§ 2. Определение евклидова пространства

Определение 1. Вещественное линейное пространство называют евклидовым, если в нем определена операция, ставящая в соответствие любым двум векторам и вещественное число, называемое скалярным произведением и обозначаемое , и

при этом выполнены следующие условия:

1) ;

2) , для любого вектора ;

3) , для любого числа ;

4) , если .

Рассмотрим примеры.

Пример 1. В векторной алгебре для множества свободных век­торов было определено скалярное произведение двух векторов, как про­изведение их длин на косинус угла между ними. Было доказано, что таким образом определенное скалярное произведение обладает всеми свойствами 1–4 определения евклидова пространства.

Пример 2. В линейном пространстве одностолбцовых матриц можно ввести ска­лярное произведение векторов

,

по формуле

. (2.3)

На это определение можно смотреть как на обобщение формулы, выражаю­щей скалярное произведение векторов в векторной алгебре, заданных своими координатами. Нетрудно проверить непосредственно, что все 1–4 условия выполнены.

Пример 3. В линейном пространстве непрерывных функций наможно ввести скалярное произведение функций ипо формуле

.

Выполнение условий 1–4 легко проверить, применяя основные правила интегрирования. Пространство , с так введенным скалярным произведением обозначается через.

§ 3. Длина вектора

Определение 1. Длиной (модулем) вектора в евклидовом пространстве называют корень квадратный из скалярного про­изведения вектора на самого себя и обозначают , так что

(2.4)

Всякий вектор евклидова пространства имеет длину. У нуле­вого вектора длина равна нулю, у всякого другого – положительна. Вектор называют нормированным, если его длина равна единице. Легко видеть, что если любой ненулевой вектор умножить на число , то вектор имеет длину, равную единице. Эту операцию получения нормированного вектора называют нормированием.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Для множества свободных векторов введенное опре­деление длины вектора совпадает с обычным понятием длины вектора.

Пример 2. В линейном пространстве одностолбцовых матриц выражение для длины вектора

имеет вид

.

§ 4. Неравенство Коши-Буняковского

Теорема. В евклидовом пространстве скалярное произве­дение произвольных векторов и не превышает произведения длин этих векторов, т. е. имеет место неравенство

. (2.5)

Заметим, что неравенство называют неравенством Коши-Буняковского. Доказательство. Для доказательства неравенства (2.5) заметим, что в согласии с условием 4 определения евклидова пространства, можем написать

, (2.6)

где – любое вещественное число. Используя дважды условие 2, можем написать левую часть неравенства (2.6) в виде

.

Воспользовавшись теперь условием 3, получим

.

Обратившись к условию 1, запишем неравенство (2.6) окончательно в виде

.

В левой части последнего неравенства стоит квадратный трех­член относительно . Так как этот трехчлен неотрицателен при любом , то его дискриминант не может быть положительным, т. е.

.

Записав последнее неравенство в виде

и извлекая, квадратный корень из обеих частей неравенства, по­лучим (2.5).