TTM_L

Приведенные выше соотношения являются интегральными характеристиками излучения газа. Их анализ показывает, что с ростом температуры излучательная способность газа растет медленнее, чем излучательная способность черного тела. Введя понятие интегральной степени черноты газа, как отношения излучательной способности газа к излучательной способности черного тела при той же температу-

ре, получим εCO2=ECO2/E0, εH2O=EH2O/E0.

Для практических расчетов построены номограммы по соотношениям для εCO2, с учетом соотношений для ECO2 и. Учитывая, что по этим соотношениям излучательная способность водяного пара зависит от p и L по разному (более существенное влияние оказывает давление и меньшее – оптическая толщина слоя), для определения интегральной степени черноты водяного пара вводится поправка β на

этот фактор в зависимости от p и произведения pL.

При сжигании природного органического топлива в продуктах сгорания содержится как углекислый газ, так и водяной пар. В связи с этим на практике приходится определять степень черноты смеси этих газов. Полосы поглощения углекислого газа и водяного пара частично перекрываются (CO2: 2,4…3,0 и H2O: 2,2…3,0 мкм), т.е. излучение одного газа поглощается другим газом. Это обстоятельство приводит к тому, что суммарная излучательная способность (а, соответственно, и степень черноты) смеси газов оказывается меньше, чем арифметическая сумма излучательных способностей компонентов. Для смеси углекислого газа и водяного пара степень черноты εсм=εCO2+βεH2O-Δε, где приближенно можно считать Δε=εCO2εH2O – поправка на перекрытие полос поглощения. Для более точных расчетов эта поправка определяется по специальным номограммам в зависимости от концентрации компонентов.

ПОГЛОЩЕНИЕ ЭНЕРГИИ ГАЗОВОЙ СРЕДОЙ Рассмотрим параллельный пучок монохроматического излучения, который па-

дает на некоторый поглощающий слой. Допустим, что спектральная интенсивность падающего излучения Jλвх, то же, что прошло через слой – Jλвых. Согласно гипотезе Бургера, относительное изменение плотности монохроматического излучения при прохождении через поглощающую среду пропорциональна длине пути луча в среде. Тогда, если при изменении координаты x на dx, интенсивность излучения изменяется на dJλ, получаем dJλ/Jλ=-k dx, где k – коэффициент ослабления. Считая его постоянным, проинтегрируем по толщине слоя. Получим ln(Jλвых/Jλвх

Отношение Jλвых/Jλвх называется пропускной монохроматической способностью газа. Считая, что газовый слой не отражает падающее излучение (R=0), получаем поглощательную монохроматическую способность газа. Суммируя Jλвых/Jλвх=e-kL по всему спектру поглощения газа (по длинам волн, которые входят в спектр), получаем A=1-e-kср L, где kср – средний коэффициент ослабления интегрального излучения, A – интегральная поглощательная способность газового слоя.

При анализе излучательной способности газов было отмечено, что на нее влияет и парциальное давление (концентрация) излучающей среды. Поэтому Бером была внесена поправка в закон Бугера, согласно которой относительное изменение плотности монохроматического излучения при прохождении лучистого потока через газовый поглощающий слой пропорциональна длине пути луча и концентрации по-

51

глощающей среды, т.е. интегральная поглощательная способность газового слоя A=1-e-kср p L, где p – концентрация (парциальное давление) поглощающего газа.

Для практического расчета лучистого теплообмена в топках парогенераторов при сжигании различных топлив, а также в рабочем пространстве пламенных печей при отоплении их органически топливом можно использовать экспериментально полученное значение среднего коэффициента поглощения газового слоя kср=[(0,78+1,6pH2O)/(pсум L)0,5](1-0,38T/1000), где pсум – суммарное парциальное дав-

ление CO2 и H2O (в барах).

