Темы 6, 7. Эмпирические формулы. Построение эмпирических линейных зависимостей

Цель: Ознакомить с понятием эмпирической формулы; методикой построения эмпирических линейных зависимостей и выбора эмпирических формул для них

План:

6.1. Понятие эмпирической формулы и эмпирической зависимости

6.2. Построение эмпирических линейных зависимостей

Основные понятия: эмпирическая формула, эмпирический коэффициент, метод выбранной точки, метод средних, метод наименьших квадратов

Эмпирической формулой называется математическое уравнение, полученное опытным путём, методом проб и ошибок или как приближённая формула из экспериментальных данных. Таким образом, на момент открытия оно не имеет известного теоретического обоснования. В частности, размерности используемых и вычисляемых в формуле величин не соответствуют друг другу. Другой характерной особенностью таких формул, выражающих эмпирические закономерности, является наличие эмпирических коэффициентов — специально подобранных параметров эмпирической формулы. Эмпирическая формула также может являться простым аналогом более сложного точного теоретического соотношения.

Очень часто некоторое явление характеризуется двумя варьируемыми величинами xиy, из которыхxвыбирается как независимая, аy- как зависимая переменная величина. Обычно предполагают, что между переменнымиxиyсуществует однозначное соответствие, т.е. каждому значению независимой величиныxсоответствует с заданной степенью точности одно значение зависимой переменнойy .Такая зависимость может быть изображена в виде функцииy = f(x), причем аналитическое выражение этой функции пока не известно.

В общем виде задачу можно сформулировать следующим образом: пусть в результате исследования некоторой величины xзначениям x₁, x₂, … , x_nпоставлены в соответствие значения y₁, y₂, … , y_nнекоторой величиныy. Требуется подобрать вид аналитической зависимостиy=f(x), связывающие переменные x и y.

Аналитические зависимости, полученные в результате наблюдений, обычно называют эмпирическими. Выявления эмпирических зависимостей делятся на два основных этапа:

1) Выбор эмпирической формулы

2) уточнение коэффициентоввыбранной формулы.

Для второго этапа наиболее распространены три метода определения коэффициентов формульных зависимостей:

·      метод выбранных точек;

·      метод средних;

·      метод наименьших квадратов (МНК).

Темы 8, 9. Выбор эмпирических формул для нелинейных зависимостей

Цель: Ознакомить с методикой выбора эмпирических формул для нелинейных зависимостей

План:

8.1. Необходимость обработки экспериментальных данных

8.2. Последовательность обработки экспериментальных данных

Основные понятия:

Если искомая функция на графике не ложится на прямую, то трудно сказать, какой аналитический вид она имеет. Поэтому можно воспользоваться следующими рекомендациями:

Пусть yфункция одной переменной с двумя параметрамиaиb. В качестве набора функций, из которых будем выбирать эмпирическую зависимость можно рассмотреть:

1) линейную функцию y = a+bx;

2) показательную функцию y = a * b^x;

3) дробно-рациональную функцию y = 1/ (a+bx);

4) логарифмическую функцию y = a + b * ln(x);

5) степенную функцию y = a * x^b(она определяет параболическую зависимость, если параметр b > 0, и гиперболическую зависимость, если b < 0; если же параметр b = 0, то зависимость вырождается в линейную);

6) гиперболическую функцию вида y = a + b/x;

7) дробно-рациональную функцию вида y = x/(a+bx).

Для наилучшего выбора вида аналитической зависимости y = f(x,a,b) выполняют следующие промежуточные вычисления:

1) на заданном отрезке изменения независимой переменной выбирают точки, достаточно надежные и по возможности далеко отстоящие друг от друга. Для простоты будем считать, что это точки x₁иx_n. Для этих точек имеют значенияy₁иy_n.

Вычисляют

среднее арифметическое

среднее геометрическое

среднее гармоническое

2) По вычисленным значениям независимой переменной из построенного графика находят соответствующие значения зависимой переменной

y₁* = f(x_arif)

y₂* = f(x_geom)

y₃* = f(x_garm)

для пока еще неизвестной аналитической зависимости y = f(x,a,b).

3) Выполняют вспомогательные вычисления для зависимой переменной. Вычисляют

среднее арифметическое

среднее геометрическое

среднее гармоническое

4) Сравнивают найденные из графика значения y₁*,y₂* и y₃* с вычисленными значениями y_arif, y_geom и y_garmи оценивают следующие погрешности результата сравнения:

e₁ = ½y₁* - y_arif½ : e₂ = ½y₁* - y_geom½ : e₃ = ½y₁* - y_garm½

e₄ = ½y₂* - y_arif½ : e₅ = ½y₂* - y_geom½ : e₆ = ½y₃* - y_arif½ : e₇ = ½y₃* - y_garm½

Из этих ошибок находится минимальная:

e = min{e₁, e₂, …, e₇}.

1) Если минимальной ошибкой окажется e₁, то в качестве аналитической зависимости для данного графика хорошим приближением служит линейная функция y = a + bx .

2) Если наименьшей абсолютной ошибкой является e₂, то в качестве эмпирической зависимости следует выбрать показательную функцию y = a * b^x.

3) В том случае, когда наименьшая из абсолютных ошибок есть e₃, искомая эмпирическая зависимость определяет дробно-рациональную функцию y = 1/ (a+bx).

4) Если наименьшая из абсолютных ошибок есть e₄, то хорошим приближением служит логарифмическая функция y = a + b * ln(x).

5) Для случая, когда наименьшей абсолютной ошибкой является e₅, в качестве эмпирической зависимости выбирается степенная функция y = a * x^b.

6) Если наименьшей из абсолютных ошибок окажется e₆, то за искомую зависимость следует выбрать гиперболическую функцию вида y = a + b/x.

7) В том случае, когда наименьшая из абсолютных ошибок есть e₇, в качестве аналитической зависимости выбирается дробно-рациональная функция вида y = x/(a+bx).

Пример. Подобрать эмпирическую зависимость для функции, заданной таблично

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9
y	521	308	240.5	204	183	171	159	152	147

Построим график функции

1) Предположим, что в данном примере крайние табличные значения достаточно надежны. Проведем вспомогательные вычисления и найдем для крайних значений независимой переменной x₁=1 и x₉=9 среднее арифметическое x_arif= 5, x_geom= 3 и x_garm = 1.8 .

2) Из графика найдем значения функции, соответствующие вычисленным значениям аргумента: y₁* = f(5) » 180; y₂* = f(3) » 240 и y₃* = f(1.8) » 341 .

3) Выполним дополнительные расчеты для зависимой переменной. Найдем для крайних значений среднее арифметическое y_arif= (521+147)/2 = 334; y_geom= 274 и y_garm= 228 .

4) Сравним найденные графически значения зависимой переменной с y_arif, y_geomи y_garm

e₁ = ½y₁* - y_arif½ = ½180 -334½ = 154 : e₂ = ½y₁* - y_geom½ = ½180 - 274½ = 94

e₃ = ½y₁* - y_garm½ = ½180 -228½ = 48 : e₄ = ½y₂* - y_arif½ = ½240 - 334½ = 94

e₅ = ½y₂* - y_geom½ = ½240 - 274½ = 34 : e₆ = ½y₃* - y_arif½ = ½341 - 334½ = 7

e₇= ½y₃* - y_garm½ = ½341 - 228½ = 113 .

Так как наименьшая из абсолютных ошибок есть e₆, то в качестве аналитической зависимости следует выбрать гиперболическую зависимость вида y = a + b/x.