Зразки розв’язання задач контрольної роботи №2

1. Обчислити вираз: (1-і)³⁰.

Розв’язання: Представимо комплексне число z=1-i в тригонометричній формі та застосуємо формулу Муавра піднесення комплексного числа до n-го степеня. Тригонометрична форма комплексного числа має вигляд: z=r(cos φ+isin φ), де ;

в нашому випадку а=1; b=-;i==2; .

Звідси ; Тодіz=2(cos+isin).

z³⁰=.

Відповідь: 2³⁰.

2. Представити у вигляді многочлена першого степеня від тригонометричних функцій кутів, кратних х cos³х.

Розв'язання: Розглянемо комплексне число z = cos x + isin x.

Тоді cos x = ; sin x = ;

cos kx = ; sin kx = ;

3

cos³x = = (z³ + 3z² * z^-1 + 3z^-2 * z +z^-3) = ((z³ + z^-3) + 3(z + z^-1)) =

= +3 = (cos 3x + 3cos x);

Відповідь: (cos 3x + 3cos x).

3. Обчислити суму: cos x + cos 2x + … + cos nx.

Розв'язання: Позначимо через S = cos x + cos 2x + … + cos nx,

T = sin x + sin 2x + … + sin nx.

Тоді S + Ti = (cos x + isin x) + (cos 2x + isin 2x) + … + (cos nx + isin nx);

cos x + isin x = a.

S+Ti = a + a² +…+ aⁿ = = = = =

= = A.

Обчислимо знаменник

a + a^-1 –2=cos x +isin x +cos x –isin x – 2 =2cos x – 2 = – 2(1 –cos x) = – 4 sin² ;

A = =

= + i ;

Отже,

S = = =

= = =

= = ;

Відповідь: .

4. Знайти суму всіх первісних коренів 15-го степеня з одиниці.

Розв'язання: Нехай ξ₁ – первісний корінь 15-го степеня з одиниці:

ξ₁ = cos + isin ;

Піднесенням ξ₁ до степенів від 0 до 14 одержуємо всі корені 15-го степеня з одиниці. Сума всіх коренів 15-го степеня з одиниці дорівнює нулеві.

Знайдемо суму всіх первісних коренів 15-го степеня з одиниці. Позначимо її через S. Тоді

S = Σ ξ_i – (1 + (ξ⁵ + ξ¹⁰) + (ξ³ + ξ⁶ + ξ⁹ + ξ¹²)) = 0 – (1 – 1 – 1) = 1.

Відповідь: S = 1.

5. Дана система лінійних неоднорідних рівнянь:

x₁ – 2x₂ + 3x₃ = 2

2x₁ – x₂ – 3x₃ = –2

x₁ + 2x₂ – 4x₃ = –1

1 -2 3

1. Знайти ранг матриці А = 2 -1 -3 ;

1 2 -4

2. Дослідити систему на сумісність.

3. Обчислити визначник матриці А способом

а) зведення до трикутного вигляду

б) розкладанням за елементами першого рядка

4. Розв'язати систему рівнянь методом Гауса, методом Крамера.

5. Знайти матрицю, обернену до матриці А двома способами.

6. Записати систему рівнянь в матричному вигдяді та розв'язати її в матричному вигляді.

Розв'язання:

1) Знайдемо ранг матриці А:

А= ~ ~ ~ ~ ;r(A) = 3.

2) Досліджуємо систему рівнянь на сумісність за теоремою Кронекера-Капеллі. Виписуємо матрицю системи та розширену матрицю і знаходимо їх ранги.

А = ; .

3

3

~ ~ ~ ~ ; r(A) = 3;

r(A) = 3.

Отже, система рівнянь сумісна, так як ранг матриці А дорівнює рангу матриці А.

3) Обчислимо визначник матриці А:

а)

| A | = = = – = – = –3 = –3 = 15

б)

| A | = = 1 + 2 + 3 = 10 + 2 * (-5) + 3 * 5 = 15.

4) Розв'яжемо систему рівнянь методом Гауса. Так як елементарні перетворення матриці не змінюють її рангу, а кожній матриці можна поставити у відповідність систему лінійних рівнянь, одержуємо:

~ .

x₁ – 2x₂ + 3x₃ = 2 x₁ = 1;

x₂ + 2x₃ = 3 ~ x₂ = 1;

–5x₃ = –5 x₃ = 1;

Відповідь: (1, 1, 1).

Розв'яжемо систему рівнянь, застосовуючи формули Крамера:

x₁ = ; x₂ = ; x₃ = .

Так як визначник матриці відмінний від нуля, то система сумісна і має єдиний розв'язок.

