osnovi_gidravliki

Сила тяжести, действующая на параллелепипед, выражается произведением его массы dm на ускорение свободного падения g, т.е. равна g·dm.

Сила гидростатического давления на любую из граней параллелепипеда равна произведению гидростатического давления p на площадь этой грани.

Выделенный объем жидкости, находящийся под действием внешних сил, будет находиться в равновесии, если сумма проекций всех действующих сил на любую из координатных осей будет равна нулю.

Рассмотрим сумму проекций сил на ось z. Проекция силы тяже-

сти

− g dm = −g ρ dV = −ρ g dx dy dz .

Проекция силы гидростатического давления на нижнюю грань p dx dy .

Если элементарное изменение гидростатического давления в направлении оси z равно ∂∂pz , то по всей длине ребра dz оно составит

∂∂pz dz . Тогда гидростатическое давление на противоположную

ского давления на ось z составит

−p + ∂p dz dx dy .∂z

Проекция равнодействующей силы давления на ось z

Сумма проекций сил на ось z равна нулю, т.е.

− ρ g dx dy dz − ∂∂pz dx dy dz = 0.

Учитывая, что dx dy dz = dV ≠ 0 , получим

− ρ g − ∂∂pz = 0.

Проекции сил тяжести на оси x и y равны нулю. Поэтому сумма проекций сил на ось x составит

21

или

− ∂∂px = 0 .

Соответственно для оси y

или

− ∂∂py = 0 .

Таким образом, условия равновесия элементарного объема жидкости выражаются системой уравнений:

Уравнения (10) представляют собой дифференциальные уравнения равновесия жидкости (уравнения Эйлера).

Для получения закона распределения давления во всем объеме покоящейся жидкости необходимо проинтегрировать систему уравнений (10). Интегралом этих уравнений является основное уравнение гидростатики, широко используемое в инженерной практике.

2.3 Основное уравнение гидростатики

Для практического использования дифференциальных уравнений Эйлера их необходимо преобразовать и проинтегрировать.

Давление в покоящейся жидкости изменяется только по вертикали (вдоль оси z) и остается одинаковым во всех точках любой гори-

зонтальной плоскости. Поэтому в системе уравнений (10) ∂∂px = 0 и

∂∂py = 0, а частная производная ∂∂pz = 0 может быть заменена на dpdz = 0 .

Соответственно можно записать

22

−ρ g − dpdz = 0,

−ρ g dz −dp = 0.

Разделив левую и правую части последнего выражения на (− ρ g), получим

dz + ρ1g dp = 0 .

Учитывая, что ρ = const , запишем

Окончательно после интегрирования получим

покоящейся капельной жидкости над произвольно выбранной плоскостью сравнения* (отсчета), м; p1 и p2 – гидростатические давления в

этих точках, Па.

* Плоскостью сравнения называют горизонтальную плоскость, проведенную на произвольной высоте и используемую для определения вертикальных координат отдельных точек в жидкости.

23

погружения точки 1 относительно поверхности жидкости (точки 2), поэтому

можно сделать вывод: давление в жидкости растет прямо пропорционально глубине, и коэффициентом пропорциональности является удельный вес жидкости.

Уравнения (14) и (15) являются математической формулировкой

закона Паскаля, согласно которому давление, производимое на покоящуюся капельную жидкость, передается одинаково всем точкам ее объема. Действительно, в соответствии с уравнением (14), при изменении давления p0 в точке z0 давление p в любой другой точке

объема жидкости изменится так же.

24

2.5 Геометрическая интерпретация основного уравнения гидростатики

Геометрически основное уравнение гидростатики (11) для произвольной точки М можно представить (рис. 7) в виде суммы двух

отрезков, высота которых равна соответственно z и ρpg . Величина z называется геометрической высотой*, она отсчитывается от произвольной плоскости сравнения 0−0. Величина ρpg

лением p в рассматриваемой точке (М) и может быть измерена так называемой приведенной высотой hпр подъема жидкости в присоеди-

ненной трубке, из которой полностью удален воздух: hпр = ρpg .

Рис. 7. Геометрическая и энергетическая интерпретация основного уравнения гидростатики.

* Геометрической высотой называют расстояние от плоскости сравнения до рассматриваемой точки.

25

Сумма геометрической высоты точки z и приведенной высоты hпр называется гидростатическим (потенциальным) напором и обо-

значается H :

H = z + hпр = z + ρpg .

Из основного уравнения гидростатики (11) можно сделать вывод, что гидростатический напор для всех точек покоящейся жидкости – величина постоянная:

H = z + ρpg = const .

Так как напор для всех точек жидкости есть величина постоянная, то жидкость в трубке будет подниматься на одну и туже высоту

относительно плоскости сравнения. Горизонтальная плоскость 0/ −0/ , которая располагается на высоте H = (z + hпр )от плоскости сравнения

0−0, называется плоскостью гидростатического напора.

