Mat_Analiz_Prokhorov
.pdfЕсли в полученном неравенстве xmk mk перейти к пределу при k , то выведем неравенство , из которого следует, что
является наибольшим из частичных пределов, или верхним пределом последовательности x1, x2, ..., xn, ... и завершаем доказательство теоремы 2.
Разумеется, аналогичными средствами можно доказать теорему существования нижнего предела последовательности. Однако мы вновь воспользуемся соотношениями между гранями множеств X и X.
Теорема 3. Всякая ограниченная последовательность имеет нижний предел.
Доказательство. Пусть последовательность x1, x2, ..., xn, ... ограничена и имеет множество X своих частичных пределов. Тогда последовательность x1, x2, ..., xn, ... также ограничена и множество ее частичных пределов равно X. По теореме 2 последняя последовательность имеет наибольший из частичных пределов, или верхний предел, который обозначим через , = sup( X). Так
как sup( X) = inf X, то = inf X является наименьшим из частичным пределом последовательности x1, x2, ..., xn, ..., или ее нижним пределом. Теорема 3 доказана.
Вновь заметим, что доказательства теорем 2 и 3 богаче их формулировок. Действительно, конструктивные методы доказательных рассуждений привели к выражениям для верхнего и нижнего пределов в виде
|
lim |
xn lim sup xn inf sup xn |
|||||
|
n |
k n k |
k 1 |
n k |
|||
и |
|
|
|
|
|
||
|
lim xn lim inf xn sup inf xn |
||||||
|
n |
k n k |
k 1 n k |
||||
и соотношениями между ними |
|||||||
|
|
xn lim( xn ), |
lim xn |
|
xn ). |
||
|
lim |
lim( |
|||||
|
n |
n |
n |
|
n |
61
Если последовательность x1, x2, ..., xn, ... неограничена сверху, то разумно положить, что limn xn .
Аналогично, если последовательность x1, x2, ..., xn, ... неограничена снизу, то разумно положить, что limn xn = .
4. Сходимость последовательности, имеющей равные верхний и нижний пределы
Покажем, что сходимость последовательности эквивалентна совпадению ее верхнего и нижнего пределов.
Теорема 4. Ограниченная последовательность сходится тогда и только тогда, когда ее верхний и нижний пределы совпадают.
Доказательство. Сначала докажем необходимость утверждения. Пусть последовательность x1, x2, ..., xn, ... сходится к пределу l. По теореме 1 любая ее подпоследовательность сходится к тому же пределу l. Следовательно, все частичные пределы последовательности равны l, то есть множество X ее частичных пределов состоит только из числа l. Поэтому sup X = inf X = l, а это означает, что ее верхний и нижний пределы равны l.
Теперь докажем достаточность утверждения теоремы 4. Пусть для ограниченной последовательности x1, x2, ..., xn, ... выполняется условие
|
lim |
xn lim xn l. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из очевидных соотношений |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
k |
inf |
x , x |
k 1 |
,..., x ,... |
x |
sup |
|
x , x |
,..., x ,... |
|
k |
, k 1, |
||
|
|
|
k |
n |
|
k |
|
k k 1 |
n |
|
|
|
и равенства
lim k = lim k = l
62
Рис. 3. Сходимость последовательности xk .
по теореме 3 лекции 5 следует, что limk xk = l. Это показывает, что утверждение достаточно и завершает доказательство теоремы 4.
63
Лекция 7
1. Фундаментальные последовательности
2. Критерий Коши сходимости последовательности
3. Взаимосвязь различных свойств последовательности
4. Ряд как иная форма последовательности
5. Перенос фактов теории последовательностей в теорию рядов
1. Фундаментальные последовательности
Из определения сходящейся последовательности следует, что ее элементы скапливаются в окрестности предела. Естественно, в этом случае элементы располагаются близко друг к другу. Дадим название последовательности, обладающей лишь последним свойством и покажем, что это свойство равносильно сходимости последовательности.
Определение 1. Последовательность x1, x2, ..., xn, ..., назывется фундаментальной, если
> 0 n0 n > n0, m > n0 xn xm < .
Обратим внимание, что квантор всеобщности > 0 допускает простые обобщения определения 1. Именно, пусть C > 0 -
фиксированное число. Если принимает все положительные значения, то C также принимает всевозможные положительные значения. Поэтому определение 1 можно перефразировать в следующем виде: последовательность x1, x2, ..., xn,...
фундаментальна, если
> 0 n0 n > n0, m > n0 xn xm < C .
64
2. Критерий Коши сходимости последовательности
В определении 1 не упоминается существование предела, однако мы покажем сейчас, что определение 1 равносильно сходимости. Следующая теорема известна как критерий Коши для последовательностей.
Теорема 1. Последовательность x1, x2, ..., xn, ... сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.
Доказательство. Утверждение теоремы 1 имеет характер необходимого и достаточного условия. Начнем с доказательства необходимости. Пусть последовательность x1, x2, ..., xn, ... сходится. Покажем, что она фундаментальна.
Обозначим limn xn = l и запишем по определению
(1) > 0 n0 n > n0 xn l < .
