TTM_L

Таким образом, из ∂ϑ/∂τ=a ∂2J/∂x2 получаем систему из двух обыкновенных дифференциальных уравнений: J¢1(t)=-ak2, J²2(x)=-k2J2(x).

Общее решение первого уравнения системы имеет вид J¢1(t)=-Ce-ak2τ, где C –

постоянная интегрирования.

Общее решение второго уравнения системы может быть представлено как

J2(x)=Acos(kx)+Bsin(kx).

Таким образом, общее решение уравнения ∂ϑ/∂τ=a ∂2J/∂x2 на основе метода разделения переменных представляется в виде J(x,t)=[Acos(kx)+Bsin(kx)] e-ak2τ, где

A, B и k – неизвестные постоянные, которые должны быть определены на основе краевых условий задачи.

Из x=0 ∂ϑ/∂x=0 следует, что Bº0. Тогда решение превращается в J(x,t)= Acos(kx)e-ak2τ. Сократив подобные члены в этом уравнении и обозначив μ=kR и Bi=(a/L)/l, после несложных преобразований получим уравнение для определения постоянной интегрирования k или m в виде ctg(m)=m/Bi. Для решения этого уравнения обозначим его левую часть через y1, а правую – y2. Построим графики зависимостей y1 и y2 от m (рис. 21.2). Первое уравнение дает котангенсоиду, второе – прямую с углом наклона к оси m, пропорциональным 1/Bi. Точки пересечения графиков y1 и y2 дадут значения корней уравнения ctg(m)=m/Bi. Из периодичности котангенса выходит, что это уравнение имеет беско-

нечное число корней, которые удовлетворяют соотношению m1<m2<m3<… . Очевидно, что в силу этого неравенства существует бесконечное число частных решений вида J(x,t)= Acos(kx)e-ak2τ, а общее решение уравнения ∂ϑ/∂τ=a ∂2J/∂x2 должно быть

∞

записано как сумма частных решений. Получаем J(x,t)= ∑ An cos(μn x / R)e−μ2nFo , где

n=1

Fo=at/R2, критерий Фурье (критерий временного подобия).

Для определения постоянных An используем начальное условие t=0 J=J0=tс-t0.

∞

Откуда получаем ∑ An cos(μn x / R) =J0. Умножим обе части этого равенства на

n=1

cos(mmx/R)dx и проинтегрируем по x от 0 до (в силу симметрии задачи). Приняв в внимание очевидное соотношение cos(a) cos(b)=0,5[cos(a-b)+cos(a+b)], при mn¹mm

∞

интеграл, стоящий в левой части ∑ An cos(μn x / R) =J0, можно представить в виде

n=1

61

R

I= ∫cos(μn x / R)cos(μm x / R)dx , I=0,5[R sin(μn-μm)/(μn-μm)+R sin(μn+μm)/(μn+μm)], или

0

после несложных преобразований, учитывая ctg(μ)=μ/Bi, получаем что I=R/(μ2n-μ2m) [μnsin(μn)cos(μm)-μmsin(μm)cos(μn)]. Очевидно, что на основании ctg(μ)=μ/Bi все ин-

тегралы, стоящие под знаком суммирования, равняются нулю, за исключением од-

R

ϑ0 ∫cos(μm x / R)dx =ϑ0 R/μn sin(μn). Тогда An=ϑ0 2sin(μn)/[μn+sin(μn)cos(μn)]. Обозна-

0

чив Θ=[t(x,τ)-t0]/(tc-t0), после несложных преобразований получим окончательное

∞

решение поставленной задачи Θ = 1 − ∑ An cos(μn x / R)e−μ2n Fo , в котором An называют

n=1

начальными тепловыми амплитудами, зависящими от Bi и порядкового номера.

An=ϑ0 2sin(μn)/[μn+sin(μn)cos(μn)]. Надо отметить, что разница между двумя корнями уравнения ctg(μ)=μ/Bi при увеличении номера приближается к π. Поэтому An знакопеременны и A1>0.

Проведем некоторый анализ полученного выражения.

1. Допустим, что Bi→∞ (достаточно, чтобы Bi>100). Тогда из ctg(μ)=μ/Bi следует, что его корнями являются корни косинуса, т.е. μn=(2n-1)π/2, а начальные тепловые амплитуды знакопеременны и не зависят от Bi, т.е. An=(-1)n-1 4/[(2n-1)π)]. В

∞

этом случае скорость нагрева пластины ∂Θ/∂τ=a/R2 ∑(−1)n (2n − 1)πcos(μn x / R)e−μ2n Fo

n=1

пропорциональна коэффициенту температуропроводности и обратнопропорциональна квадрату размера пластины.

