Mat_Analiz_Prokhorov
.pdf(6)
Обозначим
f (x) f (x0 ) A(x x0 ) (x)(x x0 ) g(x) g (x0 ) B(x x0 ) (x)(x x0 )
f (x0 ) |
|
f (x0 ) A(x x0 ) (x)(x x0 ) |
|
f (x0 ) |
|
|||
g(x ) |
g(x ) B(x x ) (x)(x x ) |
g(x ) |
||||||
|
|
|
||||||
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
f (x0 ) |
|
Ag(x0 ) (x)g(x0 ) Bf (x0 ) (x) f (x0 ) |
(x x0 ) |
|
g(x0 ) |
g(x0 )(g(x0 ) B(x x0 ) (x)(x x0 )) |
|||
|
|
f (x0 ) |
Ag(x0 ) Bf (x0 ) (x x ) |
|||
g(x ) |
|
g 2 (x |
) |
0 |
|
||||
0 |
|
0 |
|
|
Ag(x ) (x)g(x |
) Bf (x |
0 |
) (x) f (x ) |
|
Ag(x ) Bf (x ) |
(x x0 ). |
|||||||||
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|||
g(x )(g(x ) B(x x |
|
) (x)(x x )) |
2 |
(x |
|
||||||||||
|
0 |
|
g |
|
0 |
) |
|
|
|||||||
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
(x) |
Ag(x0 ) (x)g(x0 ) Bf (x0 ) (x) f (x0 ) |
|
Ag(x0 ) Bf (x0 ) |
. |
|||
|
g(x )(g(x ) B(x x ) (x)(x x )) |
|
g 2 (x ) |
||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
151
Непосредственными арифметическими действиями проверяем, что
lim (x) 0,
x x0
то есть функция бесконечно мала при x x0. Так как
Ag(x0 ) Bf (x0 )
g2 (x0 )
-число, то равенство (6) определяет f/g как дифференцируемую в точке x0 функцию, причем
|
f |
|
' |
Ag(x0 ) Bf (x0 ) |
|
f '(x0 )g (x0 ) g'(x0 ) f (x0 ) |
|
|
|
|
(x ) |
|
, |
||||
|
g 2 (x ) |
g 2 (x ) |
||||||
|
g |
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
что доказывает четвертую часть теоремы 1 и завершает ее доказательство.
2. Дифференцируемость сложной функции
Покажем, что помимо арифметических действий, свойство дифференцируемости функции инвариантно относительно композиции, и выведем формулу производной сложной функции.
Теорема 2. Пусть функция y = f(x) дифференцируема в точке x0, а функция z = g(y) дифференцируема в точке y0, y0 = f(x0). Тогда сложная функция z = g(f(x)) дифференцируема в точке x0 и справедлива формула
(g(f)) (x0) = g (y0)f (x0).
Доказательство. Существование сложной функции при условиях теоремы 2 мы обсудили ранее в доказательстве теоремы о непрерывности сложной функции. Рассуждения сохраняют силу, так как обе функции f и g непрерывны в точке x0.
152
Так как функция f дифференцируема в точке x0, а функция g дифференцируема в точке y0, то существуют числа A и B и бесконечно малая при x x0 функция = (x) и бесконечно малая при y y0 функция = (y) такие, что справедливы формулы
(1) f(x) = f(x0) + A(x x0) + (x)(x x0)
и
(7) g(y) = g(y0) + B(y y0) + (y)(y y0), где A = f (x0) и B = g (y0).
Полагая y = f(x), подставим выражение (1) в равенство (7) и получим
(8) g(f(x)) = g(f(x0)) + B(A(x x0) + (x)(x x0)) + (f(x))(A(x x0) + (x)(x x0)).
Строго говоря, функция z = (f(x)) не вполне определена, поскольку функция z = (y) не определена в точке y0. Исправим этот недостаток, положив
(y0) = 0.
При таком доопределении функция z = (y) становится непрерывной в точке y0, так как limy y0 (y) = 0 = (y0).
Более того, сложная функция z = (f(x)) непрерывна и бесконечно мала в точке x0 как композиция непрерывной и бесконечно малой в точке y0 функции z = (y) и непрерывной и бесконечно малой в точке x0 функции y = f(x), y0 = f(x0).
Обозначим
(x) = B (x) + (f(x))(A + (x))
153
и перепишем равенство (8) в форме
g(f(x)) = g(f(x0)) + BA(x x0) + (x)(x x0).
Прямой проверкой убеждаемся, что limx x0 (x) = 0, то есть функция бесконечно мала при x x0. Так как BA - число, то последнее равенство определяет композицию g°f как дифференцируемую в точке x0 функцию, причем
(g(f)) (x0) = BA = g (y0)f (x0),
что завершает доказательство теоремы 2.
3. Производная обратной функции
Выведем формулу производной обратной функции при условии, что обратная функция существует.
Теорема 3. Пусть функция y = f(x) дифференцируема в точке x0, f (x0) 0, и имеет обратную функцию x = f 1(y). Тогда обратная функция дифференцируема в точке y0, y0 = f(x0), и справедлива формула
( f 1 )' (y0 ) f '(1x0 ) .
Доказательство. Функция f определена в -окрестности точки x0. Обозначим эту окрестность через X, а ее образ при отображении f - через Y. По доказанной в лекции 14 теореме функция f 1 непрерывна в точке y0.