В связи с тем, что спектр излучения, падающего на газовый поглощающий слой, зависит от температуры излучателя (стенки, если рассматривается теплообмен между газом и оболочкой), можно использовать метод расчета поглощательной способности газа, основанный на номограммах степени черноты газов. Для этого заранее определяется произведение pL для CO2 и H2O. По температуре излучателя (стенки) с помощью номограмм определяются степени черноты εCO2(tст) и EH2O(tст) и

поправка на отклонение излучения (поглощения) H2O от закона Бугера – Беера β.

При пылевом сжигании твердого топлива в топках парогенераторов в продуктах сгорания содержится очень большое количество пепловых частиц с размерами от микронов до миллиметров. Концентрация этих частиц составляет от 10 до 200 г/м3, а степень черноты близка к единице, поскольку поверхность частиц пористая. Очевидно, что эти частицы существенным образом влияют на оптические свойства газовой среды. Экспериментальные исследования оптических свойств запыленных потоков газа показали, что концентрация пыли и оптическая толщина слоя в одинаковой степени влияют на оптические свойства этого потока. Тогда для поглощательной способности пыли в потоке газа можно использовать закон Бугера – Беера в виде A=1-e-k Fп m L=1-e-kп m L, где kп=k Fп – коэффициент ослабления излучения пылевыми частицами, m – концентрация пыли, Fп – удельная поверхность пылевых частиц. Для коэффициента ослабления запыленного потока в топках парогенераторов при сжигании каменного угля предложено соотношение kп=7(Tг2d2)1/3, где Tг – абсолютная температура газа, d – средний размер пылевых частиц. Общая поглощательная способность запыленного газового потока определяется как A=1-e-(kп m+kср p)L.

ЭФФЕКТИВНАЯ ДЛИНА ПУТИ ЛУЧА В ПОГЛОЩАЮЩЕЙ СРЕДЕ Как излучение, так и поглощение энергии газами зависит от оптической длины

пути луча в газовой среде. Параллельный лучистый поток на практике не встречается, поэтому возникает вопрос определения средней (эффективной) длины пути луча. Рассмотрев простой процесс переноса теплоты между двумя параллельными пластинами, разделенными поглощающей средой, получим очевидный факт, что длина луча зависит от его отклонения от нормали к поверхности. Среднюю длину пути луча в простых схемах можно определить интегрированием по угловой координате. Но в сложных случаях это практически невозможно. На практике эффективную длину пути луча определяют по формуле Lэф=3,6 V F, где V – излучающий газовый объем, F – поверхность, поглощающая излучение.

52

ЛЕКЦИЯ 19. Диф. уравнения тепломассообмена и тепломассоотдачи

В технике много процессов теплообмена непосредственно связано с переносом массы компонентов среды, если в процессе принимает участие многокомпонентная смесь (по крайней мере, смесь двух компонентов – бинарная смесь). Это происходит при конденсации пара из парогазовой смеси, испарения жидкости в парогазовый поток и т.д. При этом паровая среда проникает в поток двухкомпонентной смеси, что влияет на процесс течения и, соответственно, на теплообмен.

Диффузией называют спонтанный процесс установления в многокомпонентной среде равновесного распределения концентрации компонентов. В однородной по температуре и давлению смеси процесс диффузии направлен на выравнивание концентрации в системе. При этом происходит перенос вещества из области большей концентрации в область меньшей концентрации. Аналогично теплообмену, массообмен может происходить как на молекулярном (диффузия), так и на молярном уровне.

Диффузия характеризуется потоком массы через изоконцентрационную поверхность в направлении нормали к этой поверхности. Обозначим поток массы через некоторую поверхность через G [кг/с]. Тогда плотность потока массы g=dG/dF [кг/(м2 с)] Плотность потока массы является векторной величиной, и в случае однородной по температуре и давлению смеси диффузионный поток определяется законом Фика gм i=-Di dρi/dn, где ρi – концентрация (плотность) данного компонента; Di

– коэффициент диффузии по концентрации (молярной). Знак минус, как и в законе Фурье, указывает, что направление потока массы и градиента концентрации противоположны по направлению. В случае бинарной смеси плотность потока массы первого и второго компонентов равны по величине и противоположны по направлению, как и градиенты концентрации. Тогда выходит, что и коэффициенты диффузии

D1=D2.