2. Допустим, что Bi→0 (достаточно, чтобы Bi<0,1). Тогда из ctg(μ)=μ/Bi имеем,

что μ1→0, а последние корни μn→(n-1)π. Из An=ϑ0 2sin(μn)/[μn+sin(μn)cos(μn)] сле-

дует, что A1→1, а последние начальные тепловые амплитуды An→0. Из ctg(μ)=μ/Bi имеем, что при малых Bi с достаточной точностью μ21≈Bi. Тогда Θ=1-e-Bi×Fo, т.е.нагрев пластины подчиняется закономерности нагрева термически тонкого тела с темпом нагрева m=α/(cρR).

62

ЛЕКЦИЯ 22. Нагрев цилиндра. Регулярный режим.

Рассмотрим процесс нагрева неограниченного сплошного цилиндра с внешним радиусом R от начальной температуры t0 в среде с постоянной температурой tс>t0 при постоянном коэффициенте теплоотдачи с боковой поверхности цилиндра, как по периметру, так и по высоте цилиндра.

Введя в рассмотрение, как это было сделано ранее, избыточную температуру J(r,t)=tс-t(r,t), математическую формулировку задачи можно представить в следующем виде.

Отыскивается решение уравнения ∂ϑ/∂τ=a(∂2J/∂r2+(1/r)∂ϑ/∂r) в области 0≤r≤R,

t>0 с начальными условиями t=0, J=J0=tс-t0, и граничными условиями r=0, ∂ϑ/∂r=0; r=R, -λ(∂ϑ/∂r)=aJ.

Используем, как и в предыдущей лекции, метод Фурье (разделения перемен-

J¢1/J1=a(J²2+(1/r)J¢2)/J2=-ak2.

Как и в случае для пластин, из последнего уравнения имеем два обыкновенных дифференциальных уравнения J¢1+ak2J1=0, J²2+(1/r)J¢2+k2J2=0. Общее решение первого из этих уравнений известно из предыдущей лекции J1(t)=Ae-ak2τ. Второе уравнение является уравнением Бесселя нулевого порядка. Его общее решение име-

Общее решение поставленной задачи: J(r,t)=J1(t)J2(r)=[AJ0(kr)+BY0(kr)] e-ak2τ. Постоянные интегрирования A, B и k определяются из краевых условий. Из ус-

ловия r=0, ∂ϑ/∂r=0, учитывая, что J¢0(kr)=-kJ1(kr), Y¢0(kr)=-kY1(kr), и при r®0,

Y1®-¥, а J1®0 имеем, что Bº0. Тогда общее решение превращается в.

Используем условие r=R, -λ(∂ϑ/∂r)=aJ. Получим, учитывая производную от Бесселевой функции первого рода нулевого порядка λAkJ1(kR) e-ak2τ=αAJ0(kR)×e-ak2τ или, сократив полученное уравнение и обозначив kR=m, а Bi=αR/λ (как и раньше),

m/Bi=J1(m)/J0(m).

Полученное уравнение аналогично уравнению для неограниченной пластины, только вместо котангенса стоит отношение функций Бесселя перого рода первого и нулевого порядков. Исходя из представленного выше выражения функции Бесселя первого рода нулевого порядка, можно легко вычислить функцию Бесселя первого порядка, откуда вытекает, что функция Бесселя первого рода нулевого порядка аналогична косинусу (но с переменным периодом и уменьшающейся амплитудой), а та же функция первого порядка аналогична синусу. Т.е. график функции J1(m)/J0(m) подобен графику котангенса. Очевидно, что решение уравнения m/Bi=J1(m)/J0(m) подобно решению аналогичного характеристического уравнения неограниченной пластины и имеет бесконечное множество корней, удовлетворяющих соотношению m1<m2<m3<…, в силу которого существует бесконечное число частных решений

63

уравнения ¶J/¶t=a(¶2J/¶r2)+(1/r)(¶J/¶r) вида J(r,t)=AJ0(kr)×e-ak2t, и общее решение

будет: J(r,t)=, где постоянные интегрирования An подлежат определению. Принимая во внимание ортогональность функций Бесселя с весом r, запишем

