Mat_Analiz_Prokhorov
.pdfn1 |
n2 |
е ak е ak 1. |
|
k 1 |
k 1 |
Следующим действием вновь добавляем положительные члены ряда. Существует минимальное натуральное число n3, для которого
n1 |
n2 |
n3 |
е ak еak |
е ak > 1. |
|
k 1 |
k 1 |
k n1 1 |
Снова добавляем отрицательные члены ряда. Существует минимальное натуральное число n4, для которого
n1 |
n2 |
n3 |
n4 |
е ak еak |
е ak |
е ak 1. |
|
k 1 |
k 1 |
k n1 1 |
k n2 1 |
И так далее. На произвольном нечетном m-м шаге, существует минимальное натуральное число nm, для которого
nm |
nm 1 |
е ak е ak > 1. |
|
k 1 |
k 1 |
На следующим за ним шаге существует минимальное натуральное число nm+1, для которого
nm |
nm 1 |
еak еak 1. |
|
k 1 |
k 1 |
Процесс продолжим неограниченно.
101
Алгоритм действия составлен так, что каждое неотрицательное слагаемое исходного ряда в некоторый момент будет учтено в
nm
сумме е ak ,
k 1
nm 1
а каждое неположительное слагаемое исходного ряда в некоторый момент будет учтено в сумме е ak . В итоге
k 1
возникает новый ряд, отличающийся от первоначального перестановкой своих членов. На m-м и (m+1)-м шагах справедливы неравенства
nm |
nm 1 |
nm |
nm 1 |
е ak е ak > 1, |
е ak е ak 1. |
||
k 1 |
k 1 |
k 1 |
k 1 |
По критерию Коши последовательность частных сумм нового ряда расходится, что доказывает второе утверждение теоремы 3. Теорема 3 доказана.
4. Произведение числовых рядов
Мы многократно упоминали ряды е(an + bn), воспринимая их как сумму рядов еan и еbn, и естественно принимали, что частные суммы первого ряда получены сложением частных сумм двух других рядов.
Можно пойти сходным путем в попытке умножения рядов. Именно, если An и Bn - частные суммы рядов еan и еbn, n 1, то
частные суммы Cn ряда-произведения
е cn = е an е bn
должны равняться произведению
n |
n |
n |
Cn еck еak еbk An Bn . |
||
k 2 |
k 1 |
k 1 |
102
Есть и другие возможности определения произведения двух рядов. Мы не станем сравнивать различные возможности и доказывать какие-либо теоремы о сходимости (абсолютной или условной) ряда-произведения при условии сходимости рядовсомножителей, ограничившись следующим типичным определением.
Определение 1. Числовой ряд еcn называется произведением числовых рядов еan и еbn, если
cn = a1bn 1 + a2bn 2 + ... |
+ an 1b1, |
n 2. |
5. Понятие о бесконечном произведении
По аналогии с числовым рядом логично определить бесконечное произведение.
Определение 2. Пусть дана последовательность положительных чисел a1, a2, ..., an, ... . Числа
n
P1 a1, P2 a1a2, , Pn a1a2 an Х ak,
k 1
называются частными произведениями. Последовательность P1, P2, ..., Pn, ... называется бесконечным произведением и обозначается an. Если последовательность частных произведений P1, P2, ..., Pn, ... сходится и
lim Pn P > 0,
n
то бесконечное произведение an называется сходящимся, а предел P называется значением бесконечного произведения и обозначается
Хan .
n 1
В противном случае бесконечное произведение называется расходящимся.
103
Мы не станем доказывать специальных теорем о бесконечном произведении, а заметим, что его исследование сводится к исследованию числового ряда еlogan с членами logan и частными суммами
n |
n |
Sn log Pn log Хak |
еlog ak. |
k 1 |
k 1 |
104
Лекция 11
1. Предел и непрерывность функции в точке
2. Эквивалентность определений Коши и Гейне
3. Арифметические действия над непрерывными функциями
4. Непрерывность сложной функции
5. Сохранение знака функции в окрестности точки непрерывности
1. Предел и непрерывность функции в точке
Приступим к изучению поведения функций. Будем обозначать через y = f(x) отображение f: X Y множества X во множество Y. Наиболее интересны случаи, когда множество X являет собой отрезок или интервал числовой оси, включая интервалы с бесконечно удаленными крайними точками.
Одно из основных понятий математического анализа - непрерывность функции в точке, означающее близость значений функции f( x) при близких значениях аргумента x. Начнем с определения чуть более обшего понятия - предела функции в точке, выражающего условие приближения значений f(x) к предельному числу при приближении x к точке x0. Известны два заметно различных подхода к введению понятий предела и непрерывности. Первое из них, высказанное на строгом логическом языке, принадлежит Коши.
Определение 1. Число l называется пределом функции f в точке x0 на множестве X, если
> 0 > 0 x X, x x0, x x0 < f(x) l < ,
и обозначается
l lim |
f x . |
x x0 |
|
105
Рис. 1. Иллюстрация к определению предела функции.
Другой подход связан с использованием языка последовательностей и применением накопленных знаний о сходящихся последовательностях. Следующее определение называют именем Гейне.
Определение 2. Число l называется пределом функции f в точке x0 на множестве X, если для любой последовательности x1, x2, ..., xn, ... такой, что xn X, xn x0, n 1, и
lim xn x0 ,
n
выполняется условие
106
lim f xn l.
n
Коль скоро появилось два определения одного и того же понятия, мы должны на этом этапе различать предел в смысле Коши и в смысле Гейне.