Если трубка открытым концом соединена с атмосферой, то такая трубка называется пьезометром, а высота подъема жидкости в ней hп

(пьезометрическая высота) будет определяться избыточным (манометрическим) давлением pи:

hп = ρpиg .

Величина, равная сумме геометрической высоты точки z и пьезометрической высоты hп , обозначается Hп и называется пьезомет-

рическим напором:

Hп = z + hп = z + ρpиg .

Согласно основному уравнению гидростатики (11), для всех точек покоящейся жидкости можно записать

Hп = z + ρpиg = const .

Горизонтальную плоскость 0// −0//, расположенную на высоте Hп = (z + hп) от плоскости сравнения 0−0, называют плоскостью пье-

зометрического напора.

26

Таким образом, геометрическая интерпретация основного уравнения гидростатики заключается в следующем: для всех точек покоящейся жидкости гидростатический и пьезометрический напоры являются величинами постоянными.

2.6 Энергетическая интерпретация основного уравнения гидростатики

Умножим каждое слагаемое уравнения (11) на вес рассматриваемого объема жидкости m g :

z m g + ρpg m g = const .

Произведение z m g представляет собой потенциальную энер-

гию массы m, находящейся в точке M на высоте z относительно плоскости сравнения 0-0 (рис. 7).

Преобразуем второе слагаемое:

ρpg m g = ρ ρg ghпр m g = hпр m g .

Произведение hпр m g есть потенциальная энергия, необходи-

мая для поднятия массы m из точки М (рис. 7) в плоскость гидростатического напора 0/-0/ (на высоту hпр).

Разделив оба слагаемых на m g , получим удельную энергию* e = z + ρPg = const .

Таким образом, из основного уравнения гидростатики (11) следует, что сумма удельной потенциальной энергии положения z и

удельной потенциальной энергии гидростатического давления ρpg

есть величина постоянная для всех точек покоящейся жидкости.

* Удельной называют энергию, приходящуюся на единицу веса или массы тела. 27

2.7 Практические приложения основного уравнения гидростатики

Уравнение гидростатики, выражаемое часто в виде закона Паскаля, имеет ряд важных практических приложений.

Принцип сообщающихся сосудов. Пусть два сообщающихся сосуда (рис. 8, а) заполнены жидкостью. Выберем произвольную плоскость сравнения 0-0 и некоторую точку А внутри жидкости, лежащую в этой плоскости. Используя уравнение (15) выразим давление в точке А

pА = p0 + ρ g z1,

или

pА = p0 + ρ g z2 .

Следовательно z1 = z2 .

Таким образом, в сообщающихся сосудах, находящихся под одинаковым давлением и заполненных однородной жидкостью, уровни жидкости располагаются на одной высоте независимо от формы сосудов. Этот принцип используется для измерения уровня жидкости в закрытых аппаратах при помощи стеклянных трубок.

Рис. 8. Условия равновесия в сообщающихся сосудах: а - однородная жидкость; б - разнородные несмешивающиеся жидкости.

Если сообщающиеся сосуды заполнены двумя несмешивающимися жидкостями, имеющими разные плотности ρ1 и ρ2 (рис. 8, б),

получим

pА = p0 + ρ1 g z1,

или

pА = p0 + ρ2 g z2 .

28

Тогда

или

z1 = ρ2 .

z2 ρ1

Следовательно, в сообщающихся сосудах высоты уровней разнородных жидкостей обратно пропорциональны плотностям этих жидкостей.

Если сосуды заполнены одной жидкостью, но давления над уровнем жидкости в них неодинаковы и равны p1 и p2 , то

p1 + ρ g z1 = p2 + ρ g z2 ,

откуда разность уровней жидкости в сосудах

Полученное уравнение используют при измерениях давлений или разностей давлений между различными точками жидкости с помощью дифференциальных U-образных манометров (рис. 9).

Рис. 9. Применение принципа сообщающихся сосудов для измерения давления жидкости.

Определение высоты гидравлического затвора. Условия рав-

новесия жидкостей в сообщающихся сосудах можно использовать для определения высоты гидравлического затвора в различных аппаратах. Например, если в емкости (рис. 10) находится смесь жидкостей с различной плотностью ρ1 и ρ2 (эмульсия), давление над жидкостью

внутри резервуара и на выходе из затвора одинаково, граница раздела фаз поддерживается на стыке цилиндрической и конической частей емкости, то необходимая высота гидравлического затвора, согласно уравнению (16)

29

z2 = ρ1ρ z1 . 2

Рис. 10. К определению высоты гидравлического затвора.

Пневматическое измерение количества жидкости. Для изме-

рения объема жидкости в резервуарах, в них устанавливают трубку, нижний конец которой доходит практически до днища резервуара

(рис. 11).

Через верхний конец трубы в емкость подают сжатый газ, постепенно повышая его давление. Когда газ преодолеет сопротивление столба жидкости ρ g h и давление p0 на поверхность жидкости в

резервуаре, он начнет барботировать (пробулькивать) через жидкость. При этом давление газа pг , замеряемое манометром, переста-

30