начальное условие t=0, J=J0=tс-t0 для последнего общего решения и умножим обе части уравнения на rJ0(mmr/R)dr и про интегрируем от 0 до R. В итоге получим

части этого уравнения, равен нулю (в соответствии с ортогональностью функций Бесселя и m/Bi=J1(m)/J0(m)). Тогда после интегрирования при mm=mn получаем

An=J0×2J1(mn)/{mn[J0(mn)2+J1(mn)2]}=J0×2Bi/[J0(mn)(m2n+Bi2)]. Подставим полученное

An=2J1(mn)/{mn[J0(mn)2+J1(mn)2]}=2Bi/[J0(mn)(m2n+Bi2)].

Проведем некоторый анализ этого уравнения. Допустим, что Bi®¥ (достаточно, чтобы Bi>100). Тогда из уравнения m/Bi=J1(m)/J0(m) вытекает, что его корнями являются J0(m), не зависящие от Bi. Скорость нагрева цилиндра в этом случае, как и при нагревании пластины, пропорциональна коэффициенту теплопроводности и обратно пропорциональна квадрату радиуса цилиндра.

Допустим, что Bi®0 (достаточно, чтобы Bi<0,1). Тогда из m/Bi=J1(m)/J0(m), учитывая разложение в ряд функций Бесселя, получим, что m1»(2Bi)0,5, а последние корни этого уравнения совпадают с корнями J1(m). Начальные тепловые амплитуды

∞

A1=1, A2=A3=…=0. Решение Q = 1 - ∑ An J 0 (mn r / R)e−μ2n Fo , учитывая, что при малом

n=1

m1 J0(m1r/R)=1, превращается в Q=1-e-2×Bi×Fo, что соответствует нагреву «тонкого тела», а темп нагрева цилиндра при тех же условиях в два раза выше, чем пластины.

Для определения количества теплоты, аккумулированной единицей длины цилиндра, используем очевидное соотношение: Q=crpR2(tсредн-t0)=crpR2Qсредн(tс-t0).

Среднюю относительную температуру цилиндра найдем как Q 2 R Θ

средн= 2 ∫ r (r)dr .

R 0

∞

После интегрирования получим: Qсредн=1 - ∑ Bn e−μ2n Fo ,

n=1

где Bn=2J1(mn)/mn An=4Bi2/[mn2(mn2+Bi2)].

НАГРЕВ ЦИЛИНДРА КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ

Рассмотрим нагрев цилиндра радиуса R высотой 2H от начальной температуры t0 в среде с температурой tс при постоянной интенсивности теплообмена на всех поверхностях. Поместим начало координат в центре цилиндра. Ось r направим нормально к боковой поверхности цилиндра, ось совместим с осью цилиндра. Математическая формулировка задачи для избыточной температуры J=tс-t может быть представлено в виде:

отыскивается решение уравнения ¶J/¶t=a(¶2J/¶r2+(1/r)¶J/¶r+¶J2/¶z2) в области 0£r£R, 0£z£H, t>0 с начальным условием J(r,z,0)=J0=tс-t0, и граничными условиями

64

¶J(0,z,t)/¶r=0 (симметрия по r); ¶J(r,0,t)/¶z=0 (симметрия по z); -l[¶J(R,z,t)/¶r] = aJ(R,z,t); -l[¶J(r,H,t)/¶r] = aJ(r,H,t).

Докажем, что решение поставленной задачи может быть найдено как произведение решений для неограниченного цилиндра и для неограниченной пластины. Т.е.

J(r,z,t)=tс-t(r,z,t)=J1(r,t)×J2(z,t), где J1(r,t)=tс-t(r,t), J2(z,t)=tс-t(z,t).

Подставим J(r,z,t)=J1(r,t)×J2(z,t) в ¶J/¶t=a(¶2J/¶r2+(1/r)¶J/¶r+¶J2/¶z2) и учиты-

вая, что J1(r,t) является решением для неограниченного цилиндра, а J2(z,t) – для неограниченной пластины, после дифференцирования получим:

[¶J1/¶t-a(¶2J1/¶r2+(1/r)¶J1/¶r)]J2+[¶J2/¶t-a ¶J22/¶z2]J1=0.