Если компоненты смеси можно считать идеальными газами, то плотность диффузионного потока массы можно записать в виде gм i=-Dpi dpi/dn, где pi – парциальное давление компонента; Dpi – коэффициент диффузии по парциальному давлению.

Учитывая уравнение состояния идеального газа, получаем D=Dp1R1T=Dp2R2T, или Dp1/Dp2=R2/R1=μ1/μ2, где μ1, μ2 – молекулярные массы компонентов.

Если температура смеси газов переменна по объему, то возникает термодиффузия (эффект Сорре). При этом более крупные молекулы пытаются переместиться в область пониженной температуры. Термодиффузия приводит к возникновению градиента концентрации, что, в свою очередь, обусловливает возникновение концентрационной диффузии, которая старается выровнять концентрации веществ. Со временем термодиффузия и концентрационная диффузия уравновешиваются. Следствием концентрационной диффузии является возникновение разности температуры в результате диффузионного смешивания газов, которые сначала имели одинаковую температуру (диффузионный термоэффект или эффект Дюфо). Например, при смешивании водорода и азота возникает разность температуры порядка нескольких градусов. Чем меньше отличаются молекулярные массы смешиваемых газов, тем слабее проявление эффекта Дюфо.

53

Если в объеме газов есть градиент полного давления, то возникает бародиффузия. Коэффициенты термодиффузии и бародиффузии на несколько порядков меньше, чем у концентрационной диффузии. Поэтому далее рассматривается только концентрационная диффузия (будем называть ее просто диффузией).

Кроме диффузионного переноса массы, в подвижной среде имеет место и молекулярный перенос массы, плотность потока которого для i-го компонента будет gк,i=riw. В общем случае плотность потока массы равна сумме молекулярного и молярного переноса, т.е. gi=gм,i+gк,i. В двухкомпонентной среде при постоянном полном давлении количество массы в единице объема должно оставаться постоянным, поэтому плотности потока массы диффундирующих веществ должны быть равными по величине и противоположными по направлению, т.е. g1=-g2. Вместе с потоком массы переносится и тепловой поток q=g1i1+g2i2=g1(i1-i2)=g1(cp1-cp2)t. Диффузионный перенос теплоты отсутствует при i1=i2, т.е. cp1=cp2. Общий тепловой поток в подвижной среде q=-l grad(t)+riwi+g1(i1-i2). Таким образом, плотность теплового потока в подвижной среде зависит и от диффузионного потока массы.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛО- И МАССОБМЕНА Для определения теплового потока, переносимого от подвижной среды к по-

верхности тела, надо иметь поля температуры, скорости и концентрации вещества в пограничном слое. Ранее были получены уравнения для однокомпонентной среды без диффузионного переноса теплоты. Надо получить уравнения для двухкомпонентной среды.

а). Уравнение энергии

Уравнение энергии однокомпонентной среды получено ранее r¶i/¶t=-div(q).

Учитывая, что теперь q=-lgrad(t)+riwi+g1(i1-i2), найдем составляющие правой части:

¶qx/¶x=-l¶2t/¶x2+r1(wx ¶i/¶x+i ¶wx/¶x)+¶[(i1-i2)gx1]/¶x ¶qy/¶y=-l¶2t/¶y2+r1(wy ¶i/¶y+i ¶wy/¶y)+¶[(i1-i2)gy1]/¶y ¶qz/¶z=-l¶2t/¶z2+r1(wz ¶i/¶z+i ¶wz/¶z)+¶[(i1-i2)gz1]/¶z

Подставив полученные частные производные в r¶i/¶t=-div(q) с учетом уравнения неразрывности, получим r1Di/dt=lÑ2t-div[(i1-i2)g1]. Считая, что перенос массы осуществляется только концентрационной диффузией, и используя закон Фика, записанный через относительную концентрацию m1=r1/r, где r1 – плотность данного компонента, r – плотность смеси, получим g1=-rDÑm1. Окончательно уравнение энергии получаем в виде rDi/dt=lÑ2t+[(i1-i2)rDÑm1]. В это уравнение входит относительная концентрация компонента в смеси. Таким образом, при наличии диффузионного переноса массы система дифференциальных уравнений конвективного теплообмена становится незамкнутой. Требуется дифференциальное уравнение, описывающее распределение концентрации компонентов смеси.

