- •Министерство образования и науки российской федерации
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Уравнения с разделёнными и разделяющимися переменными
- •Однородные уравнения первого порядка
- •Линейные уравнения первого порядка
- •Уравнение в полных дифференциалах
- •Интегрирующий множитель
- •Дифференциальные уравнения высших порядков
- •Уравнения вида
- •Уравнения второго порядка, приводящиеся к уравнениям первого порядка
- •Линейные однородные уравнения. Определения и общие свойства
- •Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные однородные уравнения го порядка с постоянными коэффициентами
- •Неоднородные линейные уравнения второго порядка
- •Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Неоднородные линейные уравнения высших порядков
- •Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Р я д ы Числовые ряды Числовой ряд. Сумма ряда. Необходимый признак сходимости ряда
- •Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
- •Знакопеременные ряды
- •Функциональные ряды
- •Ряды Тейлора и Маклорена
- •Ряды Фурье
- •Ряды Фурье для четных и нечетных функций
- •Ряд Фурье для функции с периодом
- •К о м б и н а т о р и к а
- •Общие правила комбинаторики
- •Соединения в комбинаторике
- •Размещения без повторений
- •Перестановки без повторений
- •Сочетания без повторений
- •Размещения с повторениями
- •11 12 13 14 15 16 17 19
- •Перестановки с повторениями
- •Т е о р и я в е р о я т н о с т е й Случайные события Основные понятия теории вероятностей
- •Основные теоремы теории вероятностей Теорема сложения вероятностей несовместных событий
- •Зависимые и независимые события. Условная вероятность
- •Теорема умножения вероятностей
- •Теорема сложения вероятностей совместных событий
- •Вероятность появления хотя бы одного события
- •. Формула полной вероятности
- •Формула Бейеса
- •Повторение испытаний
- •Формула Бернулли
- •Локальная теорема Лапласа
- •. Формула Пуассона
- •Интегральная теорема Лапласа
- •Случайные величины Случайная величина. Виды случайных величин
- •Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
- •Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •Дисперсия дискретной случайной величины
- •Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Законы распределений
- •Равномерное распределение
- •Нормальное распределение
- •. Правило трёх сигм
- •Показательное распределение
- •Функция надёжности
- •Элементы математической статистики Основные сведения из математической статистики
- •Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма
- •1 4 6
- •10 15 25
- •Статистические оценки параметров распределения
- •Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной
- •Точность оценки, доверительная вероятность (надёжность). Доверительный интервал
- •Методы расчёта сводных характеристик выборки
- •Сведение первоначальных вариант к равноотстоящим
- •Оценка отклонения теоретического и эмпирического распределений от нормального. Асимметрия и эксцесс
- •Элементы теории корреляции
- •. (1)
- •(4) . (5) Корреляционная таблица
- •Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппированным данным
- •Методика вычисления выборочного коэффициента корреляции
- •. Статистическая проверка статистических гипотез
- •Линейное программирование Задача линейного программирования
- •Построение математической модели
- •Графическое решение задачи линейного программирования
- •Симплексный метод решения задачи линейного программирования
- •Решение задачи 1 симплексным методом
- •Искусственное начальное решение. Метод больших штрафов.
- •Особые случаи применения симплекс-метода
- •1.7.2 Бесконечное множество решений
- •1.7.4 Неограниченные решения
- •1.7.5 Промежуточное вырожденное решение
- •Задача о назначениях
- •4 Изменение запаса ресурса продукта а 7
- •1 Изменение единицы стоимости продукта а 4
- •Заключение
Министерство образования и науки российской федерации
Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения
высшего профессионального образования «Уфимский государственный нефтяной
технический университет» в г. Салавате
КУРС ЛЕКЦИИ ПО РАЗДЕЛАМ МАТЕМАТИКИ
«Дифференциальные уравнения»
«Ряды»
«Комбинаторика»
«Теория вероятностей и математическая статистика»
«Линейное программирование»
Составитель: Хазиев Ф.М.
Салават 2015
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Определения
Определение 1. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функциюи её производныеи записывается
Если искомая функция есть функция одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.
Определение 2. Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.
Например:
- обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка;
- уравнение в частных производных 1-го порядка.
Определение 3. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция , которая, будучи подставлена в уравнение, превращает его в тождество.
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид . Если это уравнение можно разрешить относительно, то его можно записать в виде. Для такого уравнения справедлива теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения:
Т е о р е м а. Если в уравнении функцияи её частная производнаяпонепрерывны в некоторой областина плоскости, содержащей некоторую точку, то существует единственное решение этого уравненияудовлетворяющее условию:при
Условие, что при , называется начальным условием и записывается или.
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция которая зависит от одного произвольного постоянногои удовлетворяет условиям:
- она удовлетворяет дифференциальному уравнению при любом конкретном значении постоянного ;
- каково бы ни было начальное условие , можно найти такое значение, что функцияудовлетворяет данному начальному условию.
Частным решением называется любая функция , которая получается из общего решения если в последнем произвольному постоянномупридать определённое значение.
Уравнения с разделёнными и разделяющимися переменными
Рассмотрим дифференциальное уравнение вида
где правая частьесть произведение функции, зависящей только от , на функцию, зависящую только от, преобразуем его следующим образом
Последнее равенство можно рассматривать как равенство двух дифференциалов, а неопределённые интегралы от них будут отличаться постоянным слагаемым. Интегрируя, получим
Дифференциальное уравнение типа
называют уравнением с разделёнными переменными. Общий интеграл его равен
.
Уравнение вида
называется уравнением с разделяющимися переменными. Оно может быть приведено к уравнению с разделёнными переменными путём деления обеих его частей на выражение :
,
или