Выражения, которые стоят в квадратных скобках, равны нулю, поскольку они представляют собой дифференциальные уравнения для неограниченного цилиндра и пластины соответственно. Значит, выражение J(r,z,t)=J1(r,t)×J2(z,t) является решением начального уравнения. Рассмотрим, как оно удовлетворяет граничным условиям. Для этого подставим его в ¶J(0,z,t)/¶r=0. Получим (¶J1(0,t)/¶r) J2(z,t)=0. Для удовлетворения этому условию при любых значениях z надо чтобы ¶J1(0,t)/¶r=0. Это выражение являетсяусловием симметрии для неограниченного цилиндра.

Подставим J(r,z,t)=J1(r,t)×J2(z,t) в -l[¶J(R,z,t)/¶r]=aJ(R,z,t). Получаем

-l[¶J1(R,t)/¶r]J2(z,t)=aJ1(R,t)J2(z,t). Сократив на J2(z,t)¹0, получаем ГУ для неограниченного цилиндра.

Поступив так же с другими ГУ, получим, что J2(z,t) удовлетворяет ГУ для неограниченной пластины.

Таким образом, J(r,z,t)=J1(r,t)×J2(z,t) являетсярешением для цилиндра конечной длины. Перейдя к относительнойбезразмерной температуре, получаем в развер-

FoR=at/R2, FoH=at/H2.

Иначе полученное решение можно записать

∞ ∞

Q t = - ∑ ∑ m m −(μ2 +μ2 R2 /H 2 )Fo ×

(r, z, ) 1 An Am J 0 ( n r / R) cos( m z / H )e n m R

n=1 m=1

АНАЛИЗ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ. РЕГУЛЯРНЫЙ РЕЖИМ Сравнивая решения задачи нестационарной теплопроводности пластины и ци-

линдра, можно отметить, что общая структура решения в относительных температурах одинакова и отличается только выражением начальных тепловых амплитуд и базовыми функциями, используемыми в решении (косинус – для пластины, функция Бесселя – для цилиндра). Поэтому в общем виде решение задачи нестационарной

∞

теплопроводности можно представить как Q(x, t) = ∑ An F(mn x / R)e−μ2n Fo , где An –

n=1

начальные температурные амплитуды, F(mnx/R) – базовая функция задачи, определяющая распределение температуры по координате x, R – характерный размер тела, mn – корни соответствующего характеристического уравнения, подчиняющиеся неравенству m1<m2<m3<… . В связи с этим, каждый следующий член равенства

65

щественно меньше предыдущего. Поэтому, начиная с некоторого момента времени (значения Fo=Fo1), в этом равенстве можно ограничиться только первым членом ря-

температуры от времени при Fo>Fo1 представляется прямой линией с углом наклона, независящим от координаты тела. Следовательно, весь процесс нагрева (или охлаждения) тела можно разделить на три стадии. Первая стадия Fo<Fo1 – неурегулированный (нерегулярный) режим, характеризуемый тем, что на этой стадии нагрева температурное поле существенно зависит от начального распределения температуры в теле. Любая неравномерность в начальном распределении температуры отражается на температурном поле тела. Вторая стадия (при Fo>Fo1) характеризуется тем, что зависимость относительной избыточной температуры от времени описываются простой экспонентой. Эту стадию называют регулярным режимом. Распределение температуры в теле описывается базовой функцией и не зависит от начального распределения температуры. Третья стадия – стационарный режим, при котором температура тела равна температуре среды. В стадии регулярного режима, если

d[ln(Θ)]/dτ=-μ12a/R2=-m, где m – темп нагрева (охлаждения) тела. Для тел простых форм темп нагрева (охлаждения) пропорционален первому корню характеристического уравнения (зависит от критерия Bi) и температуропроводности и обратно пропорционален квадрату характерного размера тела. Эта закономерность позволила, в частности, разработать методы регулярного режима для оперативного определения теплофизических характеристик различных материалов.

66

ЛЕКЦИЯ 23. Основы расчета теплообменных аппаратов

КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕПЛООБМЕННЫХ АППАРАТОВ Теплообменные аппараты – это устройства, в которых происходит нагрев одно-

го теплоносителя за счет теплоты, отбираемой у другого теплоносителя. По принципу действия эти аппараты подразделяются на рекуперативные, регенеративные, смесительные и аппараты с тепловыделяющими элементами (ТВЭЛ).

Рекуперативные – это аппараты, в которых горячий и холодный теплоноситель одновременно протекают через аппарат, а их потоки разделены твердой стенкой. Такие аппараты широко распространены в технике и быту, а их примером является батарея отопительной системы.

