-
Свойства собственных функций
В этой главе доказывается, что система собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля полна и образует ортогональный базис в . Теоремы о полноте и о разложении играют важную роль при решении различных задач математической физики методом разделения переменных.
Теорема 2.1. (1) Система собственных функций краевой задачи полна в .
(2) Пусть , - абсолютно непрерывная функция. Тогда
(2.1) |
причем ряд сходится равномерно на
(3) Для ряд (2.1) сходится в , причем имеет место равенство Парсеваля
. |
(2.2) |
Доказательство:
-
Обозначим
и рассмотрим функцию
.
Функция называется функцией Грина задачи . Она является ядром интегрального оператора обратного к оператору Штурма-Лиувилля, то есть функция дает решение краевой задачи
(2.3) |
это легко проверяется дифференцированием. В самом деле
Так как , то
,
,
Учитывая (1.6) и используя теорему 1.2 вычисляем
В силу (1.8) имеем
(2.4) |
-
Пусть функция такова, что
.
Тогда с учетом (2.4) и, следовательно, при каждом фиксированном функция является целой по λ. Получим теперь оценку для . Ранее было получено
Используя представление для , вычисляем при :
Получаем
.
Используя принцип максимума модуля для аналитических функций и теорему Лиувилля, заключаем, что . Отсюда, и из (2.3) следует, что на . Таким образом, утверждение (1) доказано.
-
Пусть теперь - произвольная абсолютно непрерывная функция. Так как и - решения уравнения (1.1), то функцию можно преобразовать к виду
Интегрируем дважды по частям слагаемые со вторыми производными
.
Подстановки в точках , , дают
,
,
.
Исходя из этого получаем
(2.5) |
где
Используя (1.9), (1.10) и (1.18), получаем при фиксированном и достаточно большом
(2.6) |
Покажем, что
(2.7) |
Предположим сначала, что абсолютно непрерывна на . В этом случае интегрирование по частям дает
В силу (1.9), (1.10) и (1.18) получаем
Пусть теперь . Зафиксируем и выберем абсолютно непрерывную функцию так, что
где
Тогда при имеем
Следовательно, существует такое, что при В силу произвольности приходим к (2.7).
Рассмотрим контурный интеграл
,
где (с обходом против часовой стрелки). Из (2.5)-(2.7) вытекает
(2.7) |
С другой стороны, можем вычислить с помощью теоремы о вычетах. В силу (2.4) имеем
.
Сравнивая это с (2.8), приходим к (2.1), причем ряд сходится равномерно на , то есть утверждение (2) доказано.
-
Система собственных функций полна и ортогональна в; поэтому она образует ортогональный базис в и справедливо равенство Парсеваля (2.2).
-
Операторы преобразования.
Важную роль в теории обратных задач для операторов Штурма-Лиувилля играют так называемые операторы преобразования. Они связывают решения двух различных уравнений Штурма-Лиувилля при всех . В этой главе мы построим операторы преобразования, которые нам потребуются в следующей главе.
Теорема 3.1. Для функции имеет место представление
, |
(3.1) |
где - вещественная непрерывная функция, причем
(3.2) |
Доказательство:
Из (1.11) при вытекает, что функция является решением следующего интегрального уравнения
. |
(3.3) |
Так как
,
то (3.3) примет вид
,
и, следовательно,
.
Метод последовательных приближений дает
, |
(3.4) |
. |
(3.5) |
Покажем по индукции, что
(3.6) |
где функции не зависят от .
Вычислим , используя соотношение
,
получим
Замена переменных во втором интеграле дает
.
Меняя порядок интегрирования во втором интеграле получаем
Таким образом (3.6) верно, при , где
(3.7) |
Предположим теперь, что (3.6) верно при некотором . Тогда, подставляя (3.6) в (3.5), вычисляем
Замена переменных и соответственно приводят к равенству
Меняя порядок интегрирования, получаем
где
(3.8) |
Подставляя (3.6) в (3.4), приходим к (3.1), где
|
(3.9) |
Из (3.7) и (3.8) вытекает
.
В самом деле, (3.7) дает при :
.
Далее, если при некотором оценка для верна, то в силу (3.8) имеем
Таким образом, ряд (3.9) сходится абсолютно и равномерно при , и функция является непрерывной. Более того, из (3.7)-(3.9) следует, что гладкость функции совпадает с гладкостью функции . Так как согласно (3.7) и (3.8)
,
то приходим к (3.2). □
Оператор Т, определяемый формулой
,
отображает функцию , которая является решением уравнения с нулевым потенциалом, в функцию , которая является решением уравнения (1.1) с некоторым потенциалом (то есть ). Оператор Т называется оператором преобразования для . Важно, что ядро не зависит от λ.
Теорема 3.2. Для функций и имеют место представления:
(3.10) |
|
(3.11) |
где и - вещественные непрерывные функции с той же гладкостью, что и функция , причем
(3.12) |
|
(3.13) |
Доказательство:
Функция удовлетворяет уравнению (1.24)
Так как , то
,
и, следовательно,
.
Метод последовательных приближений дает
, |
(3.14) |
(3.15) |
Покажем по индукции, что
(3.16) |
где функции не зависят от .
Вычислим , используя соотношение
,
получим
Замена переменных во втором интеграле дает
.
Меняя порядок интегрирования во втором интеграле получаем
Таким образом (3.16) верно, при , где
(3.17) |
Предположим теперь, что (3.16) верно при некотором . Тогда, подставляя (3.16) в (3.15), вычисляем
Замена переменных и соответственно приводят к равенству
Меняя порядок интегрирования, получаем
где
(3.18) |
Подставляя (3.16) в (3.14), приходим к (3.10), где
|
(3.19) |
Из (3.17) и (3.18) вытекает
.
Доказательство, аналогично, доказательству того, что из теоремы 3.1.
Таким образом, ряд (3.14) сходится абсолютно и равномерно при , и мы приходим к (3.10) и (3.13). Причем функция является непрерывной. Более того, из (3.17)-(3.19) следует, что гладкость функции совпадает с гладкостью функции .
Соотношение (3.11) может быть получено прямо из (3.1) и (3.10):
где .
Полагая здесь , приходим к (3.12). □