Лаб. практ. исправленный

По величине максимального нормального напряжения σmax проверяется прочность элементов конструкции. Напряжение σmax сравнивается с допускаемым напряжением [σ]. В случае правильного подбора размеров поперечного сечения конструктивного элемента и выбора его материала выполняется условие прочности: σmax ≤ [σ].

Для оценки жесткостных свойств элементов конструкции при изгибе в опасных сечениях рассчитываются максимальные значения прогибов zmax и углов поворота сечений θmax (рис. 3.4). Услови-

ем жесткости при изгибе является следующее: zmax ≤ [z], θmax ≤ [θ]. Перемещение центра тяжести сечения по направлению, перпенди-

кулярному к оси балки, называется прогибом балки в этом сечении или прогибом этого сечения балки. Прогиб будем обозначать буквой z. Под балкой понимается стержень, работающий на изгиб.

Для определения перемещений при деформации изгиба применяется дифференциальное уравнение изогнутой оси. Чтобы его получить используется математическая зависимость между радиусом кривизны оси ρ и координатами ее точек x и z [1–3]:

Поскольку в этом дифференциальном уравнении dz/dx величина второго порядка малости, то ею можно пренебречь и получить приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня:

51

Интегрирование уравнения (3.5) дает уравнение углов поворота

где С1 – постоянная интегрирования.

Последующее интегрирование полученного уравнения (3.6) дает уравнение прогибов

где С2 – постоянная интегрирования.

Постоянные интегрирования С1 и С2 – это увеличенные в EI раз соответственно угол поворота сечения в начале координат и прогиб в том же месте. Для их определения в стержне находят сечения с заранее известными величинами угла поворота и прогиба. Произведение EI называется жесткостью балки при изгибе, и чем оно больше, тем меньше искривится балка при действии данного изгибающего момента.

Формулы для вычисления прогибов и углов поворота сечений простейших расчетных схем стержней известны и приведены в учебной литературе [1–3].

В качестве примера рассмотрим защемленный одним концом (консольный) стержень прямоугольного сечения (рис. 3.4). Выберем начало координат в защемленном конце стержня.

Величина изгибающего момента в произвольном сечении на расстоянии x от начала координат:

M(x) = –P(l–x).

Рис. 3.4. Расчетная схема прогиба консольного стержня

52

Используя формулу (3.5), запишем дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня для схемы, показанной на рис. 3.4:

EI d2z =−P(l−x). dx2

Для определения постоянных интегрирования С1 и С2 найдем в стержне сечение с заранее известными величинами угла поворота и прогиба. Таким сечением является опорное сечение А: при

x = 0, dxdz =0, z=0. В этом случае постоянные интегрирования С1 и

С2 будут равны нулю.

Выражения для угла поворота θ и прогиба z сечения с координатой x принимают следующий вид:

В формулы (3.8) подставляются следующие параметры прямоу-

Прогибы, вычисляемые в отдельных точках сечения, обозначаются буквой f.

53

Лабораторная работа № 7

Исследование деформации плоского изгиба консольного стержня прямоугольного поперечного сечения

Цель работы: экспериментальное исследование прогибов консольного стержня прямоугольного поперечного сечения при плоском изгибе.

Описание лабораторной установки

Схема лабораторной установки приведена на рис. 3.5. Она состоит из массивной платформы 1 со стойкой 2, на которой закреплен объект исследования – стержень 7. Стержень 7 представляет собой стальную линейку длиной l = 500 мм и размером поперечного сечения b×h = 31×7 мм2. Стержень 7 закреплен на стойке 2 с помощью муфты 5 стопорным винтом 6. На левом торце стержня закреплен диск 4 со шкалой углового положения объекта исследования. Угол наклона α главной оси инерции поперечного сечения к вертикальному направлению указан на шкале. Угол наклона α устанавливается по шкале диска 4 при освобождении стопорного винта 6 с помощью поворотного винта 3. Нагружение стержня осуществляется грузами 8. Грузы 8 подвешиваются к наружному кольцу подшипника 9 с помощью специального крючка. Подшипник 9 обеспечивает вертикальное положение грузов 8 в независимости от положения стержня 7. Для измерения прогиба конца стержня используется индикатор 10, закрепленный на стойке 11.

Порядок выполнения работы

1. Получить от преподавателя задание на выполнение эксперимента в соответствии с вариантом, указанным в табл. 3.1.

2. С помощью поворотного винта 3 установить стержень 7 в угловое положение α = 0° по шкале диска 4 (рис. 3.5).

3. Обнулить показания индикатора 10, контактирующего со свободным концом стержня.

4. Определить расстояние lи от защемленного конца стержня до точки контакта индикатора со стержнем.

54

Рис. 3.6. Расчетная схема прогибов консольного стержня

Pl2

fTi =−6iEIð (3lu −lð),

где lp – расстояние от защемленного конца стержня до точки приложения нагрузки; lи – расстояние от защемленного конца стержня до точки контакта индикатора со стержнем.

