависимостей, являющихся обобщением функциональных зависимостей.
Пусть R — переменная отношения с заголовком HR, а A Ď HR; B Ď HR — некоторые подмножества её атрибутов.
Определение 11. Подмножество B многозначно зависит от (или мультиопределяет) A (обозна-
чается A B) тогда и только тогда, когда для каждого допустимого значения R при заданных значениях атрибутов B существует множество C, состоящее из нуля или более ассоциированных (связанных) значений атрибутов из B и это множество значений атрибутов B не связано каким-либо образом со значением атрибутов в HRzpA Y Bq.
Определение 11’. Подмножество B многозначно зависит от (или мультиопределяет) A тогда и только тогда, когда при каждом допустимом значении R существует C Ď HR такое, что множество значений атрибутов B, соответствующее заданной паре pA; Cq значений атрибутов A и C, зависит только от значений атрибутов A и не зависит от значений атрибутов C.
Определение 11”. Строгое определение1:
pA Bq ô @ r HR; Br P R p@t; s P BrqptrAs srBsq ñ
$
urAs vrAs trAs srAs;
&
ñDu; v P Br : urBs trBs ^ urHRzpA Y Bqs srHRzpA Y Bqs;
%vrBs srBs ^ vrHRzpA Y Bqs trHRzpA Y Bqs:
Замечание. Одновременное условий системы означает, что можно поменять местами B-значения в кортежах t и s для того, чтобы получить два новых кортежа, которые также должны принадлежать телу отношения r.
Лемма (Фейгин или Фейджин; Fagin). Для переменной отношения R с заголовком HR AYB YC многозначная зависимость A B выполняется тогда и только тогда, когда выполняется еще и многозначная зависимость A C.
Замечание. В силу этого утверждения многозначные зависимости образуют связанные пары, поэтому обычно их обозначают так: A B C.
Если в многозначной зависимости множество зависимых значений, соответствующее значению атрибутов детерминантов, всегда состоит ровно из одного элемента, то получим функциональную зависимость, т. е. если A Ñ B, то A B.
Для многозначных зависимостей тоже существует своя «аксиоматика», которая является расширением аксиом Армстронга.
1 Под обозначением T rAs будем подразумевать множество значений атрибутов A кортежа T , а под равенством таких множеств подразумевается равенство по значениям соответствующих атрибутов.
41