Регенеративные – это аппараты, в которых одна и та же поверхность теплообмена попеременно омывается то горячим, то холодным теплоносителем. При этом сначала поверхность аппарата аккумулирует теплоту горячего теплоносителя и нагревается, а потом отдает теплоту холодному теплоносителю и охлаждается. Примером подобных устройств являются воздухонагреватели доменных печей.

Смесительные – это аппараты, в которых происходит смешивание горячего и холодного теплоносителей. Примером такого аппарата является деаэратор системы регенеративного подогрева питательной воды турбоустановок, в котором смешиваются холодная питательная вода и водяной пар. Пар конденсируется, отдает теплоту фазового перехода и нагревает воду.

Аппараты с ТВЕЛ – это устройства, в которых теплоноситель охлаждает поверхность элемента, в котором происходит тепловыделение. Простым примером такого аппарата является электрический чайник. В энергетике – это ядерные реакторы.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОВОГО РАСЧЕТА Различают конструктивный (проектный) и поверочный расчеты теплооб-

менных аппаратов. Целью конструктивного расчета является определение необходимой площади поверхности переноса теплоты при заданном тепловом потоке и параметрах теплоносителей на входе в аппарат. При поверочном расчете известна поверхность переноса теплоты и ее компоновка, а целью расчета является определение теплового потока, передаваемого аппаратом, при заданных расходах теплоносителей и их начальных параметрах. Независимо от конструкции теплообменного аппарата и типа расчета в основе теплового расчета лежат одни и те же уравнения. Это уравнение теплового баланса и уравнение теплопередачи.

УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОВОГО БАЛАНСА

Полное изменение энтальпии теплоносителя вследствие теплообмена Q [Дж/с или Вт] определяется при постоянном массовом расходе теплоносителя G [кг/с] определяется как Q=G(i''-i'), где i''и i' – удельные энтальпии [Дж/кг] на входе и выходе.

Обозначив энтальпию горячего теплоносителя i1, а i2 – холодного, запишем уравнение теплового баланса (при отсутствии потерь теплоты в окружающую среду)

Q=G (i' -i'')=G (i''-i' ). Если в процессе теплообмена не происходит изменения агре-

1 1 1 2 2 2

гатного состояния теплоносителей, то это уравнение можно представить в виде

Q=G c (t' -t'')=G c (t''-t' ), где c и c – удельные теплоемкости теплоносителей,

1 p1 1 1 2 p2 2 2 p1 p2

средние в данном диапазоне температур. Произведение расхода теплоносителя на его удельную теплоемкость Gcp=C [Вт/К] называют теплоемкостью массового расхода теплоносителя, расходной теплоемкостью или водяным эквивалентом. Обозна-

67

чив C =G c , C =G c , получаем C (t' -t'')=C (t''-t' ) или в безразмерном виде

1 1 p1 2 2 p2 1 1 1 2 2 2

C /C =(t''-t' )/(t' -t'')=δt /δt . Это выражение показывает, что отношение расходных

1 2 2 2 1 1 2 1

теплоемкостей обратно пропорционально отношению разностей температур теплоносителей. Это справедливо как для конечной разности температуры, так и для бесконечно малой, т.е. C1/C2=dt2/dt1.

УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ Уравнение теплопередачи связывает тепловой поток с площадью поверхности

переноса теплоты. Для элемента поверхности теплообменника оно может быть записано в виде dQ=k(t1-t2)df, где k – коэффициент теплопередачи на элементарной площади поверхности df, t1-t2 – разность температур теплоносителей на этой поверхности (текущий температурный напор). Полный тепловой поток можно получить, если проинтегрировать это выражение по всей поверхности теплообменника

F

Q= ∫ k (t1-t2)df.

0

Определение теплового потока по последнему выражению требует задания закона изменения по поверхности коэффициента теплопередачи и температурного напора. Чаще всего в расчет вводится некоторый средний по поверхности коэффици-

ент теплопередачи, определяемый как kсредн=(k1F1+…+ knFn)/ΣFi, где ki – коэффициент теплопередачи на поверхности Fi, представляющей собой некую часть поверх-

ности F.

F

Заменив в Q= ∫ k (t1-t2)df локальное значение k на его среднее значение и исполь-

68

ЛЕКЦИЯ 24. Средний температурный напор. Поверочный тепловой расчет

теплообменных аппаратов.