10. Для каждой величины подвешиваемой массы mi определить погрешность эксперимента по формуле

γfi = fTi −fTi∆fpi 100%.

Приращение прогиба fpi на участке DD′ определяется из подобия треугольников ABC и CDE (рис. 3.6):

fpi = fЭi – fиi,

где fиi – приращение прогиба на участке DE (рис. 3.6). Величину fиi можно вычислить из треугольника CDE, предва-

рительно рассчитав угол γ =arctg fTi ; γ θB. Приращение проги-

lp

ба fиi равно

fиi = (lиi – lpi)tgγ.

3.2. Исследование сложного сопротивления

Под сложным сопротивлением механической системы понимают противодействие комбинированным нагрузкам. При анализе за-

56

дач сложного сопротивления используют принцип суперпозиции, который справедлив при малых деформациях системы. Согласно принципу суперпозиции для нахождения полных напряжений и деформаций, возникающих в упругой системе в результате действия на нее сложной системы нагрузок, необходимо геометрически суммировать напряжения и перемещения, соответствующие различным видам простейших деформаций.

Одним из случаев сложного сопротивления является косой изгиб, при котором плоскость действия сил, перпендикулярных к оси стержня, не совпадает ни с одной из двух плоскостей, проходящих через ось стержня и главные оси инерции поперечных сечений стержня. Изогнутая ось стержня в этом случае уже не будет лежать в плоскости действия сил [1].

Рассмотрим стержень, защемленный одним концом и нагруженный на другом силой Р, лежащей в плоскости торца стержня и направленной под углом α к главной оси z (рис. 3.7). Вторая главная ось y – перпендикулярна первой.

Для вычисления нормального напряжения в любой точке произвольного сечения, отстоящего на расстоянии xо от свободного конца стержня, воспользуемся принципом суперпозиции. Приведем случай косого изгиба к комбинации двух плоских изгибов, вызванных силами Рz и Рy (составляющими силы Р), направленными по главным осям инерции сечения z и y (рис. 3.7).

Рис. 3.7. Расчетная схема стержня при произвольном направлении силы

57

В соответствии с принципом суперпозиции в сечении с координатой xо (рис. 3.7) от сил Рz и Рy возникает два изгибающих момента Мz и Мy, которые будут равны:

где у и z – индексы при изгибающем моменте М, обозначающие главные оси, относительно которых берутся моменты.

Полное напряжение в произвольной точке сечения вычисляется по формуле

где Iy и Iz – моменты инерции поперечного сечения стержня относительно осей у и z соответственно.

Положение нейтральной оси N (рис. 3.8) в поперечном сечении стержня можно определить, если приравнять нулю нормальные напряжения в точках, лежащих на этой оси. Обозначив координаты этих точек yN и zN, имеем:

Тогда уравнение нейтральной оси примет вид:

Для выполнения условия (3.13) необходимо, чтобы при равенстве знаков у изгибающих моментов Мz и Му, координаты yN и zN имели бы разные знаки, или наоборот.

Поскольку нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения, то для определения ее положения достаточно знать угол наклона j нейтральной оси N к оси y (рис. 3.8).

Учитывая, что yN и zN имеют разные знаки, получим:

58

7

)

/

:

1;

Рис. 3.8. Прогибы торцевого сечения консольного стержня

Подставив в формулу (3.15) значения моментов из равенств (3.9) и (3.10), будем иметь следующее выражение:

Как видно из полученного выражения (3.16), нейтральная ось не перпендикулярна линии действия силы. Ее положение зависит от угла наклона плоскости внешних сил к оси z и от формы сечения.

Прогиб f при косом изгибе определяется как геометрическая сумма прогибов по направлению осей z(fz) и y(fy) от изгибающих моментов Мz и Му соответственно.

При определении изгибающих моментов Мz и Мy координату xо мы отсчитывали от свободного конца стержня (рис. 3.7). При вычислении прогибов начало координат удобнее выбрать в защемленном конце стержня (рис. 3.4, рис. 3.6). Прогибы fz и fy торцевого

сечения стержня, используя универсальное уравнение (3.7), можно вычислить по формулам:

Pl2

fy =− p (3lè −lp)sin α, (3.17)

6EIz

59

где lp – расстояние от защемленного конца стержня до точки приложения нагрузки (рис. 3.6); lи – расстояние от защемленного конца стержня до точки контакта индикатора со стержнем (рис. 3.6).

Полный прогиб f торцевого сечения стержня будет представлять собой геометрическую сумму прогибов fz и fy от действия сил Pz и Py соответственно, его величина равна

Найдем направление полного прогиба f. Для этого определим значение угла наклона вектора f к оси Z:

fy = Iy tgα=tgϕ, fz Iz

(3.20)

f= f y = fz . sinϕ cosϕ

Отсюда следует, что угол, составленный полным прогибом f с осью Z, равен углу j, т. е. прогиб f направлен перпендикулярно к нейтральной оси. Изгиб стержня происходит не в плоскости действия внешних сил, а в плоскости, перпендикулярной к нейтральной оси (рис. 3.8).

60