б). Уравнение массообмена

Для нахождения уравнения, описывающего распределение концентрации данного компонента в подвижной смеси, выделим в жидкости неподвижный недеформируемый элементарный объем с ребрами dx, dy, dz и рассмотрим для него баланс массы, пренебрегая термобародиффузией. Считаем жидкость несжимаемой.

По оси x в данный объем вносится масса M1x=g1x dy dz dt, а уносится M1(x-dx)=g1(x-dx) dy dz dt. Раскладывая g1(x-dx) в ряд Тейлора вблизи точки x и ограничи-

54

ваясь двумя членами разложения, получаем, что в элементе аккумулирована масса dM1x=M1x-M1(x-dx)=-(¶g1x/¶x) dv dt. Аналогично для остальных осей:

dM1y=M1y-M1(y-dy)=-(¶g1y/¶y) dv dt,

dM1z=M1z-M1(z-dz)=-(¶g1z/¶z) dv dt. Аккумуляция массы в недеформируемом элементе приводит к изменению плотности данного компонента в этом объеме, т.е. dM1=dM1x+dM1y+dM1z=dr1 dv=r dm1 dv. Подставив сюда выражения для dM1x, dM1y и

dM1z, получим r ¶m1/dt=-div(g1).

Учитывая полученные выражения и условие несжимаемости, получим дифференциальное уравнение массообмена Dm1/dt=D(¶2m1/¶x2+¶2m1/¶y2+¶2m1/¶z2)=DÑ2m1.

ТЕПЛО- И МАССООТДАЧА По аналогии с конвективным теплообменом процесс совместного молекулярно-

го и молярного переноса массы в подвижной многокомпонентной среде называют конвективным массобменом. При наличии массообмена усложняется и процесс теплообмена, поскольку осуществляется дополнительный перенос теплоты за счет массообмена. Практический интерес представляет процесс теплообмена и массообмена при испарении, конденсации, сублимации и других подобных процессах. Поверхность жидкой фазы (при испарении или конденсации) или твердой фазы (при сублимации) играет роль полупроницаемой поверхности, у которой происходят процессы теплообмена и диффузии. Например, при конденсации пара из парогазовой смеси пленка конденсата проницаема для молекул пара и непроницаема для молекул газа.

Аналогично теплоотдаче массообмен между паровой фазой и жидкой (твердой) поверхностью называют «массоотдачей». При этом аналогично закону Ньютона для теплоотдачи (q=a(tст-tоб) [Вт/м2]), для практических расчетов массоотдачи используют g=b(rст-rоб) [кг/(м2с)], где b – коэффициент массоотдачи, отнесенный к разности концентраций диффундирующего вещества на поверхности (rст) и в объеме (rоб). Считая компоненты смеси идеальными газами и перейдя от концентрации к парциальному давлению, можно записать g=bp(pст-pоб), где bp=b/RT – коэффициент массоотдачи, отнесенный к разности парциального давления.

Рассмотрим процесс конденсации пара из парогазовой смеси на поверхности пленки конденсата при постоянном полном давлении смеси. Вследствие конденсации пара на поверхности пленки парциальное давление пара pпс<pпо, и имеет место диффузионный перенос массы пара в направлении пленки gп. Поскольку при постоянном полном давлении смеси dpп/dx=-dpг/dx, то газ должен диффундировать в направлении, противоположном направлению диффузии пара, т.е. от пленки в среду. Очевидно, что диффузионное перемещение газа от пленки в среду должно компенсироваться молярным (конвективным) переносом массы из объема в направлении пленки (полупроницаемой поверхности). Этот конвективный поток массы, возникающий у полупроницаемой поверхности, называют стефановым потоком (по имени болгарского физика Стефана, который впервые рассмотрел этот процесс). Обозначим скорость этого потока Wсп.