Знайдемо ∆x₁ = = 8 – 12 – 6 – 3 + 12 + 16 = 15;

∆ = 15; ∆x₂ = = 8 – 6 – 6 + 6 – 3 + 16 = 15;

∆x₃ = = 1 + 8 + 4 + 2 + 4 – 4 = 15;

x₁ = ; x₁ = 1; x₂= ; x₂ = 1; x₃= ; x₃ = 1.

Відповідь: (1, 1, 1).

5) Знайдемо матрицю, обернену до матриці А. Матриця А невироджена (|А|  0), а тому має обернену.

а) Методом алгебраїчних доповнень знайдемо матрицю А*, приєднану до матриці А.

A₁₁ = 10; A₂₁ = –2; A₃₁ = 9;

А = ; A₁₂ = 5; A₂₂ = –7; A₃₂ = 9;

A₁₃ = 5; A₂₃ = –4; A₃₃ = 3.

A* = . A^-1 = ; ∆ = 15.

A^-1 = .

б) Знайдемо обернену матрицю методом елементарних перетворень комбінованої матриці. Запишемо комбіновану матрицю:

(А / Е) =

Зводимо цю матрицю до вигляду (Е / А^-1).

(А / Е) ~ ~ ~ ~

~ ~ ~

~

А^-1 = .

6) Запишемо систему рівнянь у матричному вигляді:

x₁ – 2x₂ + 3x₃ = 2

2x₁ – x₂ – 3x₃ = –2 А = ; В = ; Х = .

x₁ + 2x₂ – 4x₃ = –1

Тоді система рівнянь приймає вид: А * Х = В або

* = , звідси Х = А^-1 * В – розв'язок системи.

Х = * =

=( + – ; + – ; + – ) = (1, 1, 1).

Відповідь: Х = (1, 1, 1).

6. За допомогою теореми про накладання розв'язків знайти загальний розв'язок системи лінійних рівнянь:

x₁ + 2x₂ + x₃ + 3x₄ = 9

2x₁ – x₂ – 3x₃ + x₄ = –2

Р

~

~

озв'язання: Загальний розв'язок системи рівнянь можна знайти за формулою: Х = Х₀ + Х, де Х₀ – частинний розв'язок данної системи рівнянь, а Х – загальний розв'язок відповідної до неї системи однорідних лінійних рівнянь. Система рівнянь еквівалентна матриці:

А = .

Знайдемо ранг матриці А:

~ ;r(A) = 2; r(A) = 2.

Так як ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці, то дана система сумісна і має безліч розв'язків (r < n), де n – кількість невідомих.

Дана система рівнянь еквівалентна системі:

~

x₁ + 2x₂ + x₃ + 3x₄ = 9 x₁ + 2x₂ + x₃ + 3x₄ = 9

–5x₂ – 5x₃ – 5x₄ = -20 x₂ + x₃ + x₄ = 4

Нехай х₃ і х₄ – вільні невідомі. Надамо їм нульових значень: х₃ = х₄ = 0, тоді

~

x₁ + 2x₂ = 9 х₁ = 1;

x₂ = 4 х₂ = 4;

Отже, Х₀ = (1, 4, 0, 0) – деякий частинний розв'язок заданої системи рівнянь.

Запишемо однорідну систему лінійних рівнянь, відповідну заданій системі:

x₁ + 2x₂ +x₃ + 3x₄ = 0;

x₂ + x₃ + x₄ = 0.

Знайдемо фундаментальну систему розв'язків цієї системи; вона складається з 4 – 2 = 2 розв'язків. У просторі R² візьмемо базис: е₁ = (1, 0); е₂ = (0, 1) і вільним невідомим х₃ і х₄ надамо значень з базису <е₁, е₂>.

х

~

₃ = 1; х₁ + 2х₂ = –1; х₁ = 1;

х₄ = 0; х₂ = –1; х₂ = –1,

~

тоді Х' = (-1, -1, 1, 0) – один із фундаментальних розв'язків однорідної системи.

Нехай х₃ = 0, х₄ = 1, тоді одержуємо:

х

~

₃ = 0; х₁ + 2х₂ = –3; х₁ = –1;

х₄ = 1; х₂ = –1; х₂ = –1

~

і вектор Х'' = (-1, -1, 0, 1) – другий фундаментальний розв'язок.

Загальний розв'язок однорідної системи знаходимо як лінійну комбінацію фундаментальних розв'язків:

~

~

~

~

Х = αХ' + βХ''; Х = (α, -α, α, 0) + (-β, -β, 0, β) = (α – β, -α – β, α, β); α, β Є R.

Загальний розв'язок даної системи лінійних неоднорідних рівнянь має вигляд:

~

Х= Х₀ + Х = (1, 4, 0, 0) + (α – β, -α – β, α, β) = (1 – α – β; 4 – α – β; α, β); α, β Є R.

Відповідь: (1 – α – β; 4 – α – β; α, β); α, β Є R.