- •Министерство образования и науки российской федерации
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Уравнения с разделёнными и разделяющимися переменными
- •Однородные уравнения первого порядка
- •Линейные уравнения первого порядка
- •Уравнение в полных дифференциалах
- •Интегрирующий множитель
- •Дифференциальные уравнения высших порядков
- •Уравнения вида
- •Уравнения второго порядка, приводящиеся к уравнениям первого порядка
- •Линейные однородные уравнения. Определения и общие свойства
- •Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные однородные уравнения го порядка с постоянными коэффициентами
- •Неоднородные линейные уравнения второго порядка
- •Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Неоднородные линейные уравнения высших порядков
- •Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Р я д ы Числовые ряды Числовой ряд. Сумма ряда. Необходимый признак сходимости ряда
- •Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
- •Знакопеременные ряды
- •Функциональные ряды
- •Ряды Тейлора и Маклорена
- •Ряды Фурье
- •Ряды Фурье для четных и нечетных функций
- •Ряд Фурье для функции с периодом
- •К о м б и н а т о р и к а
- •Общие правила комбинаторики
- •Соединения в комбинаторике
- •Размещения без повторений
- •Перестановки без повторений
- •Сочетания без повторений
- •Размещения с повторениями
- •11 12 13 14 15 16 17 19
- •Перестановки с повторениями
- •Т е о р и я в е р о я т н о с т е й Случайные события Основные понятия теории вероятностей
- •Основные теоремы теории вероятностей Теорема сложения вероятностей несовместных событий
- •Зависимые и независимые события. Условная вероятность
- •Теорема умножения вероятностей
- •Теорема сложения вероятностей совместных событий
- •Вероятность появления хотя бы одного события
- •. Формула полной вероятности
- •Формула Бейеса
- •Повторение испытаний
- •Формула Бернулли
- •Локальная теорема Лапласа
- •. Формула Пуассона
- •Интегральная теорема Лапласа
- •Случайные величины Случайная величина. Виды случайных величин
- •Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
- •Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •Дисперсия дискретной случайной величины
- •Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Законы распределений
- •Равномерное распределение
- •Нормальное распределение
- •. Правило трёх сигм
- •Показательное распределение
- •Функция надёжности
- •Элементы математической статистики Основные сведения из математической статистики
- •Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма
- •1 4 6
- •10 15 25
- •Статистические оценки параметров распределения
- •Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной
- •Точность оценки, доверительная вероятность (надёжность). Доверительный интервал
- •Методы расчёта сводных характеристик выборки
- •Сведение первоначальных вариант к равноотстоящим
- •Оценка отклонения теоретического и эмпирического распределений от нормального. Асимметрия и эксцесс
- •Элементы теории корреляции
- •. (1)
- •(4) . (5) Корреляционная таблица
- •Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппированным данным
- •Методика вычисления выборочного коэффициента корреляции
- •. Статистическая проверка статистических гипотез
- •Линейное программирование Задача линейного программирования
- •Построение математической модели
- •Графическое решение задачи линейного программирования
- •Симплексный метод решения задачи линейного программирования
- •Решение задачи 1 симплексным методом
- •Искусственное начальное решение. Метод больших штрафов.
- •Особые случаи применения симплекс-метода
- •1.7.2 Бесконечное множество решений
- •1.7.4 Неограниченные решения
- •1.7.5 Промежуточное вырожденное решение
- •Задача о назначениях
- •4 Изменение запаса ресурса продукта а 7
- •1 Изменение единицы стоимости продукта а 4
- •Заключение
Построение математической модели
Процесс построения математической модели для решения поставленной задачи можно начать с ответов на три следующие вопроса:
1. Для определения каких величин должна быть построена модель? Другими словами, надо ввести переменные для решения задачи.
2. Какие ограничения должны быть наложены на переменные, чтобы выполнялись условия, характерные для моделируемой системы?
3. В чем состоит цель, для достижения которой из всех допустимых значений переменных нужно выбрать те, которые будут соответствовать оптимальному решению задачи?
Исходный продукт |
Расход исходных продуктов (в тоннах) на тонну краски |
Максимально возможный запас, т | |
Краска Н |
Краска В | ||
А |
1 |
2 |
6 |
С |
2 |
1 |
8 |
Переменные:
Целевая функция:
Ограничения:
Неявное ограничение заключается в том, что объёмы производства продукции не могут принимать отрицательных значений. Чтобы предотвратить получение таких недопустимых решений, потребуем выполнения условия неотрицательности переменных, т.е. введем ограничения на их знак:
(объём производства краски (Н)),
(объём производства краски (В)).
Математическая модель данной задачи будет иметь вид:
- суточный объём производства краски (Н)
- суточный объём производства краски (В)
Презентация построения математической модели задачи 1
Графическое решение задачи линейного программирования
Рассмотрим один из способов решения ЗЛП. Так как модель задачи 1 содержит только две переменные, задачу можно решить графически.
Первый шаг при использовании графического метода заключается в геометрическом представлении допустимых решений, т.е. построении области решений, в которой одновременно удовлетворяются все ограничения модели. Искомая область решений показана на рисунке 1.1.
Рис. 1.1
В каждой точке, принадлежащей внутренней области или границам многоугольника ABCDEF, все ограничения выполняются, поэтому решения, соответствующие этим точкам, являются допустимыми. Пространство решений содержит бесконечное число таких точек, но, несмотря на это, можно найти оптимальное решение, если выяснить, в каком направлении возрастает целевая функция модели . Найдём среди множества точекиз области решений совместной системы неравенств такие, которые придают линейной функцииоптимальное значение. Для каждой точки плоскости функцияz принимает фиксированное значение . Множество всех таких точек есть прямая, перпендикулярная к вектору, выходящему из начала координат. Если эту прямую передвигать параллельно самой себе в положительном направлении вектора, то линейная функциябудет возрастать, а в противоположном направлении – убывать. Пусть при движении прямойz в положительном направлении вектора она впервые встретится с многоугольником решений в его вершине, тогда в этом положениипрямаяz становится опорной, и на этой прямой функция z принимает наименьшее значение. При дальнейшем движении в том же направлении прямая z пройдёт через другую вершину многоугольника решений, выходя из области решений, и станет также опорной прямой ; на ней функцияz принимает наибольшее значение среди всех значений z, принимаемых на многоугольнике решений.
Таким образом, минимизация и максимизация линейной функции на многоугольнике решений достигаются в точках пересечения этого многоугольника с опорными прямыми, нормальными к вектору. Это пересечение опорной прямой может быть в одной точке (вершине многоугольника) либо в бесконечном множестве точек (это множество есть сторона многоугольника). На рисунке 1.1 видно, что оптимальному решению соответствует точка С. Так как точка С является точкой пересечения прямых (1) и (2), значенияив этой точке определяются решением следующей системы двух уравнений:
Решение указанной системы уравнений дает следующий результат: ,. Полученное решение означает, что суточный объём производства краски (Н) должен бытьт, а краски (В) -т. Доход, получаемый в этом случае, составиттыс. руб.
Презентация графического решения задачи 1