Суммарный поток пара на поверхности пленки можно представить в виде gп.ст=-Dpп(dpп/dx)ст+rп.ст Wсп.ст, а поток газа на поверхности пленки

gг.ст=-Dpг(dpг/dx)ст+rг.ст Wсп.ст.

55

Поскольку пленка непроницаема для газа, то поток газа на поверхности пленки должен равняться нулю. Тогда скорость стефанового потока на поверхности пленки

с учетом Dp1/Dp2=R2/R1 будет Wсп.ст=-(DpпRп)/(ρг.стRг) (dpп/dx). Подставив это выражение в gп.ст=-Dpп(dpп/dx)ст+ρп.ст Wсп.ст, получаем плотность потока пара на поверх-

ности пленки: gп.ст=-Dpп(dpп/dx)ст P/pг.ст. Это уравнение впервые было получено Стефаном и отличается от закона Фика, который

относится к условию беспрепятственного распространения обоих компонентов смеси при диффузии, сомножителем P/pг.ст, который учитывает дополнительный конвективный перенос массы, возникающий у полупроницаемой поверхности. Сравнивая это уравнение с g=bp(pст-pоб), получаем коэффициент массоотдачи, отнесенный к разности парциального давления в виде bp=-Dpп(dpп/dx)ст (P/pг.ст)/(pпс-pпо).

Это уравнение называют дифференциальным уравнением массоотдачи.

56

ЛЕКЦИЯ 20. Тройная аналогия. Тепломассоотдача при конденсации пара

ТРОЙНАЯ АНАЛОГИЯ

Уравнение массообмена без учета термо- и бародиффузии имеет вид: Dri/dt=DÑ2ri. Уравнение энергии без учета диффузионного переноса теплоты: Dt /dt=aÑ2t. Уравнение движения (безнапорное течение без учета массовых сил): Dw /dt=υÑ2w. Эти уравнения по форме записи аналогичны и содержат в себе три параметра: D – коэффициент диффузии; a– коэффициент температуропроводности; υ – коэффициент кинематической вязкости. Каждый из них характеризует соответствующий перенос: массы (D), энергии (a) и количества движения (υ). Размерность у них одинаковая [м2/с], и при D=a=u поля концентрации, температуры и скорости подобны, если подобны условия однозначности (краевые условия).

По аналогии с критерием Прадтля Pr=u/a, определяющим меру отношения гидродинамического и теплового пограничных слоев, соотношение Le=D/a называют критерием Люиса, являющимся мерой отношения полей концентраций и температуры в пограничном слое. Отношение PrD=u/D называют диффузионным критерием Прадтля. Он определяет подобие гидродинамического и концентрационного слоев.

Для процесса теплообмена, не усложненного массообменом (чистый теплообмен) и без учета массовых сил, структура критериального уравнения для расчета теплообмена имеет вид Nu=f(Re, Pr). Если ввести понятие «диффузионный» критерий Нуссельта в виде NuD=bL/D, то, исходя из аналогии уравнений диффузии и теплообмена, можно предположить, что структура критериального уравнения для массообмена будет подобна структуре уравнения для теплообмена, т.е. NuD=f(Re, PrD), при этом вид функциональной зависимости остается без изменений. Однако подобный прием может применяться только для приближенных, оценочных расчетов, поскольку уравнение теплоотдачи существенно отличается от уравнения массоотдачи. Кроме того, отличаются и условия однозначности (наличие стефанового потока).

