Сложение и вычитание приближенных чисел
Рассмотрим задачу: сложить приближенные числа 2.389, 17.2, 8.65 и 94.12. Первое слагаемое содержит 9 тысячных долей. С чем их складывать? Ведь остальные слагаемые тоже содержат какие-то тысячные доли, но нам они неизвестны. Неизвестно, так же, сколько сотых у второго слагаемого. Десятые доли даны у всех слагаемых, их сумму легко найти. Поэтому все разряды правее десятых мы складывать не можем (не с чем), их мы отбрасываем, а десятые округляем обычным способом.
После
сложения получим 122.4.
Итак, при сложении приближенных чисел сохраняем справа только те разряды, которые имеются у всех без исключения слагаемых, остальные десятичные знаки отбрасываем с округлением.
Аналогично поступаем и при вычитании. Например,
.
Отметим одну неприятную особенность вычитания приближенных чисел. Если вычитаются близкие числа, имеющие много верных цифр, то в результате может получаться число очень грубо приближенное. Например,
84.36-84.25=0.11, то есть вычитая числа с 4-мя значащими цифрами, получаем результат с 2-мя значащими цифрами. Именно по этой причине вычисления стараются строить так, чтобы избежать вычитания близких чисел.
Если избежать вычитания двух близких величин невозможно, то их надо брать с достаточно высокой точностью.
Отметим, что при сложении и вычитании приближенных чисел абсолютные погрешности слагаемых складываются.
Пример
Получить результат с 3-мя верными цифрами:
Получить результат с 2-мя верными цифрами:
Сложить приближенные числа с наибольшей возможной точностью и оценить абсолютную и относительную погрешность результата:
абс. погрешность 0.1
отн. погрешность 0.002%
Умножение, деление и вычисление функций от приближенных чисел
Если приближенное число надо умножить (разделить) на точное (удвоить, утроить и т.д.), то относительная погрешность произведения (частного) равна относительной погрешности приближенного множителя, поэтому в произведении оставляем столько цифр, сколько их в приближенном множителе. Например,
.
Абсолютная погрешность произведения увеличивается пропорционально точному сомножителю; абсолютная погрешность частного уменьшится пропорционально точному делителю.
Если оба сомножителя заданы приближенно, то число верных цифр произведения равно числу верных цифр наименее точного множителя. Если, например, в одном множителе 4 верные цифры, а в другом – только 2, то в произведении можно будет ручаться только за 2 цифры.
Например,
найдем произведение чисел
и
.
В действительности А и В могут быть
произвольными числами, лежащими в таких
промежутках
,
.
Посмотрим, какой результат дадут граничные случаи. Для этого перемножим вначале наименьшие возможные значения А и В, а затем наибольшие и получим для произведения АВ:
нижнюю
границу
;
верхнюю
границу
.
Сравнивая эти два произведения, видим, что после округления в них совпадают только первые три цифры, а остальные шесть найдены лишь для того, чтобы их отбросить.
Таким образом, если мы найдем произведение данных приближенных чисел
,
то в этом результате можно гарантировать надежность только первых трех цифр – ровно столько значащих цифр имеет наименее точное число В=0.0764. В отдельных неблагоприятных случаях даже и последняя из гарантированных цифр может быть сомнительной.
Пример. Найдем произведение приближенных чисел
и
.
Решение:
.
Действительно, нижними и верхними границами здесь будут произведения
;
,
поэтому
последняя цифра произведения
сомнительна и может иметь погрешность,
составляющую 5 единиц последнего разряда.
Подчеркнем также, что при умножении и делении приближенных чисел положение запятой у компонентов совершенно не влияет на точность результата.
Пример
(нули
незначащие)
(справа
ноль значащий)
Возведение в степень приближенного числа всегда можно рассматривать как n-кратное умножение этого числа самого на себя, поэтому при возведении в степени относительная погрешность увеличивается пропорционально показателю степени. То есть при возведении в квадрат относительная погрешность удваивается, при возведении в куб – утраивается, и т.д. При извлечении корня всегда получаем не меньшее количество значащих цифр, чем то, которое имеется в подкоренном выражении:
,
причем все цифры результата верны,
поскольку
Чтобы уменьшить накопление ошибок округления при вычислениях, на всех промежуточных этапах следует сохранять не только верные, но и несколько сомнительных знаков. Иными словами, выделять из полученного числа верные знаки следует только в итоге всех вычислений.