Воспользуемся формулой
f '(x0 ) lim f (x) f (x0 ) .
x x0 |
x x0 |
|
154
Подставим сюда x = f 1(y) и заметим, что благодаря непрерывности функций y = f(x) в точке x0 и x = f 1(y) в точке y0 условие x x0 эквивалентно условию y y0
|
f |
'(x0 ) lim |
|
|
|
y y0 |
|
|
|
. |
|
|||
|
|
f |
1 |
( y) f |
1 |
(y0 ) |
|
|||||||
|
|
|
y y0 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Но это равенство можно интерпретировать как существование предела |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
f 1 |
(y) f 1 (y ) |
|
|
1 |
|
|||||
( f |
1 )' (y |
0 |
) lim |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
y y0 |
|
|
|
f ' (x0 ) |
|||||||
|
|
y y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что устанавливает дифференцируемость обратной функции f 1 и требуемую формулу и заканчивает доказательство теоремы 3.
4. Локальный экстремум. Теорема Ферма
Дадим определение локального экстремума.
Определение 1. Говорят, что функция f имеет в точке x0 локальный минимум, если существует > 0 такое, что для всех x, x x0 < , выполняется неравенство
f(x) f(x0).
Аналогично функция f имеет в точке x0 локальный максимум, если существует > 0 такое, что для всех x, x x0 < , выполняется неравенство
f(x) f(x0).
Функция f имеет в точке x0 локальный экстремум, если она имеет в этой точке локальный минимум или локальный максимум.
155
Докажем замечательную теорему Ферма, выражающую необходимое условие локального экстремума дифференцируемой функции.
Теорема 4. Пусть функция f дифференцируема в точке x0 и имеет в этой точке локальный экстремум. Тогда справедливо равенство
f (x0) = 0.
Доказательство. Предположим, что функция f, дифференцируемая в точке x0, имеет в этой точке локальный максимум. В случае локального минимума рассуждения симметричны. Воспользуемся формулой
f '(x0 ) lim f (x) f (x0 ) .
x x0 |
x x0 |
|
Коль скоро предел написанного отношения существует, то существуют и равные ему односторонние пределы
(9) |
f '(x0 ) lim |
f (x) f (x0 ) |
lim |
f (x) f (x0 ) |
. |
||||
|
|
|
|||||||
|
x x0 0 |
x x0 |
|
|
x x0 |
0 |
x x0 |
||
|
|
|
|
|
|
||||
Если x0 < x < x0, то f(x) f(x0) 0 и x x0 < 0. Следовательно, для таких x |
|
|
|||||||
|
|
|
f (x) f (x0 ) |
0 |
|
|
|
||
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
и поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10) |
lim |
f (x) f (x0 ) |
0 . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||||
x x0 0 |
x x0 |
|
|
|
|
|
|
156
Аналогично, если x0 < x < x0 + , то f(x) f(x0) 0 и x x0 > 0. Следовательно, для таких x
f (x) f (x0 ) 0 x x0
и поэтому
(11) |
lim |
f (x) f (x0 ) |
0 . |
|
|||
x x0 0 |
x x0 |
Формулы (9), (10) и (11) вместе приводят к заключению о равенстве
f (x0) = 0
и доказывают теорему 4.
Теорема 4 предлагает первый шаг в алгоритме решения задачи о поиске локального экстремума дифференцируемой функции. Согласно этой теореме первый отбор состоит в решении уравнения
f (x) = 0.
Точки локального экстремума могут находиться только среди корней этого уравнения, которые называются критическими точками функции f.
Теорема 4 имеет ясную геометрическую интерпретацию: график дифференцируемой функции в точке x0 локального экстремума имеет касательную, параллельную оси OX.
157
Рис. 1. Геометрическая иллюстрация теоремы Ферма.
Пример функции y = f(x) = x3 показывает, что не все критические точки непременно становятся точками локального экстремума. Действительно, уравнение
(x3) = 3x2 = 0
имеет единственный корень x = 0, но очевидно, что кубическая функция строго монотонна и потому не имеет локального экстремума ни в какой точке.
158
Лекция 16
1. Теорема Ролля о среднем значении
2. Теорема Лагранжа о среднем значении
3. Теорема Коши о среднем значении
4. Правило Лопиталя для отношения бесконечно малых
5. Правило Лопиталя для отношения бесконечно больших
1. Теорема Ролля о среднем значении
Начнем с естественного определения.
Определение 1. Функция f называется дифференцируемой на множестве X, если она дифференцируема в каждой точке этого множества.
Следующая теорема, принадлежащая Роллю, имеет ясный геометрический смысл, сходный с истолкованием теоремы Ферма.
Теорема 1. Пусть функция f удовлетворяет условиям:
1.непрерывна на отрезке [a, b];
2.дифференцируема на интервале (a, b);
3.f(a) = f(b).
Тогда существует точка c (a, b) такая, что f (c) = 0.
Доказательство. По второй теореме Вейерштрасса непрерывная на отрезке [a, b] функция f достигает своего минимума и максимума. Обозначим
159
m = minx [a, b] f(x), |
M = maxx [a, b] f(x). |
Существуют точки x1,x2 [a, b] такие, что f(x1) = m и f(x2) = M.
Если m = M, то f(x) = m = M для всех x [a, b]. Значит, f принимает постоянное значение на [a, b] и f (x) = 0 на [a, b], что согласуется с утверждением теоремы 1.
Если m < M, то ввиду равенства f(a) = f(b) по крайней мере одна из точек x1 или x2 находится внутри (a, b).
160