- •Оглавление
- •Введение
- •Глава 1. Классическое и геометрическое определения вероятности
- •1.1.Классическое определение вероятностей. Задачи
- •1.2.Геометрическая вероятность
- •1.3. Задачи для самостоятельного решения
- •Глава 2. Условная вероятность. Теоремы умножения и сложения вероятностей
- •2.1. Операции над событиями. Независимость событий
- •2.2. Условная вероятность
- •2.3. Теоремы умножения и сложения вероятностей
- •2.3. Задачи для самостоятельной работы
- •Глава 3. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •Глава 4. Схема независимых испытаний Бернулли. Предельные теоремы в схеме Бернулли
- •Глава 5. Дискретные случайные величины и их характеристики
- •5.1. Дискретные случайные величины
- •5.2. Задачи для самостоятельной работы.
- •Глава 6. Непрерывные случайные величины и их характеристики
- •6.1. Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики
- •Глава 7. Элементы математической статистики
- •7.2. Доверительное оценивание
- •1. Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания нормального распределения (при известной дисперсии)
- •2. Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания нормального распределения (при неизвестной дисперсии)
- •3. Доверительный интервал для неизвестного среднего квадратического отклонения нормального распределения
- •7.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Список литературы
7.2. Доверительное оценивание
Пусть выборка из распределения случайной величины с теоретической функцией распределения , где ‑ неизвестный параметр.
Определение. Доверительным интервалом надежности называется интервал , который накрывает неизвестное значение параметра с вероятностью, не меньшей, т.е.
. (7.9)
Вероятность называется также доверительной вероятностью, ее значения обычно выбирают близкими к единице:0,9; 0,95; 0,99 и т.д.
1. Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания нормального распределения (при известной дисперсии)
Пусть – выборка из распределения , где a – неизвестное математическое ожидание, а ‑ известная дисперсия.
Доверительный интервал для параметра имеет вид
, (7.10)
где – аргумент функции Лапласа, при котором. Значениянаходят с помощью таблицы, приведенной в приложении 1.
2. Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания нормального распределения (при неизвестной дисперсии)
Пусть – выборка из распределения , где a – неизвестное математическое ожидание, ‑ неизвестная дисперсия.
Доверительный интервал для параметра имеет вид
. (7.11)
Значения находят с помощью таблицы, приведенной в приложении 5 по заданными.
3. Доверительный интервал для неизвестного среднего квадратического отклонения нормального распределения
Пусть – выборка из распределения , где ‑ неизвестная дисперсия.
Доверительный интервал для параметра имеет вид
, при ,
, при , (7.12)
где – выборочное среднее квадратическое отклонение.
Значения находят с помощью таблицы, приведенной в приложении 6 по заданными.
Вариационные ряды и их характеристики. Доверительные интервалы.
Дан точечный вариационный ряд. Определить выборочные характеристики, построить полигон частот, ЭФР.
а)
2
3
5
6
б)
15
20
25
30
35
10
15
5
20
10
15
30
20
25
Дан интервальный вариационный ряд. Определить выборочные характеристики, построить гистограмму частот, ЭФР.
а)
10-15 |
15-20 |
20-25 |
25-30 |
30-35 | |
2 |
4 |
8 |
4 |
2 |
б)
2-5 |
5-8 |
8-11 |
11-14 | |
6 |
10 |
4 |
5 |
в)
1-5 |
5-9 |
9-13 |
13-17 |
17-21 | |
10 |
20 |
50 |
12 |
8 |
3.([5],502) Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0.99 неизвестного математического ожидания нормально распеределенного признакагенеральной совокупности, если известны генеральное среднее квадратическое отклонение, выборочная средняяи объем выборки: а),,; б),,.
4. .([5],507 ) Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0.925 точность оценки математического ожидания по выборочной средней равна 0.2, если известно среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности .
5. .([5],511) По данным 16 независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены среднее арифметическое результатов измерений и несмещенное среднее квадратическое отклонение. Оценить истинное значение измеряемой величины с надежностью 0.999.
6. .([5],513) По данным объема из генеральной совокупности нормально распределенного признака найдено несмещенное («исправленное») среднее квадратическое отклонение. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонениес надежностью 0.999, если: а),; б),.
7. Среднее значение дальности до ориентира, полученное по четырем независимым измерениям, м. Средняя квадратическая ошибка приборам. Найти с надежностьюдоверительный интервал для оценки истинного значения измеряемой величины.
8. В качестве оценки расстояния до навигационного знака принимают среднее арифметическое результатов независимых измерений расстояния дальномерами. Измерения не содержат систематической ошибки, а случайные ошибки распределены нормально со средним квадратическим отклонениемм. Сколько надо иметь дальномеров, чтобы абсолютная величина ошибки при определении дальности до навигационного знака с вероятностью 0.9 не превышала 15 м.?