osnovi_gidravliki

Решение. Равнодействующая силы гидростатического давления определяется по выражению (28):

F = Fx2 + Fy2 + Fz2 .

В данном случае Fy можно не учитывать, тогда

F = Fx2 + Fz2 .

Значение горизонтальной составляющей Fx можно определить

по формуле (25), которая будет иметь вид:

Fx = ρ g hC S / ,

где ρ = 892 кг/м3 – максимальная плотность минерального масла

(табл. 1); hC = D2 – глубина погружения центра тяжести, м;

S / = L D– площадь проекции боковой поверхности цистерны на вертикальную координатную плоскость, м2.

Соответственно

Fx = ρ g D2 L D =892 9,8 12,8 6 1,8 =84968,35 Н.

Вертикальная составляющая силы абсолютного гидростатического давления при p0 = pат по выражению (27) будет равна

Fz = ρ g V .

Так как по условию задания необходимо определить силу давления жидкости на внутреннюю боковую поверхность цистерны, объем тела давления V равняется половине объема цистерны (рис. 19):

V = 12 L π 4D2 .

Тогда

F = 84968,352 +66700,162 =108021Н.

Направление действия равнодействующей F определяется положением точки пересечения направлений действия составляющих Fx и Fz , а также косинусом угла наклона равнодействующей к гори-

зонту:

42

Из условия равновесия поплавка выразим и определим его вес:

Gп +G + Fг = FА,

Gп = FА −G − Fг =13 −1,5 −9,2 = 2,3 Н.

Толщина поплавка будет равна:

44

Задание 2.2 Чему равен объем воды ( ρв =1000 кг/м3 ), находящейся под атмосферным давлением ( p0 = pат) в цилиндрическом ре-

зервуаре с диаметром D , если в пневматическое устройство для измерения количества жидкости (рис. 11) подается газ (воздух) под абсолютным давлением pг ?

Исходные данные приведены в табл. 11.

Таблица 11

Исходные данные к выполнению задания 2.2

Задание 2.3 Стальной резервуар, имеющий форму шара (рис. 19), диаметром D полностью заполнен нефтью с плотностью ρн. Из-

быточное давление на поверхности жидкости p0. Определить силу давления жидкости на внутреннюю боковую поверхность резервуара и направление этой силы.

Исходные данные приведены в табл. 12.

45

3 Гидродинамика

Гидродинамика – раздел гидравлики, в котором рассматриваются законы движения жидкостей.

Для возникновения движения жидкости необходима разность давлений, которая создается с помощью специальных машин (насосов, компрессоров), либо вследствие разности уровней или плотностей жидкости.

Знание законов гидродинамики позволяет находить разность давлений, необходимую для перемещения данного количества жидкости с требуемой скоростью, и, соответственно, расход энергии на это перемещение, или наоборот – определять скорость и количество перемещаемой жидкости при известном перепаде давления.

Основными параметрами, характеризующими движение жидкости, являются скорость и давление, изменяющиеся в пространстве и во времени. Соответственно задача гидродинамики состоит в исследовании изменения этих параметров в потоке жидкости, т.е. в нахождении

где W и p - скорость и давление в рассматриваемой точке жидкости; x, y, z - координаты этой точки; τ - время.

3.1 Основные характеристики движения жидкостей 3.1.1 Скорость и расход жидкости

Рассмотрим движение жидкости по трубе постоянного сечения. Количество жидкости, протекающей через живое сечение потока*

в единицу времени, называют расходом жидкости. Различают объем-

ный расход, измеряемый в м3/с, и массовый расход, измеряемый в кг/с. В разных точках живого сечения потока скорость частиц жидкости неодинакова. Поэтому в расчетах обычно используют не истинные (локальные) скорости, а среднюю скорость. Средняя скорость обозначается буквой W и выражается отношением объемного расхода жид-

кости Q (м3/с) к площади живого сечения S (м2) потока:

* Живым сечением потока называется поперечное сечение потока, перпендикулярное его направлению.

46

На практике скорости протекания жидкостей и паров в трубопроводах близки к значениям, указанным в табл. 13

Таблица 13

Скорости движения жидкостей, газов и паров в трубопроводах

3.1.2 Гидравлический радиус и эквивалентный диаметр

При движении жидкости в трубопроводе круглого сечения, в качестве расчетного линейного размера принимают внутренний диаметр трубопровода. Если форма сечения отлична от круглой, используют понятия гидравлический радиус и эквивалентный диаметр.

