Тема 10. Построение графиков

Цель: Ознакомить с правилами построения графиков линейных функций

План:

10.1. Понятие функции

10.2. Последовательность построения графика

Основные понятия: функция, координата, координатные оси, график функции

Если каждому значению величины хсоответствует вполне определенное значение величиныу, то эта величинауназывается функцией отх. Величинах при этом называется аргументом функцииу.

Функция – это правило (f), по которому независимой переменной х ставится в соответствии зависимая переменнаяу = f(х). Множество математических функций делят на:

1.      линейные функции или линейная зависимость;

2.      нелинейные функции (кривые).

Линейной функциейназывают функцию вида:у = ах + b, где х – независимая переменная или аргумент, а и  b - данные числа. Например, у = 2х – 3, а=2, b=-3.

Можно вообще рассматривать произвольное уравнение первой степени, т.е. такое, в котором переменные х и у находятся в первой степени. Ах + Ву + С = 0, при В ≠ 0, которое по существу определяет у как линейную функцию х:

График линейной функции– всегда прямая линия. Или наоборот: любая прямая координатной плоскости, за исключением вертикальных прямых, может быть графиком линейной функции.

Рассмотрим отдельные случаи линейных функций (рис.1):

1.      при b = 0 – функция принимает вид у = ах. В этом случае говорят, что у прямо пропорционально х. А равенство у = ах задаёт прямую пропорциональную зависимостьмежду х и у.  График такой функции всегда проходит через начало координат, то есть точку с координатами О (0,0);

2.      при а = 0 - функция принимает вид у = b. График – прямая параллельная оси ОХ;

                                                   

[ 

 

                                                   

Рис.1.

Способы построения линейной функции

І. Способ построения:

Для построения графика линейной функции необходимо знать координаты двух точек. Отложив их на координатной плоскости и соединив, мы получим график данной функции.

Для построения графика прямой пропорциональности достаточно найти всего одну точку, так как второй будет точка начала координат (0,0).

Построим две функции  у = 2х-3 и  у = . Для этого необходимо составить таблицы, в которых произвольно выбрать значение х и вычислить соответствующее значение у.

 

у = 2х–3
х	0	2
у	у=2*0–3= –3	у=2*2–3=1

 

х	0	5
у	у = =3	у = =0

При составлении таблиц желательно подбирать значения х такие, при которых удобно было бы вычислять у. Так для первой функции большого значения выбор х не имеет, просто берём маленькие значения, а для второй функции число 5 при умножении сокращается со знаменателем дроби и сводит вычисление у к устному счёту (рис.2).

Иногда удобно наоборот  подбирать значения у и находить х. 

Рис.2.

ІІ. Способ построения:

Графиком функции у = ах + b служит прямая, параллельная линии у = ах, сдвигом на b единиц вверх при b>0  или вниз при b<0.

Для функции у = 2х -3 нужно построить прямую у =2х и параллельно её сдвинуть вниз на 3 единицы  (b= -3) (рис.3).

 Соответственно, для функции у = ,нужно построить прямую у = и сдвинуть её на три единицы вверх (b= 3) (рис.4).

                                       Рис.3.                                                   Рис.4.

Точки пересечения графика с осями координат

График линейной функции всегда будет иметь общие точки или с одной осью координат или с двумя.

Точка пересечения с осью ОХ всегда имеет координату у = 0 (рис.4). Точка с координатами (5,0).

Аналогично, точка пересечения с осью ОУ всегда имеет координату х = 0 (рис.4). Точка с координатами (0,3).

Для того, чтобы найти точки пересечения с осями координат необходимо в уравнение функции подставить х = 0  и вычислить у, а потом наоборот: у = 0, и вычисляем х.

Зная эти точки, можно строить график функции.

Выводы: Придавая х конкретные значения, легко вычислить соответствующие значения у. линейная функция - это специальный вид линейного уравнения с двумя переменными. Многие реальные ситуации описываются математическими моделями, представляющими собой линейные функции.

Литература:

1. Барчуков И.С. Методы научных исследований в туризме. - М.: Академия, 2008. – 224с.

2. Основы научных исследований: учебное пособие / Шкляр М.Ф. – М.: Дашков и К^о, 2008. - 244с.

3. Основы научных исследований: учебник для технических вузов / Крутов В.И., Грушко И.М., Попов В.В. – М.: Высшая школа, 1989. - 400с.