Обратим внимание, что в определениях предела функции точка x0 исключается из рассмотрения независимо от того, принадлежит она множеству X или нет. Если все же, во-первых, принять, что x0 X и, во-вторых, f(x0) = l, то в обоих предыдущих определениях
можно снять запрет x x0 или xn x0 и не проверять, что произойдет в таком случае, потому что неравенство в определении Коши тривиально выполняется при x = x0 и требование в определении Гейне нисколько не пострадает, если некоторые из xn окажутся равными x0. Таким образом, естественно приходим к понятию непрерывности функции в точке в смысле Коши и в смысле Гейне.
Определение 3. Пусть x0 X. Функция f называется непрерывной в точке x0 на множестве X, если
> 0 > 0 x X x x0 < f(x) f(x0) < .
В противном случае функция f называется разрывной в точке x0.
Определение 4. Пусть x0 X. Функция f называется непрерывной в точке x0 на множестве X, если для любой последовательности x1, x2, ..., xn, ... такой, что xn X, n 1, и
lim xn x0 ,
n
выполняется условие
lim f xn f x0 .
n
В противном случае функция f называется разрывной в точке x0.
107
Во всех четырех определениях будем опускать слова "на множестве X", если множество X содержит интервал (x0 , x0 + ) с некоторым > 0, за исключением, быть может, самой точки x0 в определениях 1 и 2.
Интервал (x0 , x0 + ) условимся называть -окрестностью точки x0.
Связь между понятиями предела и непрерывности выражается очевидным предложением: функция f непрерывна в точке x0 X,
если limx x0 f x f x0 .
2. Эквивалентность определений Коши и Гейне
Наличие двух смыслов в определениях предела и непрерывности принесло бы много путаницы, однако замечательно, что оба смысла идентичны и мы сможем выбирать любой из подходов в каждой конкретной задаче.
Теорема 1. Определения Коши и Гейне предела или непрерывности функции в точке x0 на множестве X эквивалентны.
Доказательство. Доказательство для предела и непрерывности функции выглядят весьма сходно, поэтому ограничимся, например, демонстрацией эквивалентности понятий непрерывности по Коши и по Гейне.
Начнем с доказательства того, что непрерывность в смысле Коши влечет непрерывность в смысле Гейне. Пусть для функции f выполнены условия определения 3
> 0 > 0 x X x x0 < f(x) f(x0) < .
Выберем произвольно последовательность точек x1, x2, ..., xn, ..., принадлежащих множеству X, такую, что limn xn = x0. По определению предела последовательности
n0 n > n0 xn x0 < .
Тогда по определению 3 выполняется неравенство
108
f(xn) f(x0) < .
Собирая вместе все условия, сформулируем заключение
> 0 n0 n > n0 f(xn) f(x0) < ,
которое означает, что выполняется определение Гейне, так как
lim f xn f x0 .
n
Обратно, покажем теперь, что непрерывность в смысле Гейне влечет непрерывность в смысле Коши. Пусть для функцииf выполнены условия определения 4. Проведем доказательство от противного. Предположим, что функция f не удовлетворяет условию определения 3. Нетрудно записать отрицание предиката. Для этого следует заменить кванторы на противоположные и написать отрицание имеющегося высказывания. Таким образом, отрицание требования в определении 3 представим в виде
> 0 > 0 x X x x0 < |
и f(x) f(x0) . |
|
Будем выбирать различные . Если = 1, то |
||
x1 X x1 x0 < 1 |
и f(x1) f(x0) . |
|
Если = 1/2, то |
|
|
1 |
|
|
x2 X x2 x0 < 2 |
и f(x2) f(x0) . |
И так далее. На n-м шаге если = 1/n, то
109
xn X |
xn x0 < |
1 |
и f(xn) f(x0) . |
n |
Продолжим процесс неограниченно. В итоге получим последовательность точек x1, x2, ..., xn, ..., принадлежащих X и удовлетворяющих перечисленным условиям. Так как xn x0 < 1/n, то limn xn = x0. И по определению 4 limn f(xn) = f(x0), что
противоречит неравенству f(xn) f(x0) . Возникшее противоречие доказывает ложность предположения. Следовательно, функция f непрерывна в точке x0 на множестве X в смысле Коши. Теорема 1 доказана.
3. Арифметические действия над непрерывными функциями
Покажем, что понятие непрерывности инвариантно относительно арифметических действий.
Теорема 2. Пусть функции f и g непрерывны в точке x0. Тогда функции f + g, f g, fg и f/g непрерывны в точке x0. В случае частного предполагаем дополнительно, что g(x) 0.
Доказательство. Воспользуемся определением непрерывности по Гейне и инвариантностью понятия предела последовательности относительно арифметических действий. Выберем произвольно последовательность точек x1, x2, ..., xn, ... из области определения функций f и g такую, что limn xn = x0. Тогда по определению Гейне
lim f |
|
n |
f |
|
0 |
glimx |
|
n |
0 |
. |
|
|
|
x |
|
xи |
|
g x |
|
|
|||||
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
По теореме 1 лекции 5 заключаем, что |
||||||||||||
lim f |
xn g xn f x0 |
g x0 , |
lim |
f xn g xn f x0 g x0 , |
||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
110