Если выбрать еще один номер m, m > n0, то для него также выполнится неравенство
(2) xm l < .
Теперь из неравенств (1) и (2) выводим
xn xm = xn l + l xm xn l + l xm < + = 2
и запишем полученный результат как
> 0 n0 n > n0, m > n0 xn xm < 2 ,
что доказывает фундаментальность последовательности x1, x2, ..., xn, ... .
Перейдем к доказательству достаточности условия. Предположим, что последовательность x1, x2, ..., xn, ... фундаментальна и покажем, что она сходится. Предварительно убедимся, что эта последовательность ограничена. Действительно, воспользуемся
65
определением 1, в котором выберем m = n0 + 1. Неравенство определения 1 означает в этом случае, что все элементы xn с номерами n > n0 удовлетворяют неравенствам
xn0 1 xn xn0 1 ,
то есть последовательность xn0 1, xn0 2 ,..., xn ,... ограничена. Следовательно, множество
x1, x2 ,..., xn ,... x1, x2 ,..., xn0 xn0 1, xn0 2 ,..., xn
ограничено как объединение двух ограниченных множеств, из которых первое является конечным. Это доказывает ограниченность всей последовательности.
По теоремам 2 и 3 лекции 6 наша ограниченная последовательность имеет верхний и нижний пределы. Обозначим
lim xn , |
|
lim |
xn. |
n |
|
n |
По свойствам верхнего и нижнего пределов запишем
1.n xn ;
2.> 0 xnk , xmk xnk , xmk > .
Свойство фундаментальности запишем в виде
> 0 k0 k > k0 xnk xmk .
Соединим последнее неравенство со свойством 2 и получим
66
xmk xmk xnk xnk 3 .
Полагая, например, = (1/3)(1/(10n)), n , по лемме 1 лекции 3 заключаем, что 0. Но верхний предел последовательности
не может быть меньше ее нижнего предела, поэтому = . По теореме 4 лекции 6 выводим, что последовательность x1, x2, ..., xn, ...
сходится и заканчиваем доказательство теоремы 1.
3. Взаимосвязь различных свойств последовательности
Соберем воедино полученные знания о взаимосвязи различных свойств последовательности.
1.По теореме 2 лекции 4 сходимость последовательности влечет ее ограниченность.
2.По теореме 3 лекции 4 монотонность и ограниченность последовательности вместе влекут ее сходимость.
3.По критерию Коши сходимость последовательности эквивалентна ее фундаментальности.
Отметим на схеме стрелками зависимости 1-3.
67
Рис. 1. Взаимосвязь различных свойств последовательности.
Однако в созданной схеме имеются и более слабые зависимости. Именно, благодаря теоремам 2 и 3 лекции 6 ограниченность последовательности влечет существование у нее верхнего и нижнего пределов. Напомним, что каждый из них является частичным пределом. Выразим это следствие теорем 2 и 3 лекции 6 в следующей классической теореме, известной как теорема БольцаноВейерштрасса.
Теорема 2. Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Естественно, теорема 2 не нуждается в отдельном доказательстве.
Внесем пунктирной стрелкой в схему зависимостей результат теоремы Больцано-Вейерштрасса.
68
Рис. 2. Взаимосвязь свойств последовательности, устанавливаемая теоремой Больцано-Вейерштрасса.
4. Ряд как иная форма последовательности
Помимо простого перечисления элементов последовательности, рассмотрим процесс, в котором элементы поочередно складываются. В лекции 1 упоминался подобный пример из программы средней школы - это сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Определение 2. Пусть дана числовая последовательность a1, a2, ..., an, ... . Обозначим S1 = a1, S2 = a1 + a2, ...,
n
Sn a1 a2 ... an еak ,.... Последовательность S1, S2, ..., Sn, ... называется числовым рядом и обозначается еan. Числа a1, a2, ...,
k 1
an, ... называются членами ряда, а числа S1, S2, ..., Sn, ... называются частными суммами ряда.
Определение 3. Числовой ряд еan называется сходящимся, если последовательность S1, S2, ..., Sn, ... его частных сумм сходится. В этом случае предел
69
|
|
n |
S lim Sn lim еak |
||
n |
n |
k 1 |
|
|
называется суммой ряда и обозначается
е an .
n 1
В противном случае ряд называется расходящимся.
Напомним, что ряд, члены которого образуют геометрическую прогрессию с начальным элементом b и знаменателем q, q < 1, сходится и
|
b |
|
|
еbqn 1 |
. |
||
1 q |
|||
n 1 |
|
Ряд еbqn 1, q < 1, будем называть геометрическим рядом.
5. Перенос фактов теории последовательностей в теорию рядов
Переформулируем в терминах теории рядов теорему 3 лекции 4 о сходимости монотонной ограниченной последовательности и критерий Коши для последовательностей.
Начнем с критерия Коши, согласно которому последовательность частных сумм S1, S2, ..., Sn, ... числового ряда еan сходится тогда и только тогда, когда эта последовательность фундаментальна. Другими словами, ряд еan сходится тогда и только тогда, когда
|
n |
m |
|
> 0 n0 n > n0 , m > n0 |
еak еak |
. |
|
|
k 1 |
k 1 |
|
70