Лаб. практ. исправленный

Лабораторная работа № 8

Исследование деформации консольного стержня при косом изгибе

Цель работы: экспериментальное исследование прогибов консольного стержня прямоугольного поперечного сечения при косом изгибе.

Описание лабораторной установки

Для исследования прогибов fz и fy в направлении осей z и у и определения полного прогиба f используется модель в виде консольного стержня прямоугольного поперечного сечения, показанная на рис. 3.7, рис. 3.8. При исследовании косого и плоского изгиба применяется одна и та же лабораторная установка (рис. 3.5). Ее описание приведено на стр. 54. На рис. 3.9 изображен вид правого торца лабораторной установки. На нем показан индикатор 12, закрепленный на плате 13. На стойке 11 установлен индикатор 10. Индикаторы 10 и 12 позволяют измерять деформации стержня от-

10

12

11

11

13

1

Рис. 3.9. Вид правого торца лабораторной установки

61

носительно вертикальной (V) и горизонтальной (H) осей соответственно (рис. 3.8).

Порядок выполнения работы

1. Получить от преподавателя задание на выполнение эксперимента в соответствии с вариантом, указанным в табл. 3.1.

2. С помощью поворотного винта 3 установить стержень 7 в указанное в варианте первое угловое положение (α = 0°,15°,30°,45°, 60°,75°,90°).

3. Обнулить показания индикаторов 10 и 12, контактирующих со свободным концом стержня.

4. Определить расстояние lи от защемленного конца стержня до точки контакта индикатора со стержнем.

5. Установить наружное кольцо подшипника 9 на первое, указанное в варианте, оцифрованное деление стержня 7. Измерить расстояние lp от защемленного конца стержня до точки приложения нагрузки.

6. Последовательно подвесить грузы различной массы (mi = 1,2,3 кг) к наружному кольцу подшипника 9. Определить для каждой величины подвешиваемой массы mi значения прогибов fvi по показаниям индикатора 10, а по показаниям индикатора 12 – fHi. Для этого необходимо сначала записать показания индикаторов 10, 12 CVj, CHj в табл. 3.2, а затем вычислить значения прогибов fvi и fHi в точках контакта индикаторов со стержнем по формулам:

дой величины подвешиваемой массы mi равно j = 1÷3. Записать рассчитанные величины fvi и fHi в табл. 3.2.

7. Перевести подшипник 9 на следующее оцифрованное деление стержня 7. Опять измерить расстояние lp от защемленного конца стержня до точки приложения нагрузки. Повторить пункт 6.

8. С помощью поворотного винта 3 установить стержень 7 во второе указанное в варианте угловое положение. Повторить пп. 3,5,6,7.

9. С помощью поворотного винта 3 установить стержень 7 в третье указанное в варианте угловое положение. Повторить пункты

3,5,6,7.

62

10.  Для каждой величины подвешиваемой массы mi по выражениям (3.17), (3.18), (3.19) произвести теоретический расчет полного прогиба fТi торцевого сечения стержня от силы Р (координата

сечения lp).

11.  Для каждой величины подвешиваемой массы mi, используя занесенные в табл. 3.2 результаты измерений, рассчитать экспериментальное значение полного прогиба fЭi свободного конца стержня (координата сечения lи) по формуле

12.  Для каждой величины подвешиваемой массы mi определить погрешность эксперимента

γfi =γ2fiV +γ2fiH .

В случае косого изгиба рассчитываются вертикальные и гори-

треугольников ABC и CDE (рис. 3.6) аналогично п.10 порядка выполнения лабораторной работы № 7.

Угол наклона β вектора полного прогиба f к вертикальной оси V (рис. 3.8) равен:

β = j–α.

Угол наклона j нейтральной оси N к оси y, равный углу наклона вектора полного прогиба f к оси z (рис. 3.8), определяется по формуле (3.20):

Величина угла α зависит от углового положения стержня 7 (α = 0°,15°,30°,45°, 60°,75°,90°).

Зная величину угла β, можно рассчитать параметры fТiV и fТiH: fТiV = fТicos β,

fТiH = fТisin β.

64

Составляющие погрешностей эксперимента γfiV и γfiH определяются по формулам:

γfiV = fTiV f−∆fpiV 100%,

TiV

γfiH = fTiHf−∆fpiH 100%. TiH

3.3. Изгибные колебания

Особое значение при изучении деформаций изгиба имеет учет напряжений при динамических нагрузках. Упругая система, выведенная каким-либо путем из положения равновесия, приходит в колебательное движение. В этом случае к статическим деформациям добавляются динамические, зависящие от вида колебательного движения и от величины амплитуды колебаний.

Пока система деформируется в пределах упругости, деформация пропорциональна напряжениям. Поэтому увеличение напряжений за счет динамических воздействий можно оценивать коэффициентом динамичности.

В простейших случаях для получения суммарной деформации (рис. 3.10) можно сложить максимальную статическую деформацию δСmax с амплитудой колебаний А, т. е.

где δД – суммарная величина деформации; Kд – коэффициент динамичности при собственных колебаниях.

N

9

M

Рис. 3.10. Расчетная схема упругих колебаний при сосредоточенной массе

65

где σС – напряжение, соответствующее статической нагрузке на систему.