до иметь распределение температуры теплоносителей вдоль поверхности теплообмена. Это распределение зависит от схемы течения теплоносителей. Существует три простые схемы течения, представленные на рис. 24.1. Комбинируя эти схемы произвольным образом можно получить достаточно сложные схемы течения.

Рассмотрим определение средней разности температур на примере прямоточного течения теплоносителей. Допустим, что распределение температур теплоносителей по поверхности теплообмена соответствует

ратурный напор изменяется по экспоненциальному закону. При прямотоке, учитывая, что m=(1/C1+1/C2) величина положительная, температурный напор уменьшается вдоль поверхности теплообмена. Имея распределение температурного напора по по-

Для противотока выражения dt1=-dQ/C1 и dt2=dQ/C2, учитывая, что по поверхности аппарата температура, как горячего, так и холодного теплоносителей уменьшается, запишутся в виде dt1=-dQ/C1 и dt2=-dQ/C2. Очевидно, что m=(1/C1-1/C2) может быть как положительной величиной (при C1<C2), так и отрицательной, а также

69

равной нулю (при C1=C2). Распределение температурного напора при этом подчиняется зависимости t= t1e , но при отрицательном m температурный напор увеличивается вдоль поверхности теплообмена, а при m=0 остается постоянным. Средний температурный напор определяется также выражением

где под t1 и t2 подразумевается больший и меньший из температурных напоров на входе или выходе из аппарата. Таким же способом средний температурный напор определяется и для перекрестной схемы течения теплоносителей.

Для сложных схем течения теплоносителей сначала определяется средний температурный напор для наиболее характерной простой схемы течения (прямоток или противоток), а потом с помощью номограмм, приводимым в справочной литературе, находится поправка ψ на конструктивные особенности данной схемы. Окончательно

расчетный средний температурный напор определяется как tсредн.сл.=ψΔtсредн.пр. ОСОБЕННОСТИ ПОВЕРОЧНОГО ТЕПЛОВОГО РАСЧЕТА

Конструктивный расчет теплообменных аппаратов выходит за рамки данного курса. Остановимся только на анализе особенностей поверочного теплового расчета. Как указывалось выше, при поверочном расчете теплообменного аппарата известна компоновка поверхности теплообмена, расходы теплоносителей и их параметры на входе в аппарат. Определению подлежат передаваемый тепловой поток и параметры теплоносителей на выходе из аппарата. Таким образом, есть система двух уравнений (теплового баланса и теплопередачи) с тремя неизвестными. Решение такой задачи может проводиться только методом последовательного приближения.

На основе анализа работы подобных аппаратов принимается температура на выходе одного из теплоносителей, из уравнения теплового баланса определяется температура на выходе другого теплоносителя, рассчитывается теплообмен в аппарате по средним температурам теплоносителей. По уравнению теплопередачи определяется тепловой поток, который может быть передан в данных условиях через заданную поверхность теплопередачи. При несовпадении теплового потока, полученного из уравнения теплового баланса (для принятой температуры на выходе одного из теплоносителей) и определенного из уравнения теплопередачи, надо принять новое значение температуры на выходе теплоносителя и повторить расчет. Может понадобиться несколько приближений расчета для достижения необходимой точности.

Есть возможность существенно уменьшить расход времени на последовательные приближения. Допустим, что температурный напор в аппарате изменяется мало (по крайней мере, t1/ t2≤2), что чаще всего имеет место для аппаратов с противоточной схемой течения теплоносителей. Тогда можно записать

t средн=(t' +t'')/2-(t''+t' )/2. Из уравнения теплового баланса выходит, что t''=t' -Q/C и

2 1 1 2 2 1 1 1

t''=t' +Q/C . Тогда tсредн=t' -t' -Q[1/(2C )+1/(2C )]. Подставим сюда выражение

2 2 2 1 2 1 2

tсредн=Q/(kF) и решим относительно Q. Получим Q=(t'1-t'2)/[1/(kF)+1/(2C1)+1/(2C2)].

Использовать полученное можно так. По параметрам теплоносителей на входе рассчитывается теплообмен в аппарате и коэффициент теплопередачи. Вычисляется Q, а из теплового баланса – температуры теплоносителей на выходе. Определяются средние температуры теплоносителей, уточняется α, находится средний температурный напор и уточняется тепловой поток. В этом случае хватает одного приближения.

70