- •Методические указания по выполнению лабораторных и расчетно-графических работ
- •1 Лабораторная работа №1. Методы интерполяции.
- •1.1 Расчеты в точке
- •1.2 Расчеты в точке с большей кривизной
- •1.3 Проверка проведенных вычислений по компьютерной программе
- •1.4 Исследование влияния числа узлов сетки на точность интерполяции
- •2 Лабораторная работа №2. Численные методы дифференцирования функции одной переменной. Формулы Стирлинга
- •3 Лабораторная работа №3. Численные методы решения нелинейных уравнений. Методы дихотомии, хорд, касательных
- •3.1 Задача отделения корня.
- •3.2 Нахождение корня методом дихотомии
- •3.3 Нахождение корня методом хорд
- •3.4 Нахождение корня методом касательных (Ньютона)
- •4 Лабораторная работа №4. Численные методы решения систем нелинейных уравнений. Метод Ньютона.
- •5 Лабораторная работа №5. Численные методы поиска экстремума функций одной переменной. Методы дихотомии, «золотого сечения», Ньютона.
- •5.1 Поиск минимума методом дихотомии
- •5.2 Поиск минимума методом «золотого сечения»
- •5.3 Поиск минимума методом Ньютона
- •Выводы: При поиске минимума функции на отрезке
- •6 Лабораторная работа №6. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методами Эйлера, модифицированного метода Эйлера с пересчетом, Рунге-Кутты.
- •6.5 Решение с помощью программного комплекса «чмриз».
- •7 Лабораторная работа №7. Вычисление определенных интегралов методом Монте-Карло.
6.5 Решение с помощью программного комплекса «чмриз».
Точное решение и решения, полученные численными методами Эйлера, модифицированным методом Эйлера с пересчетом и методом Рунге-Кутты 4-го порядка – изобразим на графике (рисунок 6.1)
Рисунок 6.1 Графики решения дифференциального уравнения:
VY, f - точное решение;
f1 - метод Эйлера;
f2 - метод Эйлера с пересчетом;
f3 - метод Рунге-Кутты
Выводы: наиболее точным среди рассмотренных численных методов
решения дифференциального уравнения является метод Рунге-Кутты.
7 Лабораторная работа №7. Вычисление определенных интегралов методом Монте-Карло.
Задание.
Решить определенный интеграл методом статистических испытаний (методом Монте-Карло).
Исследовать зависимость точности решения интеграла от числа испытаний.
Решение.
Вычислим сначала точное значение интеграла по формуле Ньютона-Лейбница
Будем далее последовательно задавать число точек (испытаний) и подсчитывать приближенное значение интеграла с помощью программного комплекса «ЧМРИЗ». Рассчитаем относительную погрешность, результаты сведем в таблицу 7.1.
Таблица 7.1
Число точек |
n=10 |
n=100 |
n=1 000 |
n=10 000 |
n=100 000 |
Значение интеграла |
0,9000 |
0,6700 |
0,7430 |
0,7521 |
0,7498 |
Погрешность расчета в % |
20,0000 |
10,6667 |
0,9333 |
0,2800 |
0,0293 |
По результатам расчетов строим зависимость относительной погрешности расчета определенного интеграла от десятичного логарифма числа моделируемых точек (испытаний)
Рисунок 7.1 Зависимость относительной погрешности расчета определенного интеграла VY в % от десятичного логарифма числа моделируемых точек VX
Выводы: с увеличением числа моделируемых точек точность вычисления определенного интеграла методом Монте-Карло возрастает.