Перевод дробных чисел

Алгоритм перевода. Пусть– правильная десятичная дробь. Тогда в разложении отсутствуют коэффициенты с положительными индексами. Данное число представим в виде

. (6)

1. Для нахождения коэффициентов , входящих в запись числа в-ичной системе счисления, умножим правую и левую части выражения (6) на. В результате в правой части получим. Целая часть равна, является старшим коэффициентом в разложении числапо степеням.

2. Оставшуюся дробную часть умножим на :, где цифрапредставляет собой второй коэффициент после запятой в двоичном представлении исходного числа.

3. Продолжаем перемножение дробной части на до тех пор, пока в правой части не получим нуль или не будет достигнута необходимая точность вычислений.

Пример 1.Переведите десятичную дробь 0,5625 в двоичную систему счисления.

0,	5625 2
1	1250 2
0	2500 2
0	5000 2
1	0000

Результат: 0,5625₁₀=0,1001₂.

Пример 2.Переведите десятичную дробь 0,65625 в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

0,	65625 8
5	25000 8
2	00000

Результат: 0,65625₁₀=0,52₈.

0,	65625 16
10 (А)	50000 16
8	00000

Результат: 0,65625₁₀=0,А8₁₆.

Пример 3.Переведите десятичную дробь 0,7 в восьмеричную систему счисления.

0,	7 8
5	6 8
4	8 8
6	4 8
3	2
…….

Данный процесс может продолжаться бесконечно. Такой бесконечный процесс завершается на некотором шаге, когда считается, что получена требуемая точность представления числа.

Пример 4. Переведите десятичную дробь 0,101₁₀ в двоичную систему счисления. В двоичной записи числа сохраните четыре знака.

0,	101 2
0	202 2
0	404 2
0	808 2
1	616
…….

Результат: 0,101₂=0,0001₂.

Перевод смешанных чисел

Перевод смешанных чисел, содержащих целую и дробную части, осуществляется в два этапа. Целая и дробная части исходного числа переводятся согласно приведенным выше алгоритмам. В итоговой записи в новой системе счисления целая часть отделяется от дробной запятой или точкой.

Пример. Переведите число 12,25₁₀ в двоичную систему счисления.

Переведем целую часть:

- 12	2
12	- 6	2
0	6	- 3	2
	0	2	1
		1

Переведем дробную часть:

0,	25 2
0	50 2
1	00

Результат: 12,25₁₀=1100,01₂.

1.4. Арифметические операции в позиционных

системах счисления

Рассмотрим арифметические операции на примере двоичной системы счисления. Рассмотрим таблицы сложения, вычитания и умножения.

Сложение в двоичной системе счисления

+	0	1
0	0	1
1	1	10

Примеры. Выполните операцию сложения над двоичными числами:

10010 + 11001		1111111 + 1010101		111101 + 10011
101011		11010100		1010000

Вычитание в двоичной системе счисления

-	0	1 означает заем из старшего разряда.
0	0	1
1	1	0

Примеры. Выполните операцию вычитания над двоичными числами:

111111 – 10001		1100001 – 1000101		1101101 – 10001
101110		11100		1011100

Умножение в двоичной системе счисления

	0	1
0	0	0
1	0	1

Примеры. Выполните операцию умножения над двоичными числами:

1001 101		1011 1001
1001 0000 1001		1011 0000 0000
101101		1011
		1100011

Деление в двоичной системе счисления

Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму операции деления в десятичной системе счисления.

Примеры. Выполните операцию деления над двоичными числами:

11001	101				10101111	11001
–	101				–	111
101					11001
101					100101
–					–
101					11001
0					11001
					–
					11001
					0