Таким образом, коэффициент динамичности Кд характеризует увеличение напряжений при учете дополнительных динамических нагрузок.

На рис. 3.10 в середине стержня расположена сосредоточенная масса груза m, которая при его колебаниях будет создавать дополнительную силу инерции Pи, равную

Pè =−mx,

где х – координата, определяющая положение груза массой m во время колебаний.

Упругое сопротивление Р определяется по выражению

Р = cх,

где c – жесткость стержня.

Поскольку демпфирование в колебательной системе создается силами внутреннего трения, которые достаточно малы, то им можно пренебречь и тогда равенство указанных сил Р = Pи позволяет получить дифференциальное уравнение движения колеблющегося груза в следующем виде:

Подставляя значение c в уравнение (3.25), приведем его к удобному для интегрирования виду

Учитывая, что жесткость стержня c можно выразить через ста-

свободного падения.

Координата x в условиях статики для принятой расчетной схемы соответствует значению прогиба fmax.

66

N

M

Рис. 3.11. Расчетная схема стержня с защемленным концом

Для расчетной схемы (рис. 3.10) при расположении груза мас-

сой m в середине, значение прогиба fmax равно fmax = mgl3 [1].

48EI

Значение частоты ωо можно определить по формуле

Частоту ωо можно также найти, используя известное соотноше-

Е –модульупругостиматериала;I –моментинерциисечения.Если взять другую расчетную схему (рис. 3.11), то жесткость будет равна

ñ= 3EI. l3

При исследовании собственных колебаний ненагруженного стержня следует помнить, что его масса является распределенной. В этом случае расчетная схема приводится к схеме с сосредоточенной эквивалентной массой стержня mэ, равной mэ = mст/3 [1].

67

Лабораторная работа №9

Исследование собственных частот изгибных колебаний стержней

Цель работы: исследование собственных частот изгибных колебаний стержней с защемленным концом при переменных сечениях и различных положениях груза.

Описание лабораторной установки

Схема лабораторной установки приведена на рис. 3.12. Она состоит из вибропреобразователя 1, представляющего собой вибро- датчикКД-35,которыйизмеряетамплитудувиброускоренияконца стержня, виброусилителя 2, аналого-цифрового преобразователя 3 для получения цифрового сигнала, подаваемого на компьютер 4. Результаты обработки эксперимента, полученные на компьютере, поступают на принтер 5.

Порядок выполнения работы

1. Определить длину стержня ℓ и параметры сечения. По данным табл. 3.1 в зависимости от типа сечения рассчитать значение полярного момента инерции сечения Ipx относительно оси симметрии Х. Вначале определяется собственная частота изгибных колебаний стержня.

2. Включить лабораторную установку. Установить на компьютере необходимое программное обеспечение для обработки результатов эксперимента.

N

Рис. 3.12. Схема лабораторной установки

68

3. Нанести возбуждающий удар и на компьютере 4 записать колебания ненагруженного стержня.

4. Из полученной записи вырезать участок равномерных колебаний.

5. Получить спектр вырезанного участка колебаний и зафиксировать частоту с максимальным значением пика.

6. Полученные на компьютере 4 результаты эксперимента распечатать на принтере 5.

7. Подвесить по указанию преподавателя груз заданной массы в определенном месте стержня и повторить пп. 3…6.

8. Подвесить грузы другой массы и повторить п.3…6. 9. Изменить положение точки подвеса груза и повторить п. 8.

Таблица 3.1

Параметры стержней

Обработка результатов эксперимента

Полученные записи амплитуд изгибных колебаний обрабатываются с целью получения значений периода колебаний. На полученной записи гармонических колебаний (рис. 3.13) выделяется целое число незначительно затухающих колебаний n и измеряется их длина L. Полученная длина L умножается на масштаб ms само-

MÅÅ

Рис. 3.13. Фрагмент записи амплитуды упругих колебаний

69

писца и делится на n и получается значение периода колебаний Т в следующем виде:

T= L nms.

По найденному периоду колебаний определяется собственная частота изгибных колебаний стержня, используя выражение:

ω0ý = 2Tπ.

Далее находится параметр жесткости стержня С, равный

C= 3EIðõ , l3p

где lp – местоположение груза от защемленного конца стержня. Теоретическое значение частот определяется по формуле

ω0Ò =mC,

где m – масса груза.

Далее проводится сравнение теоретических ω0Т и экспериментальных ωоэ значений частот изгибных колебаний.

Погрешность γ результата теоретического расчета собственных частот изгибных колебаний и их экспериментального определения оценивается по выражению:

γ = ω0Ò −ω0ý 100%,

ω0Ò

где ω0T – теоретическое значение собственной частоты изгибных колебаний стержня; ω0э – экспериментальное значение собственной частоты изгибных колебаний стержня.

Библиографический список

1. Беляев Н. М. Сопротивление материалов. – М.: Наука, 1976. – 607 с. 2. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов: учеб. для вузов. – М.:

Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. – 592 с.

3. Степин П. А. Сопротивление материалов. – СПб.: Лань, 2010. – 320 с.

70