-
Метод гельфанда-левитана
В этой главе приведем алгоритм решения обратной задачи методом Гельфанда-Левитана. Метод, в котором используются операторы преобразования, позволяет обратную задачу свести к линейному интегральному уравнению относительно ядра оператора преобразования.
Для описания метода нам потребуется следующая лемма.
Лемма 4.1. Пусть даны числа вида
(4.1) |
Обозначим
, |
(4.2) |
где
Тогда .
Доказательство:
Обозначим . Так как
,
то преобразуем к виду
,
где
,
(4.3) |
Так как
,
то ряды в (4.3) сходятся абсолютно и равномерно на , причем . Следовательно, . □
Вспомним краевую задачу L=L(q(x), h, H), то есть
|
Пусть - спектральные данные , . Будем решать обратную задачу восстановления по заданным спектральным данным . В части 1 было показано, что спектральные данные обладают свойствами:
, где |
(4.4) |
. |
(4.5) |
Более точно
,
то есть главные части зависят линейно от потенциала.
Рассмотрим функцию
, |
(4.6) |
где
Так как , то в силу леммы 4.1 функция является непрерывной, и .
Теорема 4.1. При каждом фиксированном ядро из представления (3.11) удовлетворяет линейному интегральному уравнению
(4.7) |
Это уравнение называется уравнением Гельфанда-Левитана.
Таким образом, теорема 4.1 позволяет свести нашу обратную задачу к решению уравнения (4.7). Отметим, что (4.7) является интегральным уравнением Фредгольма с параметром .
Доказательство:
Разрешая соотношение (3.11) относительно , получаем
, |
(4.8) |
где - непрерывная функция. Используя (3.11) и (4.8), вычисляем
Это дает
,
где
Пусть , тогда согласно теореме 2.1
.
Кроме того, равномерно по :
Доопределим при . В силу произвольности приходим к соотношению
При это дает (4.7) □
Приведем алгоритм решения обратной задачи.
Алгоритм 4.1.
-
По заданным числам строим функцию по формуле (4.6)
-
Находим функцию из уравнения (4.7)
-
Вычисляем и по формулам
, |
(4.9) |
|
|
(4.10) |
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
-
Юрко В. А., Введение в теорию обратных спектральных задач. - Москва, ФМЛ, 2007.
-
Гельфанд И. М., Левитан Б. М., Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции. – Известия АН СССР, сер. матем. 15, 1951, 309-306.
-
Левитан Б. М., Обратные задачи Штурма-Лиувилля. – Москва, Наука, 1984.
-
Марченко В. А., Некоторые вопросы теории линейных дифференциальных операторов второго порядка. - Труды московского математического общества 1, 1952, 327-420.
-
Марченко В. А., Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. – Киев, Наукова Думка, 1977.
-
Levinson N., The inverse Sturm-Liouville problem. – Math. Tidsskr. 13, 1949, 25-30.
-
Привалов И. И., Введение в теорию функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1967.
-
Титчмарш Е., Теория функций. – М.: Наука, 1980.
-
Левин Б. Я., Целые функции (курс лекций). – Москва, 1971.