Степенева функція. Поверхня римана

Функція називається степеневою, визначена та однозначна на всій розширеній площиніz, z=ставимо у відповідність. Оскількита для будь-якого, тоу всіхзберігає кути та постійність розтягувань. Прикути не зберігаються. Дійсно,якщо такі, що,, то,тобто кут міжтадорівнюєта збільшується уn разів згідно з кутом між.

Аналогічно з z=.

Теорема. Сектори взаємно однозначно, а значить і конформно відображаються на площинуз вирізаним променем.

Доведення [1,2,3].

Причому границя областівідображається у верхній берег розрізу, а границяу нижній берег розрізу,.

Розіб’ємо всю площину z на сектори , тодісекторувзаємно-однозначно ставить у відповідність площинуз розрізом по променю. Позначимо- вказану площину відповідну, таких площин буде. Для взаємно-однозначного образу всієї розширеної площиниz візьмемо n „листків” площини та розмістимо ці „листки” один над одним так, щоб точки з однаковими координатами були розміщені один над другим. „Склеїмо” розміщені один над одним „листки”по тим берегам розрізу, які є образами одного і того ж променя, який є загальною границею двох сусідніх секторів. Тобто, нижній берег розрізуз’єднаємо з верхнім берегом розрізу, вільний нижній берег розрізу– з верхнім берегом розрізуі так далі та, нарешті, нижній берег розрізу листката верхній берег розрізу(останнє з’єднання потрібно розуміти у змісті ототожнення точок з однаковими абсцисами відповідних берегів розрізівта). Крім того, у всіх площин „склеїмо” точкиz=0та z=. Отриману n–„листкову” замкнену поверхню називають поверхнею Римана значень функції.

Із всього вище сказаного можна зробити висновок: функція здійснює взаємно-однозначне відображення розширеної площини zна поверхню Римана, яке є конформним у всіх точках площиниz, крім z=0та z=.

Приклад: відобразити кут на верхню півплощину.

Розв’язання. відображає вказаний кут на нижню півплощину за властивостями степеневої функції. Тепер нижню півплощину потрібно відобразити у верхню. Це можна зробити за допомогою повороту нааборадіан, тобто шукана функція має вид.

Вправи

1) відобразити кут на верхню півплощину;

2) кутна праву півплощину;

3) кут на нижню півплощину;

4) кут на ліву півплощину;

5) кут на коло;

6) кут на коло .

Знайти образ областей при відображенні:

7) , ;

8) , ;

9) , ;

10) ,

Функція жуковського

Функція виду

називається функцією Жуковського та відображає площину zна площину . Якщо довизначити, то отримаємо відображення розширеної площини z на розширену площину . Оскільки, товиконує відображення, яке зберігає кути та постійність розтягувань у всіх точках, крім.

Теорема: Функція виконує конформне відображення середини одиничного кола на зовнішність відрізку [-1;1] площини . При цьомувідображається на нижню півплощину,на верхню півплощину.

Теорема: Функція конформно відображає областьна зовнішність[-1;1] площини . При цьомувідображається на верхню півплощину,,на нижню півплощину.

Доведеннятеореми див.[2, 130-133].

Візьмемо дві площини з розрізами по відрізку [-1;1] та „склеїмо” нижній берег розривуз верхнім берегом розрізу, а верхній берег розрізу- з нижнім берегом розрізу. Отримана дволиста поверхня - поверхня Римана для функції Жуковського, на яку вона конформно відображає розширену площину z.

Приклад: Відобразити півколо на праву півплощину.

Розв’язання: відображає півколона нижню півплощину. Тому відображеннябуде шуканим, тобто відображати півколо на праву півплощину.

Вправи

Знайти область, у які функція Жуковського відображає:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Відобразити вказані області на верхню півплощину:

6) з розрізом по [;1];

7) з розрізом по [–1;0], [а;1];

8) з розрізами [–а;1] та [1;), a>1;

9) з розрізом [0;];

10) з розрізом [; i],.