ТЕПЛО- И МАССООТДАЧА ПРИ КОНДЕНСАЦИИ ПАРА ИЗ ПАРОГАЗОВОЙ СМЕСИ

Этот процесс имеет широкое применение, в частности, при расчете конденсационных устройств паросиловых установок. Наличие в паре неконденсирующихся газов приводит к уменьшению интенсивности конденсации из-за затруднения доступа пара к поверхности пленки конденсата. На рис. 20.1. схематично показано распределение парциального дав-

ления и температуры у поверхности Рис. 20.1. Распределение концентраций и пленки конденсата толщиной δ. Изменетемпературы при конденсации пара из ние парциального давления от pп0 до pп пов парогазовой смеси

вызывает изменение температуры от tп0 до tп пов, т.е. появляется разность температуры пара tд, обусловленная диффузией. Кроме того, у поверхности пленки возникает

57

ЛЕКЦИЯ 21. Нестационарная теплопроводность

Процессы теплопроводности в случаях, когда поле температур изменяется в теле не только по пространству, но и во времени, называются нестационарными. Задачи нестационарной теплопроводности рассматривают процессы нагрева и охлаждения тел, связанные с термонапряженным состоянием, т.е. с термическим напряжением, возникающим в теле при его нагревании или охлаждении. Современный инженер обязан разбираться в вопросах постановки и решения задачи нестационарной теплопроводности. Математическая постановка этой задачи включает в себя: дифференциальное уравнение теплопроводности (Фурье) и условия однозначности решения для конкретной задачи. Рассмотрим особенности нагрева-охлаждения тел при граничных условиях третьего рода.

ТЕРМИЧЕСКИ ТОНКИЕ ТЕЛА

Запишем граничные условия (ГУ) третьего рода в виде -λ (∂t/∂x)п=α(tс-tп). Вве-

дем избыточную температуру ϑ0=tс-tп, тогда ∂t/∂n=-∂ϑ/∂n, и ГУ представляются в

виде λ (∂ϑ/∂n)п=αϑ0.

Используя методы теории подобия получим обобщенную переменную, называемую критерием Био Bi=(αL)/λ=(L/λ)/(1/α). По своему физическому смыслу критерий Био является мерой отношения термического сопротивления теплопроводности тела к термическому сопротивлению теплоотдачи с поверхности тела. Предста-

вив N=n/L, получим (∂ϑ/∂N)n=0=Bi ϑ0.

Если Bi→0 (практически достаточно, чтобы Bi<0,1), что имеет место при малых L, т.е. для тел с высоким коэффициентом теплопроводности (чаще всего, металлов), то из (∂ϑ/∂N)n=0=Bi ϑ0 следует, что ∂ϑ/∂N→0. Получается, что градиент температуры по толщине очень мал и им можно пренебречь. Тела, в которых градиентом температуры по толщине можно пренебречь называются термически тонкими телами.

Для термически тонкого тела (далее просто тонкого тела) изменение температуры при нагревании или охлаждении можно найти из уравнения теплового баланса. Допустим, что тонкое тело нагревается внутренними источниками теплоты с объемной плотностью тепловыделения qv и находится в среде с постоянной температурой. Считаем коэффициент теплоотдачи с поверхности тела в среду тоже постоянным. Объем тела V, его поверхность F. Тогда уравнение теплового баланса можно представить в виде cρV dt/dτ=qvV-αF(t-tc), где c, ρ – удельная объемная теплоемкость и плотность материала тела. По своему физическому смыслу левый член этого уравнения является изменением внутренней энергии тела. Первое слагаемое правой части – теплота, выделяемая внутренними источниками в объеме тела, второе – теплота, отданная с поверхности тела в среду. В стационарном состоянии изменения внутренней энергии нет, и из указанного уравнения получаем установившуюся температуру тела в конце процесса нагревания qvV=αF(tуст-tc). Подставим полученное выражение в исходное уравнение баланса и разделим обе части уравнения на (tуст-tc).