Под гидравлическим радиусом rг (м) понимают отношение пло-

щади затопленного сечения трубопровода или канала, через которое протекает жидкость, т. е. живого сечения потока S (м2), к смоченному

47

периметру П (м):

Смоченным периметром называют полный периметр поперечного сечения потока.

Для круглой трубы с внутренним диаметром d гидравлический радиус составит

Диаметр, выраженный через гидравлический радиус, называется эквивалентным диаметром:

dэ = 4rг , м.

Следовательно, согласно уравнению (35)

3.1.3 Установившееся и неустановившееся движение жидкости

Все случаи течения жидкости можно разделить на две группы: установившееся и неустановившееся движение.

Установившимся называется такое движение жидкости, при котором скорость и давление в различных точках потока не меняются с течением времени, а зависят только от положения точки в потоке жидкости, т.е. являются функциями ее координат:

W = f1(x, y, z), dWdτ = 0; p = f2 (x, y, z), ddpτ = 0.

Неустановившимся называется такой вид движения, при котором скорость движения жидкости и давление в каждой ее точке изменяются с течением времени, т.е. являются функциями не только координат, но и времени. Неустановившееся движение жидкости описывается системой уравнений (31).

Примером неустановившегося движения может служить истечение жидкости из резервуара через отверстие – с понижением высоты столба жидкости в резервуаре скорость истечения жидкости уменьшается во времени.

48

3.2 Уравнения движения жидкости 3.2.1 Уравнение постоянства расхода жидкости

Рассмотрим установившееся движение жидкости в жестком русле переменного сечения (рис. 22). Выберем два произвольных сечения I-I и II-II, нормальных к оси потока, и рассмотрим заключенный между ними участок потока. Через сечение I-I за время τ пройдет жидкость в количестве m1, а через сечение II-II – в количестве m2 .

Рис. 22. К выводу уравнений постоянства расхода и неразрывности потока.

Выразим массы m1 и m2 через объемные расходы Q1 и Q2 жид-

кости сечениях I-I и II-II:

m1 = ρ1 Q1 τ; m2 = ρ2 Q2 τ,

где ρ1 и ρ2 – плотность жидкости в сечениях I-I и II-II, кг/м3. Очевидно, что m1 = m2 = const , соответственно

ρ1 Q1 = ρ2 Q2.

Так как жидкость несжимаема, то

Это уравнение называют уравнением постоянства расхода. Из него следует, что при установившемся движении несжимаемой жидкости расход ее постоянен в любом сечении потока.

3.2.2 Уравнение неразрывности потока жидкости

Сопоставив уравнения (33) и (37) запишем:

Уравнение (38) называют уравнением неразрывности потока.

49

Оно показывает, что при установившемся движении несжимаемой жидкости произведение средней скорости потока на площадь живого сечения является постоянной величиной.

Из уравнения (38) можно получить:

W1 = S2 = const. W2 S1

Следовательно, при установившемся движении несжимаемой жидкости средние скорости потока обратно пропорциональны площадям соответствующих живых сечений.

3.2.3 Уравнение Бернулли для потока жидкости

Закон Бернулли и его аналитическое выражение (уравнение Бернулли) по сути являются частной формулировкой (применительно к потоку жидкости) закона сохранения и превращения энергии.

Рассмотрим установившееся движение потока жидкости (рис. 23). Выберем два произвольных сечения I-I и II-II, нормальных к оси потока, и рассмотрим заключенный между ними участок потока. Ведем обозначения:

W1 и W2 – средние скорости потока в сечениях I-I и II-II, м/с; S1 и S2 – площади живых сечений, м2;

p1 и p2 – давления в центрах тяжести сечений I-I и II-II, Па;

z1 и z2 – расстояния от центров тяжести сечений I-I и II-II до

произвольно выбранной плоскости сравнения 0-0, м.

Применим к рассматриваемому участку потока закон сохранения энергии.

За время τ частицы жидкости из сечения I-I переместятся в сечение I/-I/, а из сечения II-II в сечение II/-II/. Через сечение I-I за время τ пройдет объем жидкости V1 = Q1 τ , м3, а через сечение

II-II объем V2 = Q2 τ , м3. Определим количество энергии, внесен-

ной потоком в рассматриваемый участок за время τ через сечение

I-I.

Кинетическая энергия объема V1 :

Потенциальная энергия положения того же объема: