4. Точечная оценка математического ожидания найдена при проверке гипотезы о соответствии распределения нормальному закону: (метод моментов).

Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии определяется из неравенства:

,

где определяется из уравнения .

Учитывая, что , получаем . По таблице находим . Тогда . Доверительный интервал для математического ожидания будет:

, то есть .

Задание 2. Имеются следующие данные о расходе бензина автомобилями некоторой марки:

Мощность двигателя, л.с.	Расход бензина, л. /100км.	Мощность двигателя, л.с.	Расход бензина, л. /100км.
110 87 115 90 160 84 190 105 99 240	9,5 5,7 9,0 6,1 14,5 6,0 17,4 8,0 7,3 22,0	143 150 205 125 140 200 175 220 132 165	12,7 13,0 18,0 11,0 12,6 17,5 16,1 19,7 10,2 15,0

Требуется:

1. Оценить степень зависимости между переменными;

2. Найти уравнение линейной регрессии;

3. Интерпретировать полученную модель, сделать выводы.

Решение.

1. Для определения тесноты связи вычислим коэффициент корреляции, для чего составим расчетную таблицу:

1	2	3	4	5	6
1	65	1533	4225	2350089	99645
2	70	87	4900	7569	6090
3	73	97	5329	9409	7081
4	80	66	6400	4356	5280
5	80	87	6400	7569	6960
6	80	272	6400	73984	21760
7	85	58	7225	3364	4930
8	86	102	7396	10404	8772
9	87	146	7569	21316	12702
10	90	112	8100	12544	10080
11	90	184	8100	33856	16560
12	90	437	8100	190969	39330
13	92	320	8464	102400	29440
14	93	335	8649	112225	31155
15	101	204	10201	41616	20604
16	101	407	10201	165649	41107
17	104	247	10816	61009	25688
18	106	460	11236	211600	48760
19	110	301	12100	90601	33110
20	115	970	13225	940900	111550
21	125	563	15625	316969	70375
22	142	592	20164	350464	84064
	1975	7580	200915	5118862	735043

Коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:

.

а) Найдем средние значения:

(сумма значений второго столбца, деленная на число строк):

;

(сумма значений третьего столбца, деленная на число строк):

;

(среднее значение шестого столбца):

.

б) Найдем средние квадратические отклонения и :

где рассчитывается как среднее значение четвертого столбца.

Аналогично ,

где - среднее значение пятого столбца.

в) Подставляя найденные значения в формулу коэффициента корреляции, получим:

.

2. Найдем уравнение линейной регрессии.

а) Для определения параметров и линии регрессии составим систему нормальных уравнений:

б) Подставляя найденные в предыдущем пункте задачи средние значения , , , , получим:

.

в). Решая эту систему, найдем ; 137.18. Тогда уравнение регрессии имеет вид:

.

3. Таким образом, можно сделать вывод, что связь между весом телефона и его ценой прямая и слабая связь, так как полученный коэффициент корреляции положительный и . Это говорит о том, что вес телефона () почти не влияет на его стоимость ().

Выясним, какая часть вариации обусловлена вариацией , для этого вычислим коэффициент детерминации:

.

То есть вариация цены телефона () на 4.1% обусловлена вариацией веса телефона ().

Положительный коэффициент регрессии ; подтверждает то, что связь между ценой телефона и его весом прямая. Вычислим коэффициент эластичности:

.

Полученный коэффициент свидетельствует о том, что при увеличении веса телефона на 1%, его цена в среднем увеличится на 0.6%.

10