Обозначим Θ=(tуст-t)/(tуст-tc). Тогда уравнение cρV dt/dτ=qvV-αF(t-tc) приобретает вид -dΘ/dτ=(αF)/(cρV) Θ, где m=(αF)/(cρV) называется темпом нагрева (охлаждения) тела. При постоянных теплофизических свойствах тела и постоянном коэффициенте теплоотдачи темп нагрева также является постоянным. Разделив переменные в -dΘ/dτ=(αF)/(cρV) Θ, получим при постоянном темпе нагрева Θ=e-mτ.

59

Таким образом, при нагревании тонкого тела внутренними источниками теплоты в среде с постоянной температурой при постоянном темпе нагрева относительная избыточная температура изменяется по экспоненте. Прологарифмировав ее, имеем ln(Q)=-mt, откуда следует, что в полулогарифмических координатах график нагрева тонкого тела представляется прямой линией с тангенсом угла наклона к оси t, равном темпу нагрева.

Тепловой баланс тонкого тела при охлаждении от некоторой температуры tуст в среде с постоянной температурой можно записать в виде -crV dt/dt=aF(t-tc), т.е. уменьшение внутренней энергии тела равно тепловому потоку, отданному с поверхности тела в среду. При относительной избыточной температуре тела в виде

Q=(t-tс)/(tуст-tc) уравнение -crV dt/dt=aF(t-tc) превратится в -dQ/dt=(aF)/(crV) Q. Следовательно, решение уравнения -crV dt/dt=aF(t-tc) совпадает с решением урав-

нения -dQ/dt=(aF)/(crV) Q и все, сказанное выше для процесса нагрева, справедливо для процесса охлаждения тонкого тела.

Если в процессе нагрева или охлаждения тонкого тела коэффициент теплоотдачи оказывается переменным, то график изменения ln(Q) от t оказывается нелинейной зависимостью. Тогда, проведя касательную к графику в определенной точке (при t1), можно определить локальный темп нагрева (охлаждения) как тангенс угла наклона к оси t.

Метод нагревания-охлаждения тонкого тела в среде с постоянной температурой эффективно используется для определения коэффициента теплоотдачи тел разной формы.

НАГРЕВ И ОХЛАЖДЕНИЕ ТЕРМИЧЕСКИ ТОЛСТЫХ ТЕЛ. НЕОГРАНИЧЕННАЯ ПЛАСТИНА Напомним, что неограниченной пластиной называется тело, у которого один

размер конечный, а два других – бесконечно велики. Рассмотрим задачу определения температурного поля и количества аккумулированной теплоты при нагреве пластины от начальной температуры t0 в среде с постоянной температурой tc>t0 при постоянном коэффициенте теплоотдачи и постоянных ТФХ материала.

Допустим, что толщина пластины равна 2R, а нагрев симметричный, т.е. температура среды и интенсивность теплообмена с обеих сторон пластины одинаковы. Разместим начало координат в центре пластины (рис. 21.1), а ось x направим нормально к поверхности пластины. В этом случае математическую формулировку задачи можно представить так. Отыскивается решение уравнения теплопроводности ∂t/∂τ=a ∂2t/∂x2 в области 0≤x≤R, t>0, с ГУ: ∂t/∂x=0 при x=0, λ(∂t/∂x)=a(tс-t) при x=R, начальное условие (НУ): t=t0 при t=0.

Перейдем от температуры t к избыточной температуре J=tс-t. Легко показать, что тогда уравнение ∂t/∂τ=a ∂2t/∂x2 превращается в

∂ϑ/∂τ=a ∂2J/∂x2, НУ и ГУ будут представлены в виде t=0 J=J0=tс-t0,

x=0 ∂ϑ/∂x=0, -λ(∂ϑ/∂x)=aJ. Для решения этих уравнений используем Рис. 21.1. Сим- метод разделения переменных (метод Фурье), для чего представим метричный на- избыточную температуру в виде J(x,t)=J1(t) J2(x). Тогда уравнение грев пластины ∂ϑ/∂τ=a∂2J/∂x2 представляется в виде J¢1(t)/J1(t)=aJ²2(x)/J2(x)=-ak2. при ГУ-III

60