1.3 Температурный градиент

Если соединить точки тела, имеющие одинаковую температуру, по­лучим поверхность равных температур, называемую изотермиче­ской. Итак, изотермической поверхностью называется геометрическое место точек в температурном поле, имеющих одинаковую температуру.

Так как одна и та же точка тела не может одновременно иметь различные температуры, то изотермические поверхности не пересекают­ся. Они либо оканчиваются на поверхности тела, либо целиком распо­лагаются внутри самого тела.

Пересечение изотермических поверхностей плоскостью дает на этой плоскости семейство изотерм. Они обладают теми же свойствами, что и изотермические поверхности, т. е. не пересека­ются, не обрываются внутри тела, оканчиваются на поверхности, либо целиком располагаются внутри самого тела.

Рисунок 1.1- Изотермы

На рисунке 1.1 приведены изотермы, температу­ры которых отличаются на t.

Температура в теле изменяется только в направлениях, пересекающих изотермические поверхности. При этом наибольший перепад температуры на единицу длины происходит в направления нормали к изотермической поверх­ности.

Возрастание температуры в направлении нормали к изотермической поверхности характеризуется градиентом температуры.

Градиент температуры есть вектор, направленный по нормали к изо­термической поверхности в сторону возрастания температуры и числен­но равный производной от температуры по этому направлению, т. е.

grad t = , (1.6)

где n_о—единичный вектор, нормальный к изотермической поверхности и направленный в сторону возрастания температуры; dt/dn — производ­ная температура по нормали n.

Скалярная величина температурного градиента dt/dn не одинакова для различных точек изотермической поверхности. Она больше там, где расстояние между изотермическими поверхностями меньше. Скаляр­ную величину температурного градиента dt/dn мы будем также назы­ватьтемпературным градиентом.

Величина dt/dn в направлении убывания температуры отрица­тельна.

Проекции вектора grad t на координатные оси Ох, Оу, Оz будут равны:

(grad t)_x =

(grad t)_y = (1-7)

(grad t)_z =

Лекция 3

Тема: ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ УЧЕНИЯ О ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

План лекции

1.4 Тепловой поток. Закон Фурье

1.5 Коэффициент теплопроводности

1.4 Тепловой поток. Закон фурье

Необходимым условием распространения теплоты является нерав­номерность распределения температуры в рассматриваемой среде. Та­ким образом, для передачи теплоты теплопроводностью необходимо неравенство нулю температурного градиента в различных точках тела.

Согласно гипотезе Фурье количество теплоты dQ, Дж, про­ходящее через элемент изотермической поверхности dF за промежуток времени d, пропорционально температурному градиенту dt/dn.

. (1.8)

Опытным путем установлено, что коэффициент пропорциональности в уравнении (1.8) есть физический параметр вещества. Он характери­зует способность вещества проводить теплоту и называется коэффи­циентом теплопроводности.

Количество теплоты, проходящее в единицу времени через единицу

площади изотермической поверхности ,Вт/м², называется плот­ностью теплового п о т о к а. Плотность теплового потока есть вектор, определяемый соотношением

. (1.9)

Вектор плотности теплового потока q направлен по нормали к изо­термической поверхности. Его положительное направление совпадает с направлением убывания температуры, так как теплота всегда пере­дается от более горячих частей тела к холодным. Таким образом, век­торы q и grad t лежат на одной прямой, но направлены в противопо­ложные стороны. Это и объясняет наличие знака «минус» в правых частях уравнений (1.9) и (1.8).

Линии, касательные к которым совпадают с направлением вектора

q, называются линиями теплового потока. Линии теплового по­тока ортогональны к изотермическим поверхностям (рисунок 1.2).

Рисунок 1.2 – Изотермы и линии теплового потока

Скалярная величина вектора плотности теплового потока q, Вт/м², будет равна:

, (1.10)

Многочисленные опыты подтвердили справедливость гипотезы Фурье. Поэтому уравнение (1.8), так же как и уравнение (1.9), явля­ется математической записью основного закона теплопроводности, ко­торый формируется следующим образом: плот­ность теплового потока пропорциональна гради­енту температуры.

Количество теплоты, проходящее в единицу времени через изотермическую поверхность F, называется тепловым потоком. Если гра­диент температуры для различных точек изотер­мической поверхности различен, то количество теплоты, которое пройдет через всю изотермиче­скую поверхность в единицу времени, найдется как

, (1.11)

где dF —элемент изотермической поверхности. Величина Q измеряется в ваттах.

Полное количество теплоты Q, Дж, прошедшее за время т через изотермическую поверхность F, равно:

, (1.12)

Из сказанного следует, что для определения количества теплоты, проходящего через какую-либо поверхность твердого тела, необходи­мо знать температурное поле внутри рассматриваемого тела. Нахожде­ние температурного поля и является главной задачей аналитической теории теплопроводности.